八年级数学下册讲练课件：18.2.3-正方形（人教版）

人教版八年级数学下册第18章平行四边形18.2.3正方形1学习目标1.理解正方形的概念.2.掌握正方形的性质和判定，并能运用它们进行证明和计算.3.理解正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系．2正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在，下面图片中是否包含正方形，如果有请找出来.在你的周围你能找到正方形吗？引入新课3

矩形〃〃思考1：矩形具有怎样的条件才能是正方形呢？正方形合作探究4思考2：菱形具有怎样的条件才能是正方形呢？正方形合作探究5邻边相等

矩形〃〃正方形〃〃

菱形一个角是直角正方形∟正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.菱形矩形正方形既是，又是.归纳总结6思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？对称性：

.对称轴：

.轴对称图形4条ABCD提示：同学们可以拿一张正方形纸片，折一折来验证.一、正方形的性质探究新知7矩形菱形正方形平行四边形正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形，也是特殊的菱形.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系如何表述呢？性质：1.角的方面：四个角都是直角2.边的方面：对边平行，四条边都相等3.对角线方面：对角线互相垂直平分且相等，平分每组对角你能说出正方形具有哪些性质吗？

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.8例1：求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如图，四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.典例分析91.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直平分

C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD针对训练104.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A3.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等A11例2：如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形，求∠EAD和∠EDA的度数.解：∵

△BEC是等边三角形，∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AB=BE，∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°，∴△ABE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=75°，∴∠EAD=90°-75°=15°.同理可得∠EDA=15°30°75°60°典例分析12变式：四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；13当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．14思考：把一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到是一个正方形，为什么？正方形猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等或对角线互相垂直探究新知二、正方形的判定15已知：如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC

，

DB交于点O，且AC⊥DB.求证：矩形ABCD是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO

∵AC⊥DB∴AB=BC∴矩形ABCD是正方形.

ABCDO合作探究16思考：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，这时菱形框架的形状是正方形，为什么？正方形菱形猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角或对角线相等17已知：如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC

，

DB交于点O，AC=DB.求证：菱形ABCD是正方形.对角线相等的菱形是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴菱形ABCD是正方形.ABCDO合作探究18正方形判定的常用方法：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件(二选一)菱形条件(二选一)一个角是直角一组邻边相等，或对角线相等或对角线垂直归纳小结195种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定总结四边形平行四边形矩形菱形正方形201.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠DAB=∠DCBC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO当堂巩固212.下列命题正确的是（）A.四个角都相等的四边形是正方形B.四条边都相等的四边形是正方形C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形D223.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形D23在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．求证：四边形EFMN是正方形证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.能力提升24在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形，∴∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形.251.（4分）（2021•重庆B卷9/26）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（

）A．60°

B．65°

C．75°

D．80°感受中考26【解答】解：在Rt△PMN中，∠MPN=90°，∵O为MN的中点，∴

，∵∠PMN=30°，∴∠MPO=30°，∴∠DPM=150°，在四边形ADPM中，∵∠A=90°，∠ADB=45°，∠DPM=150°，∴∠AMP=360°-∠A-∠ADB-∠DPM=360°-90°-45°-150°=75°故选：C．272.（2分）（2021•青海19/25）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是

．【考点】勾股定理；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题．【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．感受中考28【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，∴BN＝ND，∴DN+MN＝BN+MN，连接BM交AC于点P，∵点N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN+MN＝BP+PM＝BM，BN+MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，BCM＝90°，∴BM10，∴DN+MN的最小值是10．故答案为：10．293.（6分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟20/26）如图，AD是△ABC