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文档简介
人教版八年级数学下册第17章勾股定理17.2勾股定理的逆定理第1课时1学习目标1.能证明勾股定理的逆定理,了解勾股数概念,理解互逆命题、定理的概念与关系.2.能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.2
勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2
.B
C
A
abc
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长.①
a=3,b=4;②
a=2.5,b=6;c=5c=6.5回顾旧知3古埃及人:把一根绳子上打13个等距的结,然后以3段,4段,5段的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(13)(12)(11)(10)(9)新知探究4下面有三组数分别是一个三角形的三边长a
,b,c:①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.问题1:分别以每组数为三边长作出三角形,再用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?是5
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.①5,12,13满足52+122=132,②7,24,25满足72+242=252,③8,15,17满足82+152=172.a2+b2=c2问题2:能构成直角三角形的边长,在数量关系上有什么相同点?新知探究6
据此你有什么猜想呢?猜想:
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.7验证猜想:已知:如图,△ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2
求证:△ABC是直角三角形.A
B
C
abc8证明:作Rt△A′B′C′,使∠C′=90°,A′C′=b,B′C′=a,则A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2
+b
2∴△ABC≌△A′B′C′(SSS),∴∠C=∠C′=90°,
即△ABC是直角三角形.ACaBbc
∵a2
+b
2
=c
2
,
∴A′B′2
=c
2
,∴A′B′=c在△ABC和△A′B′C′中A′C′=AC,B′C′=BC,A′B′=AB,{9勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.ACBabc作用:判断三角形是否为直角三角形注意:不要拘泥于a2+b2=c2的形式核心:只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方,即可判断此三角形为直角三角形,最长边所对应的角为直角.新知讲解一、勾股定理的逆定理10例1:判断下列以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一个角是直角?(1)a=15,
b=8,c=17;(2)a=13,b=15,c=14.
(1)在△ABC中∵152+82=289,172=289,∴152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形,且∠C是直角.解:典例分析11例1:判断下列以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一个角是直角?(1)a=15,
b=8,c=17;(2)a=13,b=15,c=14.
(2)在△ABC中∵132+142=365,152=225,∴132+142≠152,不符合勾股定理的逆定理,∴这个三角形不是直角三角形.解:典例分析121.若△ABC的三边a,b,c满足
a:b:c=3:4:5,试判断△ABC的形状.解:设a=3k,b=4k,c=5k(k>0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形,且∠C是直角.已知三角形三边的比例关系判断三角形形状:先设出参数,表示出三条边的长,再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数,那么该三角形还是等腰三角形.针对训练132.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别a,b,c.①若∠C-∠B=∠A,则△ABC是直角三角形;②若∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形③c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°;④(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个A
14判定一个三角形是直角三角形的方法:角:有一个角是直角的三角形是直角三角形.边:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.归纳总结15如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.新知讲解二、勾股数16勾股数拓展性质:一组勾股数,都扩大相同倍数k(k为正整数),得到一组新数,
这组数同样是勾股数.;10,24,26;8,15,17;7,24,25
9,40,41;……3,4,56,8,1015,20,25合作探究17
下列各组数是勾股数的是
(
)
A.6,8,10B.7,8,9
C.0.3,0.4,0.5D.52,122,132A针对训练18前面我们学习了两个命题,分别为:命题1:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.命题2:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
两个命题的题设和结论有何联系?合作探究19题设和结论正好相反的两个命题,叫做互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.一般地,原命题成立时,它的逆命题既可能成立,也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.新知讲解三、互逆命题与互逆定理20说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗?(1)两条直线平行,内错角相等;(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等;
(3)全等三角形的对应角相等;
(4)在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上.内错角相等,两条直线平行.成立如果两个实数的绝对值相等,那么它们相等.
不成立对应角相等的两个三角形全等.
不成立在角平分线上的点到角的两边距离相等.
成立针对训练211.下列各组数是勾股数的是()
A.3,4,7B.5,12,13
C.1.5,2,2.5D.1,3,52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形当堂巩固BA224.已知a、b、c是△ABC三边的长,且满足关系式,则△ABC的形状是________________.3.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm,则这个三角形最长边上的高是_______cm;12等腰直角三角形235.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:(1)a=7,b=24,c=25;(2)a=,b=4,c=5;(3)a=,b=1,c=;(4)a=40,b=50,c=60.是是是不是246.下列各命题都成立,写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗?(1)同旁内角互补,两直线平行;(2)如果两个角是直角,那么它们相等;(3)全等三角形的对应边相等;(4)如果两个实数相等,那么它们的平方相等.两直线平行,同旁内角互补.成立如果两个角相等,那么这两个角是直角.不成立三边对应相等的两个三角形全等.成立如果两个实数的平方相等,那么这两个实数也相等.不成立251.若△ABC的三边a,b,c
满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC是否是直角三角形.?a2-6a
+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0即(a-3)²+(b-4)²+(c-5)²=0∴a=3,b=4,c=5,即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.∴a2-6a
+b2-8b+c2-10c+50=0解∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c能力提升262.如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E为BC上一点,且CE=
CB,试判断AF与EF的位置关系,并说明理由.解:AF⊥EF.理由如下:设正方形的边长为4a,则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a.在Rt△ABE中,得AE2=AB2+BE2=16a2+9a2=25a2.在Rt△CEF中,得EF2=CE2+CF2=a2+4a2=5a2.在Rt△ADF中,得AF2=AD2+DF2=16a2+4a2=20a2.在△AEF中,AE2=EF2+AF2,∴△AEF为直角三角形,且AE为斜边.∴∠AFE=90°,即AF⊥EF.271.(2分)(2020•河北16/26)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,
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