内蒙古自治区通辽市2024−2025学年高二上学期10月月考 数学试题含答案

内蒙古自治区通辽市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（

）A． B． C．2 D．3．若直线与互相垂直，则的值为（

）A． B． C．或 D．或4．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或6．平行六面体中,.则=（

）A． B． C． D．7．已知点，，直线过点，且两点在直线的同侧，则直线斜率的取值范围是（）A． B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C． D．(−1,0)∪(1,+∞)8．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．不存在实数，使得D．若，则10．以下四个命题叙述正确的是（

）A．直线在轴上的截距是1B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2D．直线，若，则或211．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（

）A．与平面的夹角的正弦值为 B．点到的距离为C．线段的长度的最大值为 D．与的数量积的范围是三、填空题（本大题共3小题）12．两平行直线与之间的距离为．13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为14．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知的三个顶点分别为，，，BC中点为D点，求：(1)边所在直线的方程(2)边上中线AD所在直线的方程(3)边的垂直平分线的方程.16．棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．(1)证明：；(2)求.17．设直线l的方程为．(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程；(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．(1)证明：平面PAD；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．19．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？

参考答案1．【答案】C【详解】易知的斜率为，显然倾斜角为.故选：C2．【答案】A【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.【详解】点关于z轴的对称点为B，所以.故选A.3．【答案】D【详解】因为，则，即，解得或.故选：D.4．【答案】B【分析】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角.【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，可得，则，所以直线，所成角的余弦值为.故选B.【方法总结】求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量、平面法向量与平面法向量）的余弦值，通过转化求出结果.5．【答案】D【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，所以直线方程为，故所求直线方程为或.故D项正确.故选D.6．【答案】A【分析】先表达出，两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到，从而求出模长.【详解】由题意得，故，故.故选A.7．【答案】A【详解】由题意，点，，，根据斜率公式，可得，，如图所示，要使得直线过点，且两点在直线的同侧，则直线斜率的取值范围是.故选：A.

8．【答案】A【详解】由重心坐标公式可得：重心，即.由，，可知外心在的垂直平分线上，所以设外心，因为，所以，解得，即：，则，故欧拉线方程为：，即：，故选：A.9．【答案】ACD【分析】运用空间向量的垂直、共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算、模的运算，逐项判断即可.【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确；对于B项，由可得，解得，故B项错误；对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.故选：ACD.10．【答案】BC【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D.【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误；对于B，由解得，即，则，解得，B正确；对于C，依题意，，C正确；对于D，当时，直线重合，D错误.故选BC.11．【答案】ABD【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，可得，，若，则，可得，则，解得，即.对于选项A：可知平面的法向量，则，所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确；对于选项B：因为，所以点到的距离为，故B正确；对于选项C：因为，则，且，可得当且仅当时，取到最大值，所以线段的长度的最大值为3，故C错误；对于选项D：因为，，则，且，可知当时，取到最小值；当时，取到最大值；所以与的数量积的范围是，故D正确；故选：ABD.12．【答案】/【详解】由，可得，所以与之间的距离为.故答案为：.13．【答案】【详解】由投影向量的定义可知，，故答案为：14．【答案】【详解】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B4,0，，，所以直线的方程为，设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，由，易得，，直线就是所在的直线，

所以直线的方程为，设的重心为，则，所以，即，所以（舍去）或，所以，.结合对称关系可知，，所以的周长即线段的长度为：.故答案为：.15．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），故边所在直线的方程为：，化简得到.（2）中点为，即，故，故AD所在直线的方程为，即.（3），故垂直平分线的斜率为，中点为，故垂直平分线的方程为，即.16．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）如图，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则,E0,0,1，，，，，，因为，，所以，所以，即.（2）因为，所以因为，且，所以.17．【答案】(1)证明见解析(2)(3)．【详解】（1）由得，则，解得，∴不论a为何值，直线l必过一定点；（2）由，当时，，当时，，又由，得，，当且仅当，即时，取等号．，，∴直线方程为．（3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而a也为正整数，，，∴直线l的方程为．18．【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ii）存在，．【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，从而得证；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面的距离公式法求解即可.【详解】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：因为M为棱PC的中点，所以，因为，所以，所以四边形ABMN是平行四边形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）因为，所以，所以，因为平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，所以平面ABCD，又因为AD，平面ABCD，所以，而，，所以以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则，因为M为棱PC的中点，所以（i），设平面BDM的一个法向量为，则，令，则，所以，平面PDM的一个法向量为，所以，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为.