高考真题教材高考真题审题答题三

教材高春申题答题《三L数列热点问题

I三年真题考情I

核心热点真题印证核心素养

等比（差）数列的2018•全国I,17;2017•全国I,17;2016•全国逻辑推理、

判定与证明III,17数学运算

2018•全国H,17;2018•全国III,17;2016•全国数学运算、

通项与求和

11,17;2016•全国HI,17数学建模

等差与等比数列2017•全国11,17;2018•天津，18;2018•全国I,数学运算、

的综合问题17;2018•浙江，20逻辑推理

I审题答题指弓II

教材链接高考——等比（差）数列的判定与证明

［教材探究］1.（引自人教A版必修5P50例2）根据图2.4-2中的框图（图略，教材中

的图），写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列

吗？

2.（弓I自人教A版必修5P69B6）已知数列｛m｝中，〃i=5,672=2,且〃〃=2〃〃—I+3Q〃

2（〃》3）.对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？

［试题评析］（1）题目以算法框图为载体给出递推数列｛。“，其中a\=\fafl=^cin-\（n>\）.

进而由递推公式写出前5项，并利用定义判断数列｛斯｝是等比数列.

⑵题目以递推形式给出数列，构造数列模型d=a〃+z_i（〃22）,cn=an-3an-

1（心2）,利用等比数列定义不难得到｛瓦｝，｛心｝是等比数列，进而求出数列｛m｝

的通项公式.

两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算

与逻辑推理等数学核心素养.

【教材拓展】（2019•郑州模拟）已知数列｛m｝满足0=5,以=5,如卜1=痣+6aLQ22）.

（1）求证：｛。〃+1+2。〃｝是等比数列；

（2）求数列｛«〃｝的通项公式.

(J)证明因为。”+i=。〃+6。”一

所以4C十i+3。"+6々”-13(a”+2〃"-

因为41=5,42=5,

所以42+2〃|=15,

所以4+2。〃-]工0(〃22),

所以数歹iJ｛m+i+2〃“｝是以15为首项，3为公比的等比数列.

⑵解由⑴得m+i+2m=15X3〃r=5X33

则。〃+i=-2a〃+5X33

所以1—3"1=-2(。〃一3").

又因为〃]—3=2,所以々〃一3"#0,

所以｛〃〃一3〃｝是以2为首项，一2为公比的等比数列.

所以小一3〃=2X(-2)〃一|,

故如=2X(—2)'门+3".

探究提高数列递推式是数列命题常见类型，解题的关键是通过适当的变形，转

化成特殊数列问题.

【链接高考】(2018・全国I卷)已知数列｛〃〃｝满足0=1,+1=2(〃+1)。”.设bn

_On

n'

(1)求历,bi,加；

(2)判断数列｛为｝是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛小｝的通项公式.

解(1)由条件可得。:二

将〃=1代入得，42=4m,而ai=l,所以。2=4.

将〃=2代入得，。3=3。2,所以43=12.

从而匕i=Lbi=2,历=4.

⑵｛瓦｝是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下：

由条件可得署=等，即%讨=2。〃，又加=1,所以｛瓦｝是苜项为1,公比为2

的等比数列.

(3)由⑵可得管=2『i,所以跖=〃2「1.

教你如何审题—等差与等比数列的综合问题

【例题】(2018•天津卷)设仅〃｝是等差数列，其前〃项和为SG6N+)；｛加｝是等比

数列，公比大于0,其前〃项和为£(〃£N+).已知和=1,历=历+2,加=〃3+。5,

b5=〃4+2g

⑴求，和〃；

(2)若5〃+(7［+炎+…+£)=&+4/?〃，求正整数n的值.

［审题路线］

联想麻，I分析突破I方程思想

项和公式型里嬴本届7曳代9

-------色亚考)‘冷."|解方程，鼠］~~

［自主解答］

解(1)设等比数列｛6｝的公比为式夕＞0).

由6=1,加=历+2,可得42一夕一2=0.

因为乎＞0,可得夕=2,故为=2〃-1.

］—2W

所以。尸百=2〃-1.

设等差数列｛如｝的公差为d.

由64=43+05,可得。1+3d=4.

由bs—674H-2。6,口J得3<71+13d=16»从而tzi—1♦d—1,

故dn=H.

n(n+1)

所以S〃=

2

(2)由⑴,有

5+乃+•・・+?；=⑵+22+…+2”)一〃

2X(1—2〃)

n=2,,+'-n-2.

1-2

由S〃+(Ti+7^+~+Lt)=a〃+4b〃

可得--------+2”"-〃一2=〃+2〃I

整理得"2—3〃-4=0,解得〃=—1（舍），或〃=4.

所以n的值为4.

探究提高1.本题主要考查等差、等比数列通项公式与前〃项和公式计算，突出

方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键.

2.利用等差（比）数列的通项公式及前〃项和公式列方程（组）求出等差（比）数列的首

项和公差（比），进而写出所求教列的通项公式及前〃项和公式，这是求解等差数

列或等比数列问题的常用方法.

3.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以

便实现等差、等比数列之间的相互转化.

【尝试训练】（2017.全国II卷）已知等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S”，等比数列2〃｝

的前〃项和为4,41=—1,力1=1,G+历=2.

（1）若〃3+加=5,求｛%｝的通项公式；

（2）若乃=21,求S3.

解设｛小｝的公差为d,｛儿｝的公比为十

则〃〃=—1+（〃—l>d,bn=cfl

由G+力2=2得d+q=3.①

⑴由03+63=5得2d+q2=6.②

d=3,J=l,

联立①和②解得八（舍去），

⑦=。0=2.

因此｛仇｝的通项公式为仇=2〃1

（2）由。1=1,八=21得夕?十夕—20=0.

解得4=-5或4=4.

当q=-5时，由①得d=8,则S3=21.

当夕=4时，由①得1=-1,则S3=-6.

满分答题示范——数列的通项与求和

【例题】（12分）（2017•全国IU卷）设数列｛成｝满足的+3及+・・・+（2〃-1）&=2〃.

⑴求｛m｝的通项公式；

⑵求数歹”品］的前〃项和•

［规范解答1

（1）因为a1+3%+…+（2〃-1）“”=2〃，①

故”]〃二2时.a1+302+…+（2〃-3）4_]=2（〃-1）,②

...................................................................1分（得分点1）

①一②得⑵，-1"=2.所以&=高.

......................................................................4分（得分点2）

又〃=1时・勺=2适合上式，............5分（得分点3）

从而的通项公式为勺=五三.……

6分（得分点4）

⑵记・%：］的前〃项和为s“・

，-一幺=_______2______=___1______1_

2〃+1（2〃-1）（2〃+1）2n—12n+1*

.........................................................8分（得分点5）

则>=（1!）+（<—卷）+”,+（高-露）

10分（得分点6）

12n

=112分（得分点7）

2〃+12〃+「

［高考状元满分心得］

❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”，在第⑴问中，由小满足的

关系式，通过消项求得外，验证〃=1时成立，写出结果.在第（2）问中观察数列的

结构特征进行裂项一利用裂项相消法求得数列的前〃项和S”.

❷得关键分：（1）。〃一|满足的关系式，（2）验证〃=1,（3）对通项裂项都是不可少的

过程，有则给分，无则没分.

❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如（得分点2）,（得分

点5）,（得分点7）.

［构建模板］

任3）……由等差（等比）数列基本知识求通项，或者由

I递推公式求通项

（JU）……根据和的表达式或通项的特征•选择裂项相

I消法求和

筵以）……反思解题过程•检验易错点•规范解题步骤

【规范训练】(2019・芜湖调研)已知数列｛〃〃｝是等比数列，以=4,内+2是欧和

出的等差中项.

⑴求数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)设仇=21og2aL1,求数列｛。疝/的前n项和Tn.

解(1)设数列｛m｝的公比为切

因为42=4,所以°3=4g,Q4=4g2.

因为43+2是42和44的等差中项，

所以2(〃3+2)=42+。4.

即2(4夕+2)=4+4/，化简得夕2—2«=0.

因为公比(7=0,所以q=2.

所以a〃=a2/—2=4X2"-2=2〃m£N+).

(2)因为。〃=2",所以d=21og2〃〃一1—In—1,

所以anbn=(2〃-1)2〃,

则7；=lX2+3X22+5X23+・・・+(2〃-3)2〃r+(2〃-1)23①

2Tn=1X22+3X23+5X24H------F(2«-3)2,,+(2H-1)2W+,.(2)

由①一②得，

-7；,=24-2X22+2X23+―+2X2/,-(2/?-l)2,,+l

4(1—2"一|)

=2+2X------------一(2〃-1)2〃+1=—6—(2〃-3)2"+i,

所以〃=6+(2〃-3)2"".

I热点跟踪训期高效训练，提升能力

1.(2016•全国I卷)已知｛m｝是公差为3的等差数列，数列｛d｝满足历=1,岳=/

Clnbn+1+bn+1=flbn.

(1)求｛小｝的通项公式；

(2)求｛瓦｝的前〃项和.

解(1)由已知，6nb2+历=加，Z?i=l,Z?2=|,得ai=2.

所以数列｛«〃｝是首项为2,公差为3的等差数列，通项公式为“〃=3〃-1.

(2)由⑴和anbn+1+bn+1=nbn得仇+1=冬

因此｛儿｝是首项为1,公比为3的等比数列.

记｛儿｝的前〃项和为S”，贝I

2.已知数列｛m｝满足山=多且小+尸送上.

⑴求证：数列尚是等差数列：

⑵若bn=anan+if求数列｛儿｝的前〃项和Sn.

(1)证明易知a〃W0,,

Z十Un

-1_2+丁.J］=\

。〃+12ancin+12

又・・.；=2,

2a\

・・・数列［J］是以2为首项，J为公差的等差数列.

(2)解由(1)知，7=2+/(〃-1)=-2—，即+3，

(九+3)(〃+4)TQ+3〃+4,

=41厂干尸彳.

3.(2019・长郡中学联考)已知｛a，｝是等差数列，｛瓦｝是等比数列，6ii=l,bi=2,bi

=2G,63=2^3+2.

⑴求｛如｝，｛/M的通项公式；

(2)右了的前n项和为S”,求证：Sn<2.

bn

(1)解设｛m｝的公差为d,｛瓦｝的公比为4,

2g=2(1+d),

由题意得

2a2=2(l+2d)+2,

解得]d=l,或k\d=­\,

4=2

•**(ln=n,bn=2".

(2)证明由⑴知源=养

•Si_2'22'23***e'x।十2"'

两式相减得/产g+分+m+^+…

%.*.Sn<2.

4.(2019•广州一模)已知数列｛〃“｝的前〃项和为S”，数列|呼｝是首项为1,公差为2

的等差数列.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝满足性+管+…+件=5—(4〃+5)待，求数列｛岳｝的前〃项和

uI。2On\4/

解(1)由题意可得：押=1+2(〃-1),可得：S“=2〃2—

2

当时，an=Sn—Sn-1—liv—n—[2(〃-I)—(〃-1)]=4〃-3.

当〃=1时，的=1对上式也成立.

。〃=4/1—3(〃£N+).

।02।,Cln_..

Q)-瓦+豆+…+而=5—(z4"+5)你

，心2时,券+曹+・・・+公=5-(而+1)

相减可得：~(4n—3)X(])(〃22),

又发=3满足上式，

•啜=(4〃_3)X(0(〃£N+).

2(2M—1)

・・・瓦=2。・••数歹ij｛瓦｝的前n项和Tn=—瞑Tj—=2"+|—2.

5.(2019宜春调研)已知公差不为。的等差数列■〃｝的首项m=2,且m+1,为+1,

出+1成等比数列.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

13

(2)设d=-------,〃WN+,Sn是数列｛瓦｝的前〃项和，求使成立的最大的正

ClnCln-v\1V

整数比

解(1)设｛如｝的公差为4.

由ai+1,s+l,44+1成等比数列，

可得3+l)2=(ai+1)3+1)，又。1=2,

・・・(3+J)2=3(3+3J),解得d=3