自考公共课学习资料 1线性代数（经管类）

《线性代数（经管类）》

综合测验题库

一、单项选择题

1.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是（）

A.A-1正定

B.A没有负的特征值

C.A的正惯性指数等于n

D.A合同于单位阵

2.二次型f（X|,X2,X3）=X『+X22+X3?+2X1X2+2X1X3+2X2X3.下列说法正确的是（）

A.是正定的

B.其矩阵可逆

C.其秩为1

D.其秩为2

3.设f=XTAX,g=XTBX是两个n元正定二次型，则（）未必是正定二次型。

A.XT（A+B）X

B.XTA'X

C.XTB'X

D.XTABX

4.设A,B为正定阵，贝U（）

A.AB,A+B都正定

B.AB正定，A+B非正定

C.AB非正定，A+B正定

D.AB不一定正定，A+B正定

5.二次型£=*1人*经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy,则矩阵A与B（）

A.一定合同

B.一定相似

C.即相似又合同

D.即不相似也不合同

6.实对称矩阵A的秩等于r,又它有t个正特征值，则它的符号差为（）

A.r

B.t-r

C.2t-r

D.r-t

7.设

-ir

月=i，则以矩阵A为对应的二次型是（）

11

A.1（二,和号）=/2+=：+「?

B.々，向）=再+2项+药

C./（.孙为）=婷+K+婷+2百号

D./（应，马，号）=xj+2xi3

8.f（X1,X2,X3）=X]2-2X|X2+4X32对应的矩阵是（）

・1-1O'

A-140

OOO

-0-1O-

B.-110

004_

■1-1O-

C.-100

004_

'4-1O-

P.-110

000

9.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC,则下述结论（）不成立。

A.A与B相似

B.A与B等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B有相同的特征向量

10.下列命题错误的是（）

A.属于不同特征值的特征向量必线性无关

B.属于同一特征值的特征向量必线性相关

C.相似矩阵必有相同的特征值

D.特征值相同的矩阵未必相似

11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是（）

口10、

A.011

<00L

1-2后

C.-20-1

有-14

一4-24"

D.5-33

-10-2_

(5

A=

12.已知矩阵I”21,有一个特征值为0,则()

A.x=2.5

B.x=l

C.x=-2.5

D.x=0

13.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则|A-4E|=()

A.2

B.-6

C.6

D.24

14.已知f(x)=x2+x+l方阵A的特征值1,0,-1,510f(A)的特征值为()

A.3,1,1

B.2,-1,-2

C.3,1,-1

D.3,0,1

15.设A的特征值为1,-1,向量a是属于1的特征向量，。是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是（）

A.a和p线性无关

B.a+p是A的特征向量

C.a与p线性相关

D.a与P必正交

16.设a是矩阵A对应于特征值X的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中（）是P'AP对应于X的特征向量。

A.a

B.Pa

C.P-'aP

D.P'a

17.Q入2都是n阶矩阵A的特征值，兀界2,且XI与X2分别是对应于解与入2的特征向量，当（）时，X=k|X|+k2X2

必是A的特征向量。

A.ki=0且k2=0

B.k#0且k2ro

C.ki-k2=0

D.ki/0而k2=0

门0、

18.矩阵的特征值为（）

（21J

A.1,1

B.2,2

C.1,2

D.0,0

19.n元线性方程组Ax二b有两个解a、c,则a-c是（）的解。

A.2Ax=b

B.Ax=0

C.Ax=a

D.Ax=c

20.非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4,A是4x6矩阵，贝|（）。

A.无法确定方程组是否有解

B.方程组有无穷多解

C.方程组有惟一解

D.方程组无解

21.对于齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时（）

A.只能进行行变换

B.只能进行列变换

C.不能进行行变换

D.可以进行行和列变换

22凶、X2是AX=O的两不对应成比例的解，其中A为n阶方阵，则基础解系中向量个数为（）。

A.至少2个

B.无基础解系

C.至少1个

D.n-1

西+2X2+弓=0

.齐次线性方程组，有非解，则

23Xj+x2+2X3=00k=()

2xi+3+3勺=0

A.1

B.3

C.-3

D.-1

24.设A是m行n列矩阵，r（A）=r,则下列正确的是（）

A.Ax=O的基础解系中的解向量个数可能为n-r

B.Ax=O的基础解系中的解向量个数不可能为n-r

C.Ax-0的基础解系中的解向量个数一定为n-r

D.Ax=O的基础解系中的解向量个数为不确定

2%J-x2+x3=l

25.设肉，02为I々+X3=°的解向量，6,（X2为对应齐次方程组的解，则（）。

A.p1+02+2al为该非齐次方程组的解

B.p1+ai+a2为该非齐次方程组的解

C.pi+p2为该非齐次方程组的解

D.pI-p.+a.为该非齐次方程组的解

占+2为+33=0

<2Xj+5万+3弓=0

.对于齐次线性方程组〔再

26+8弓=°而言，它的解的情况是（）。

A.有惟一组解

B.无解

C.只有零解

D.无穷多解

27.若dig线性无关，0是另外一个向量，贝！Jai+B与(I2+B()

A.线性无关

B.线性相关

C.即线性相关又线性无关

D.不确定

B.ai，U2

C.aj.a?,as

D.ai，as.。5

29.ai=(1,0,0),a2=(2,1,0),a3=(0,3,0),a4=(2,2,2)的极大无关组是(

A.ai,a2

B.ai,as

C.ai,a2,O4

D.ai,a2,as

30.向量组(1,-1,0),(2,4,1),(1,5,1)的秩为()

A.l

B.2

C.3

D.4

31.设A是m行n列矩阵，B是m行k列矩阵，则()

A.r(A,B)小于等于r(A)与r(B)之和

B.r(A,B)大于r(A)与r(B)之和

C.r(A,B)小于r(A)与r(B)之和

D.不确定

32.向量组A的任何一个部分组()由该向量组线性表示。

儿都能

B.一定不能

C.不一定能

D.不确定

33.含有零向量的向量组()

A.可能线性相关

B.必线性相关

C.可能线性无关

D.必线性无关

34.若向量组a”a2,…，痣线性无关，PHp2..%是它的加长向量组，则仇，血，…，0s的线性相关性是

()

A.线性无关

B.线性相关

C.既线性相关又线性无关

D.不确定

35.设ai=(1,1,0),a2=(0,1,1),<X3=(1,0,1),试判断ai.ct2.a3的相关性()

A.线性无关

B.线性相关

C.既线性相关又线性无关

D.不确定

36.a,丫是三维列向量，且|a,p,y|#0,则向量组a,0,丫的线性相关性是()

A.线性无关

B.线性相关

C.既线性相关又线性无关

D.不确定

37.(-1,1)能否表示成(1,0)和(2,0)的线性组合？若能则表出系数为()

A.能,1,1

B.不能

C.能,-1,1

D.能,1,-1

38.(4,0)能否表示成(-1,2),(3,2)和(6,4)的线性组合？若能则表出系数为()

A.能，系数不唯一

B.不能

C.能，-1,-1,1

D.能，-1,1,0

39.设。=(1,0,1),y=(1,1,-1),则满足条件3x+p=y的x为()

A.-l/3(0,l,-2)

B.1/3(0,1,-2)

C.(0,l,-2)

D.(0,-l,2)

40.设a,0,y都是n维向量，k,1是数，下列运算不成立的是()

A.a+p=p+a

B.(a+p)+y=a+(p+y)

C.a,0对应分量成比例，可以说明a=p

D.a+(—a)—0

41.若mxn矩阵C中n个列向量线性无关，则C的秩()

A.大于m

B.大于n

C.等于n

D.等于m

42.向量组,=0，2,3,%=(3,2,1,-1咒多=(2,31,1咒。=(2,2,2,-1)「的一个极大线性无关组可以取为

()

A.aj

B.ai，

C.ai，3oi3

D.ai,(X2，013，a4

%的「•，%

A>Ba，…，Bt

43.设有向量组()

%Nl，#2,…，舟

的秩分别为勺,，2,%则I，2，，3,之间的正确关系是

A.r3=rx+r2

B.r3T1§r2

C.r3<r1+r2

D.r3>r1+r2

,则该向量组()

A.当arl时线性无关

B.线性无关

C.当时1且在2时线性无关

D.线性相关

45.向量组从=[1,0,5,2『，巧=[3,-2,3,-4『，H=[-1,1,a3『线性相关，则a的值为()

A.1

B.2

C.4

D.5

46.对于向量组力(i=l,2,...n)因为有0yi+0y2+…+0K=0，则丫”丫2，…，。是()向量组

A.全为零向量

B.线性相关

C.线性无关

D任意

47.设A,B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT.BT^()矩阵。

A.上三角

B.下三角

C.对角形

D.既非上三角也非下三角

48.如果A2-6A=E,则A''=()。

A.A-3E

B.A+3E

C.A+6E

D.A-6E

49.下列关于可逆矩阵的性质，不正确的是()。

A.(AT)(A-1)T

B.可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去

C.AkA'=Ak+1

D.A0=1

-13

50.设A=-52_,则A*=()o

23

A.

-51

2-3

B.

—51

2-3

C.

51

2

D.

—5

51.

设A是n阶方阵，且国=1,则|(5H)T卜()

A.5*+1

B.5*T

C.5*i

D.5T

52.设A,B,C是n阶方阵，下列各式中未必成立的是()。

A.ABC=ACB

B.(A+B)+C=A+(B+C)

C.A(B+C)=AC+AB

D.(A+B)C=AC+BC

53.

设是3维列向量则行列式|a,2，引=()

A.\-P，~Y，-a\

B.\P.a，Y\

C.\a.P+Y，P-Y\

D.\a-y,a+/3,a\

54.

设矩阵工=则和4等价的矩阵是（）

122J

（10

A.U2

（A3,

c.p1n

（222）

<11、

D.22

\22）

55.

、

设仪43）人X1

2打

当X与y满足______时，有AB=BAo

A.2x=7

B.y=x

C.y=x+1

D.y=x-1

56.设A、B是同阶对称矩阵，则人8是（）

A.对称矩阵

B.非对称矩阵

C.反对称矩阵

D.不一定是对称矩阵

57.设A为3阶矩阵，且已知13"+2©=°,则A必有一个特征值为（）

A.3

2

2

B.

3

D.3

2

58.设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2,2,3.则Il=()

C.7

D.12

59.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（）

'000-

A.000

_001_

■100'

B.020

_00-3_

'123'

C.202

_526_

-2-13-

D.-16-2

3-25

60.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是()

B.2.-1.3

C2,i,4

D.1,3,4

61.A为三阶矩阵，°，T，1为它的三个特征值淇对应的特征向量为必，必，论.设产=[/外为],则下列

等式错误的是（）

000

AF、AP=0-10

001_

-0001

B.A=P0-10p-1

_001_

00o-

C.P-XAP=010

00-1_

D.jlpj=0

62.n元实二次型正定的充分必要条件是（）

A.该二次型的秩=n

B.该二次型的负惯性指数=>!

C.该二次型的正惯性指数=它的秩

D.该二次型的正惯性指数=n

63.已知/=且幺与8相似，则有（）

A.a=3rb=l

1,5

B・以=一力=一

22

C.a=-3,6=1

22

64.设4,4是A的两个不同的特征值，又a,户分别是A属于4,4的特征向量，则a与产（）

A.线性无关

B.线性相关

C.对应分量成比例

D.可能有零向量

65.二次型/（卬必丹）=#+W+X：+2々孙+4空3的矩阵为（

)

,124、

A.210

、401,

,124、

B.010

、。0b

。12、

C.110

、201,

，10、

D.112

、02b

」，X2,马）=X；+君+2*2

66.二次型的矩阵为（)

11

A.

11

2

1_

110'

C.110

_200

-11。:

D.110

000

67.设矩阵工与8相似.则下列结论错误的是（）

A.4与B有相同的特征值

B.j与8有相同的特征向量

C.国=|5|

D.才与#也相似

68,兄为方阵A的一个特征值.则下列结论错误的是（）

A.N。0

B.若上可逆，则;1W0且工是A”的特征值

A

C.才是片的特征值

D.N可能为0

X]+叼=-%

々+的=的有解,则常数为,42，%，4应满足（）

69.若线性方程组《

均+工4=一43

A+再=%

A・白］+。2+白3+以4=3

B・/+叼+&+4=2

C.+«?+43+以4=1

D,以i+«2+白3+以4=0

々+覆=2

70.若方程组,々+2叼=1有解,则常数k为（）

X]+K=k

,3

A.k=—

2

B.^=—

2

C.k=-

3

,4

D.无=一

3

2013

71.设力=01025，则齐次方程组工x=0的基础解系中含有解向量的个数为（）

00049

A.1

B.2

C.3

D.4

3占+3电+-+3/=5有解的充分必要条件是（）

72.非齐次方程组4

2再+2x?+•—=b

10

A.L=—

3

,3

B.=―

10

10

c.力L=—

2

D.b=—

10

上+弓+弓+玉=0

冬+2马+2x.=1,,小।一

73.1;4a,b为何值时，上述非齐次线性方程组无解（）

一叼+（0一3）0-2X4=b

3々+2叼+弓+公4=1

A.a/1时，r(A)=2,r(A,b)>3

B.a=l时，r(A)=2,r(A,b)>3

C.#l，r(A)=r(A,b)=4

D.a=l,r(A)=r(A,b)=4

玉+々+弓+々=0

叼+20+2X=1

74J4a,b为何值时，上述非齐次线性方程组有唯一解()

石_

-x2+(«-3)2X4=b

3再+2的+句+叫=1

A.a/1,r(A)=r(A,b)=4

B.a/1,r(A)=r(A,b)=3

C.a=l时，r(A)=2,r(A,b)>3

D.a=l时，r(A)=2,r(A,b)=3

75.下列关于线性方程组的说法不正确的是()

A.齐次方程组Ax=O有非零解的充分必要条件是r(A)大于未知数的个数n

B.非齐次线性方程组Ax=b有解=系数矩阵与增广矩阵有相等的秩

C.如果r(Ab)=r(A)=n(n为未知数的个数)，则方程组Ax二b有惟一的解

D.如果r(Ab)=r(A)=n(n小于未知数的个数)，则方程组Ax=b有无穷多解

76.下列说法不正确的是()

A.齐次方程组Ax=O的任意n-r(A)个线性无关的解都构成它的一个基础解系.

B.齐次方程组Ax=O的任意rr(A)个线性相关的解都构成它的一个基础解系.

C.设九如…*一是齐次方程组的基础解系，则X=Cg+弓备+…+C一盘一为其通解.

D.设。是Ax=b的一个解，九男是齐次方程组的基础解系.则

工二不+。鸣+G刍+•・•+6_/或〜为蚁二b的通解.

77.设%%线性无关，身=左通+附生,自=+舄2%，,下列说法正确的是

AJ1^21

()

A.若？?=0,则凡自线性无关.

B•若??#0,则月,用线性无关.

^21与2

C.若?，=0,则月,向线性相关.

^21%

D.若勺*。0,则母,月线性相关.

用1占2

78.下列说法不正确的是（）

A.设a,0都是Ax=O的解，则ga+C?#也是Ax=O的解（&,G为任意常数）

B.设n是Ax=b的一个解，?是它的导出组Ax=O的解，则g+n是Ax=b的解.

C.设n是Ax=b的一个解，号是它的导出组Ax=C的解，则m+n是Ax=O的解.

D.设毛I，%都是Ax=b的解，则当占+上2=1时，也是Ax=b的解.

79.设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2,a,生,小为方程组的解，为+%=（2,0,4尸，为+%=（1,-2,球，

则对任意常数k,方程组Ax=b的通解为（）

rr

A.（l,0J2）+^l,-2,l）

B.。一2,1）「+左（2,0,4）1

C.（2,0,4/+^（1,-2,1/

D.（1,0,2/+^（1,2,3/

80.设A为mxn矩阵，方程Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）

A.A的行向量组线性无关

B.A的行向量组线性相关

C.A的列向量组线性无关

D.A的列向量组线性相关

34+死一勺=0

81.如果方程组＜4勺一后=0有非零解，则k=（）

4X2+也=0

A.-2

B.-1

C.1

D.2

82.已知肉，而是非齐次线性方程组4c=5的两个不同的解，%，生是其导出组Ax=0的一个基础解系，G,Ci

为任意常数，则方程组人乂二1）的通解可以表为（）

A.5（后+自）+G%+G（%+%）

B.5（后—自）+G（%+%）

cg（月+用）+G%+。2（后一区）

D.g（屈一自）+C1%+。式向+自）

83.若出，工2是线性方程组回=力的解，%，%是方程组〃r=o的解，则（）是力^=力的解.

A.；区+|"工2

n12

8芍%+1内

cx「x）

DM+Xj

84.设%，电，…1是阀元齐次方程组出=°的基础解系，则下列正确的是（）

A.%线性相关

B.比=0的任意s+1个解向量线性相关

C.s-KQ4）=n

D.击=0的任意s-1个解向量线性相关

、_«-1）玉+2%=

85.若齐次方程组412有非零解，则下列正确的是（）

2々+（上一1定=0

A.上工一1

B.小H3

C.k丰一1且A；H3

D.k=-1或后=3.

86.下列说法不正确的是（）

A.一个向量a线性相关的充分必要条件是a=O

B.两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例

C.n个n维向量线性相关的充分必要条件是相应的行列式为0

D.当向量个数小于维数时，向量组必线性相关

87.向量组%，生，…，色的秩=黄$22）的充分必要条件是（）

A.%,生,…，％全是非零向量

B.%，电，…，％中任意两个向量都不成比例

C.%，生，…，％中任何一个向量都不能由其它向量线性表出

D.%，生，…，3中任意s-1个向量都线性无关

88.加〉的是％维向量组的，。2线性相关的（）

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.即不必要也不充分条件

89.%=（LL…D，&2=（2,2,…，2）,…，a林=（冽m，…，闻的秩为（）

A.0

B.w

C.2

D.1

90.设向量组%，电，…，［线性相关，则必可推出（）

A.%，生，…，％中至少有一个向量为零向量

B％中至少有两个向量成比例

C%,%,…，％中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合

D.%，生，…，％中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合

91.已知向量组％=（1，LD，生=。,2,0）0=（3,0,0）是、3的一组基,则向量力=（8,7,3）

在这组基下的坐标是（）

A.(2,3,1)

B.(3,2,1)

C.(1,2,3)

D.(1,3,2)

92.设。可由向量%=a°，°），%=（°，°」）线性表示，则下列向量中B只能是（）

A.（2,1,1）

B.（-3,0,2）

C.（1,1,0）

D.（0,-1,0）

93.向量组%...％2）线性无关的充分必要条件是（）

A.%%...，%均不为零向量

B.%，%……，［中任意两个向量不成比例

C.%，生，,……中任意s-1个向量线性无关

D.%，生，……，火中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示

94.设A是三阶方阵且IA|=2,则|（25尸一用的值为（）

16

Z7

95.设』=4,则⑶

A.-4

B.-2

C.2

D.4

96.设A为n阶方阵，*2,则|-5AI=()

A.(-5)nIA|

B.-5IA|

C.5|A|

D.5nIA|

97.设A是4x5矩阵，秩(A)=3,则()

A.A中的4阶子式都不为0

B.A中存在不为0的4阶子式

C.A中的3阶子式都不为0

D.A中存在不为0的3阶子式

98.设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为()

<111、

A.000

0

<111、

B.011

<00

1p

C.222

;00

<111、

D.222

、333)

99.下列命题正确的是()

A.两个零矩阵必相等

B.两个单位矩阵必相等

C.(A+E)(A-E)=A2-E2

D.若A和,AB=AC则必有B=C.

a+b

100.设矩阵)

0

A.a=3,b=-l,c=l,d=3

B.a=-1,b=3,c=l,d=3

C.a=3,b=-l,c=0,d=3

D.a=-1,b=3,c=0,d=3

2、

101.设A为2阶可逆矩阵，且已知（24）T,则人=（

4,

2、

4,

ifl2

2

4

2

102.设矩阵AB,C为同阶方阵，则（火（

A.^BTCT

B.CTBT^

C.CT^BT

D.^CTBT

103.设A为反对称矩阵，下列说法正确的是（）

A.力=工了

B.A=

C.A=A

D.A=-A

104.下列结论正确的是（）

A.（力3C）'=48&

。/8=。且国。0则8=0

D.^=O^A=O

105.AS都是n阶非零矩阵，其中工♦为A的伴随矩阵.则下列等式错误的是（）

A.⑷”=与

14

0口尸=4%-1

中卡山

OA

106.设AB是n阶可逆阵，O为n阶零矩阵，C为2n阶分块时角阵C=，则C的逆矩阵为（）

BO

'O夕「

A-1O

C..;

OB-l_

D.C矩阵不一定可逆

107.设工是於X/3矩阵，3是sx£矩阵，且遇C归有意义，则（7是（）矩阵

A.wxs

B.wx/

C.Exa

D.sx%

108.设AB,C都是〃阶矩阵.已知MC=E,则下列各式中恒正确的是（）

A.BAC=E

B.CBA=E

C.CAB=E

D.ACB=S

109设AB为任意小阶矩阵，因为"阶单位矩阵，°为邓介零矩阵.则下列各式中正确的是()

A.(乂+为2=4+2/+£

B.{A-By^^-2AB+B2

C.(AB)3=^B3

D.已知A2=O＞则j=O

110.设某3阶行列式IA|的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1,则此行列式1AI的值为

().

A.3

B.15

C.-10

D.8

0-1x0

11-1-1

111.设多项式1/0)=11,则f(x)的常数项为()

1—11—1

1-1-11

A.4

B.1

C.-1

D.-4

111

112.行列式234中第三行第二列元素的代数余子式的值为()

4916

A.3

B.-2

C.0

D.1

^11以125以]i+2al%3

113.设行列式£)=叼］他25以2i+2a22.，则Di的值为()

出1%5白3]+a*

A.-15

114.设A为三阶方阵且年一2,则13HH=（）

A.-108

B.-12

D.I08

115.设A是n阶方阵，入为实数，下列各式成立的是（）.

人.|纠=咽

B.pL4|=WM

C.\AA\=AX\A\

DJ训=14fMi

116.设A为3阶方阵，且已知21=2,则|止（）

A.-1

117.下列等式成立的是（），其中凡瓦为常数.

ab\db

+瓦

口1kaxka2+%ka3+用

118.设耳-?2A=i,那么瓦4)

%%1

A.k-1

B.k

C.1

D.k+I

%a2a3«la2a3

119.设=6,则

b]&2b?3a1-bx3a2-b23a3-b3=()

C।C?C3匕1匕2,3

A.18

B.-18

C.-6

D.6

120.设行列式"1=1,生'】=2,则"1?+a=(

)

a2b2。2。ab?+c2

A.-3

B.-l

C.l

D.3

121.设aB都是三阶方阵，且上＞0,则下式（）必成立.

A.p+5|=p|+|5|

B.四|=M同

C.（如）T=^T

D.\kA\=k\A\

122.下面结论正确的是（）

A.含有零元素的矩阵是零矩阵

B.零矩阵都是方阵

C.所有元素都是0的矩阵是零矩阵

D.若48都是零矩阵，则工=8.

80--01

00--20

123.行列式：；()

09--00

100-00

A.101

B.-101

C.810!

D.-810!

124.己知工四阶矩阵，则卜2川=

A.-2Ml

B.161H

C.2PI

D.|H

)

A.3d

B.5d

C.2d

D.d

X

LZX

126.计算四阶行列式二（）。

x

X

A.(x+3a)(x-a)3

B.(x+3a)(x-a)2

C.(x+3a)2(x-a)2

D.(x+3a)3(x-a)

127.行列式D如果按照第n列展开是()o

A.agA]n+a2nA2n+…+anr)Ann

B.auAu+a21A2i+...+an】Ani

C.anAn+ai2A2i+…+ainAni

D.anAii+a2iAi2+...+aniAin

128.关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是（）。

A.如果行列式不等于0,则方程组必有无穷多解

B.如果行列式不等于0,则方程组只有零解

C.如果行列式等于0,则方程组必有惟一解

D.如果行列式等于0,则方程组必有零解

100

129.计算930=()。

875

A.18

B.15

C.12

D.24

4-+勺=0

130.以()时，方程组＜2再+叼+句=0只有零解。

勺一演+3均=0

A.1

B.2

C.3

D.4

131.设=m/0»则)o

A.-9m

B.9m

C.m

D.3m

B.-kHD

C.k1©

D.(-k)HD

133.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1,2,3,它们的余子式分别为-1,1,2,D的值为（）

A.-3

B.-7

C.3

D.7

00b

1d0

134行列式中元素g的代数余子式的值为（）。

0ef0

00

A.bcf-bde

B.bde-bcf

C.acf-ade

D.ade-acf

135.下列行列式的值为()o

00••■0n

00—10

・・・■■•・・・・・・■■■

02-00

10-00

B.(-1尸n\

/小斯+1)•

C.(-l)2n\

D.«!

136.n阶行列式（）等于-1。

010-0010-0

100-0001-0

A.001-0B.::::

••••000-1

000-1100-0

010•••000•••01

100•••000•••10

C.001-0D.;::

::::01...00

000-010—00

10a

137.当a=()时，行列式-204的值为零。

012

A.0

B.1

C.-2

C.2

1aad

138.行列式2bbd的值等于()。

3ccd

A.abcd

B.d

C.6

D.O

a—11

139.行列式，[=0的充要条件是（）

1a-1

A.a/2

B.a加

C.a^2或a邦

D.a声2且a9

140.计算:

of3、

q2

0i=()

J7

-U

J1

(\n

综合测验题库答案与解析

一、单项选择题

1.正确答案：B

答案解析：A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA」C=In，两边求逆得到

C'A(CT)^C'A(C")T=k

即A合同于In，A正定，因此不应选A。

C是A正定的定义，也不是正确的选择。

D表明A的正惯性指数等于n,故A是正定阵，于是只能B。

事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。

2.正确答案：C

答案解析：二次型的矩阵

所以r(A)=1,故选项C正确，选项A,B,D都不正确。

3.正确答案：D

答案解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，

所以A的n个特征值Q,入.....儿都大于零，

11

|A|>0,设APj=%Pj,则A“Pj=入Pj,A」的n个特征值4，j=l,2,...,n,必都大于零,

这说明A"为正定阵，XTA“X为正定二定型，同理，Xi'B」X为正定二次型,

对任意n维非零列向量X都有XT(A+B)X=XTAX+XTBX>0»

这说明XT(A+B)X为正定二次型，

由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以XTABX未必为正定二次型。

4.正确答案：D

答案解析：•••A、B正定

对任何元素不全为零的向量X永远有XTAX>0；同时XTBX>0»

因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是对称阵。

5.正确答案：A

答案解析：f=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy,即B=pTAP,所以矩阵A与B一定合同。只有

当P是正交矩阵时，由于PT=P“，所以A与B即相似又合同。

6.正确答案：C

答案解析：A的正惯性指数为3负惯性指数为r-t,因此符号差等于2t-r。

7.正确答案：C

答案解析：主对角线元素对应Xl，X2,X3平方项系数：1,1,1。ai3和a3l系数的和对应X|X3的系数2

8.正确答案：C

答案解析：X|,X2,X3平方项系数对应主对角线元素：1,0,4。X|X2系数-2,对应ai2和321系数的和，ai2=-l,a2i=-lo

9.正确答案：D

答案解析：是正交阵，所以CT=C±B=C“AC,因此A与B相似，A对。

C是正交阵|C|不等于0,C5AC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对.

两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。

(XE-A)X=0,SE-B)X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零

解常常不同，所以只有D不对，选D。

10.正确答案：B

答案解析：属于同一特征值的特征向量未必线性相关，比如单位阵的特征值全是1,但它有n个线性无关的特

征向量，因此应选择B。

11.正确答案：C

答案解析：C是对称阵，必相似于对角阵，故选C。

12.正确答案：A

答案解析：|A|=5-2x,A有零特征值，得|A|=0,故x=2.5,显然应选A。

13.正确答案：B

答案解析：3阶矩阵A的特征值为1,2,3

/.|XE-A|展开式含有三个因子乘积：6-1)(X-2)(X-3)

V|XE-A|展开式炉项系数为1

.,.|XE-A|=(X-l)(X-2)(X-3)

；A为3阶矩阵

.\|A-XE|=(-1)3|XE-A|=(-1)3(1-1)(X-2)(X-3)

将4代入上式得到-6。

14.正确答案：A

答案解析：设A的特征值是Q则f(A)的特征值就是f(入)，把1,0,-1依次代入，得到3,1,1。

15.正确答案：A

答案解析：属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择A。

16.正确答案：D

答案解析：I•设P」AP=B.,.A=PBP-1

又,；Aa=XoaPBP-1a=X()a

AB(P'a)=Xo(P-'a)

17.正确答案：D

答案解析：A的特征向量不能是零向量，所以ki、k2不同时为零，所以A、C不对；xi、X2是两个不同的方程

组的解，两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解，所以A的特征向量不选B。选D是因为

k2=0,ki翔，x=kixi仍然是A的特征向量。

18.正确答案：A

2-10,

|兄£-外1=(兄-以=0

答案解析：〃

得到特征值是1，1。

19.正确答案：B

答案解析：A(a-c)=Aa-Ac=0,所以a-c是Ax=0的解。

20.正确答案：B

答案解析：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同，方程组必有解，因为方程组的未知数个数是6,而系

数矩阵的秩为4,因此方程组有无穷多解，选B.

21.正确答案：A

答案解析：齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时只能进行行变换

22.正确答案：A

答案解析：XI、X2不对应成比例，所以这两个解是线性无关的，从而基础解系中向量个数至少是2.

23.正确答案：B

121121

国=112=0-11=二-1-(上一4)

k-41

2k3。k-4

答案解析：=3-k

，k=3时，|A|=O有非0解

24.正确答案：C

答案解析：教材P112定理4.1.1

25.正确答案：B

答案解析：本题考查线性方程组的解的性质,依题意知,

r2f20、

-11-11

(B1+B2+2011)I1(2,0),(0i+ai+a2)11”=(1.0),

，20、0、

-111

(P1+P2)v1”=(0,0),因此选B。

(2,0),(pi-p2+ai)

26.正确答案：C

'123、

253

答案解析：这是一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况。系数矩阵A=U0

’100、

21-3

第一列乘以-2加到第二列，第一列乘以-3加到第三列，得U-25)1第二列乘以3加到第三列上，得

‘100、

210

J-2因此r(A)=3,系数矩阵的秩等于未知数个数，因此方程组只有零解，选C。

27.正确答案：D

答案解析:例如，a产(1,1),a2=(0,2),p=(-1,-1)

则aim线性无关，而四+。=(0,0),ai+P=(-1,1)线性相关。

如果忏(0,0)，那么ai+Bm+B还是线性无关的.

28.正确答案：D

以％%,&3,1，的为列向壁的矩阵作初等行变换，有

q7252、"I7252、

0-11-10