北京市海淀区2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 含解析

海淀区高一年级练习数学2024.07学校__________班级__________姓名__________考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若复数满足，则的虚部为（）A. B.2 C. D.2.已知向量，则（）A.0 B. C. D.3.函数的部分图象如图所示，则其解析式为（）A. B.C. D.4.若，且，则（）A B. C. D.75.在中，点D满足，若，则（）A. B. C.3 D.6.已知，则下列直线中，是函数对称轴为（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中．若，则（）A. B. C. D.8.在中，已知．则下列说法正确的是（）A.当时，是锐角三角形 B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形 D.当时，是等腰三角形9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.定义域为函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.知复数z满足，则__________，__________．12.在中，，P满足，则____________．13.在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________．14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m．15已知函数，给出下列四个结论：①对任意的，函数是周期函数；②存在，使得函数在上单调递减；③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的，记函数的最大值为，则．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数．（1）求的值和的零点；（2）求的单调递增区间．17.已知．（1）求；（2）若，求的最小值．18.在中，．（1）求A的大小；（2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线长．条件①：；条件②：的面积为；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量．（1）判断是否是2阶可等向量？说明理由；（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求；（3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量．海淀区高一年级练习数学2024.07学校__________班级__________姓名__________考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若复数满足，则的虚部为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部.【详解】因为，所以，所以的虚部为.故选：A2.已知向量，则（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标表示计算．【详解】由题意，故选：B．3.函数的部分图象如图所示，则其解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由最小值求得，由求得，再结合最小值点和周期求得．【详解】由图象知，所以，则或，又，所以，，，，，又，，已知，所以，所以，故选：D．4.若，且，则（）A. B. C. D.7【答案】D【解析】分析】根据正弦得到正切值，利用正切差角公式计算出答案.【详解】因为，所以，又，所以，故，所以.故选：D5.在中，点D满足，若，则（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的三角形法则即可得解【详解】如图，因为在中，，所以，又，所以,所以，故选：B.6.已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】举例说明判断ABD；利用轴对称的意义判断C.【详解】依题意，，解得，对于A，，，则函数的图象关于不对称，A不是；对于B，，，则函数的图象关于不对称，B不是；对于C，，即，，则函数的图象关于对称，C是；对于D，，，则函数的图象关于不对称，D不是.故选：C7.在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中．若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先的坐标，然后求出模长，然后结合辅助角公式化简，建立关于的方程，解方程即可得解.【详解】因平面直角坐标系xOy中，点，点所以所以又所以，即所以，又因为所以，即，故选：A.8.在中，已知．则下列说法正确的是（）A.当时，是锐角三角形 B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形 D.当时，是等腰三角形【答案】B【解析】【分析】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项.【详解】对于A:因为由正弦定理,当时，是钝角三角形,当时，是钝角三角形,A选项错误；对于B:因为,由,所以是直角三角形,B选项正确；对于C:因为,由当时，,是锐角三角形,C选项错误；对于D:因为,由,,,因为，所以不是等腰三角形,D选项错误；故选：B.9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.【详解】因为是非零向量，若，则，所以，所以对于任意的，都有成立，故充分性成立；若对于任意的，都有成立，则，即，所以，所以，所以，故必要性成立；所以“”是“对于任意的，都有成立”的充要条件.故选：C10.定义域为的函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出两个端点，设的横坐标为，纵坐标为，进一步确定，从而求出，求出，得到答案.【详解】在上的两个端点分别为，设的横坐标为，纵坐标为，则，故，，故，，所以，当时，等号成立，故实数k的取值范围为.故选：B二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.知复数z满足，则__________，__________．【答案】①.；②..【解析】【分析】根据复数的运算法则，及共轭复数的定义即可求解【详解】因为，所以；所以的共轭复数，故答案为：，12.在中，，P满足，则____________．【答案】0【解析】【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解.【详解】由题意可知，.故答案为：13.在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________．【答案】①.（答案不唯一）②.1【解析】【分析】根据正弦定理，可以进行边化角，然后得到，根据，可得k的取值，又，即可得到的具体值.【详解】因为，由正弦定理可得，，又，所以，所以，又，取，所以，所以当时，，故答案为：，1.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m．【答案】【解析】【分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解.【详解】由题意可知，，，，，设，则，，，根据，则，解得：所以塔尖距离底面的高度为米.故答案为：15.已知函数，给出下列四个结论：①对任意的，函数是周期函数；②存在，使得函数在上单调递减；③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的，记函数的最大值为，则．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】【分析】根据周期函数的定义可以证明①，取时可以判断②，取时可以判断③、④.【详解】对于①，令，则，所以对任意的，函数是周期函数，故①正确；对于②，当时，，所以所以，当时，即，因为，所以，易知在上单调递减，即存在，使得函数在上单调递减，故②正确；对于③，当时，令，即，易知定义域为R.因为所以图象关于轴对称；又因为，所以为奇函数，图象关于原点中心对称，所以存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；故③正确；对于④，假设④为假命题，则它的否定：“存在，记函数的最大值为，则”为真命题，由③知，当时，所以，所以，存在，函数的最大值为，则，所以假设成立，即④为假命题，故答案为：①②③.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数．（1）求的值和的零点；（2）求的单调递增区间．【答案】（1），的零点为；（2）的单调递增区间为.【解析】【分析】（1）先应用诱导公式及两角和差化简，再根据正弦函数的对称中心求出零点即可；（2）应用正弦函数的单调区间求解即可.【小问1详解】令，所以．所以的零点为【小问2详解】因为的单调递增区间为所以．所以所以函数的单调递增区间为17.已知．（1）求；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解；（2）利用向量的运算律，将转化为关于的二次函数，然后求出最值即可.小问1详解】因为，，因为所以，【小问2详解】由（1）知，，因为所以当时，的最小值为18.在中，．（1）求A的大小；（2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长．条件①：；条件②：面积为；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）答案见解析，最长边上高线长.【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化简求值；（2）若选择条件①，方法一，根据正弦定理和余弦定理求三边，判断最长边，再根据几何关系求高，方法二，根据边长和角，根据大角对大边，直接判断最长边，再求高；若选择条件②，根据面积求，再根据余弦定理求边长，再求最长边的高；如选择条件③，根据正弦定理，判断是否存在.【小问1详解】因为，所以所以，所以，因为，所以舍所以，则；【小问2详解】选择①因为，由正弦定理代入，得法一：由余弦定理代入得所以所以或（舍），所以边最长，边上的高线法二：因为，所以，所以，所以，所以为最长边边上的高线选择②因为所以因为，由余弦定理所以所以或所以最长边上的高线，若选择③，，根据正弦定理，，则，不成立，此时不存在.19.已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量．（1）判断是否是2阶可等向量？说明理由；（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求；（3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量．【答案】（1）是2阶可等向量，理由见解析；（2）5；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据的定义即可求解，（2）根据的定义即可求解，，即可结合是2阶可等向量求解，（3）根据是阶可等向量，等价于是阶可等向量，即可根据变换求证.【小问1详解】是2阶可等向量．例如经过两次变换可得：【小问2详解