数学课后训练：一次函数和二次函数待定系数法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后训练千里之行始于足下1．已知二次函数顶点为（0，4），且过点（1，5)，则解析式为(）．A．B．C．y＝4x2＋1D．y＝x2＋42．已知x3＋2x2－5x－6＝(x＋a)（x＋b）(x＋c），则a，b，c的值分别为（)．A．1,2,3B．1，－2，－3C．1,－2,3D．1,2，－33．已知抛物线经过（－1,0），(2，7），(1,4）三点，则其解析式为（）．A．B．C．D．4．下图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则该函数的解析式为________．5．若二次函数f1（x）＝a1x2＋b1x＋c1和f2(x）＝a2x2＋b2x＋c2，若F(x）＝f1（x)＋f2(x），则F（x）在（－∞,＋∞)上单调递增的条件是________．6．已知f（x）＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0且f(x＋1)＝f（x）＋x＋1，则f（x)＝________。7．如图所示为某桥桥洞的横断面，桥下水面宽16米,当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为________米．(精确到0。1米)8．已知二次函数y＝x2－2(m－1）x＋m2－2m－3，其中m(1)求证:不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0），且x1、x2的倒数和为，求这个函数的解析式．9．已知函数f（x)＝|x－a|，g(x)＝x2＋2ax＋1（a为正常数),且函数f(x)与g（x）的图象在y轴上的交点的纵坐标相等．(1)求a的值；(2）求函数f(x)＋g（x)的单调递增区间．百尺竿头更进一步设二次函数f（x）满足f（x－2)＝f(－x－2)，且图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式．参考答案1。答案：D解析：设二次函数为y＝ax2＋4,x＝1时,y＝a＋4＝5，∴a＝1.2.答案：C解析:(x＋a）（x＋b)(x＋c）＝x3＋（a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x＋abc，∵（x＋a)（x＋b）(x＋c）＝x3＋2x2－5x－6，∴解得a＝1,b＝－2，c＝3。3.答案:B解析：设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）,则有∴4.答案：解析：设二次函数为y＝a(x＋1)（x－3)，∵点(0,－2）在图象上，∴－2＝a（0＋1）（0－3)．解得∴.5.答案：a1＋a2＝0，b1＋b2>0解析:∵F(x）＝f1(x）＋f2（x)＝(a1＋a2）x2＋(b1＋b2）x＋c1＋c2在(－∞，＋∞）上单调递增，∴F（x）一定不是二次函数，只可能是一次函数，∴a1＋a2＝0，b1＋b2〉0.6.答案：解析:由题意得即∴解得，，c＝0。∴.7.答案：2。6解析：设抛物线解析式为y＝ax2(a〈0），设点（8,y)(y〈0），（6,y＋2)在抛物线上，∴∴由题意知,桥洞顶部距达到警戒水位时高度为．8。解:（1)证明：和这个二次函数对应的一元二次方程是x2－2（m－1)x＋m2－2m∵Δ＝4（m－1）2－4（m2－2m－3)＝4m2－8m＋4－∴方程x2－2(m－1）x＋m2－2m∴不论m取何值,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．（2)由题意，可知x1、x2是方程x2－2（m－1）x＋m2－2m∴x1＋x2＝2（m－1）,x1·x2＝m2－2m∵，即,∴.解得m＝0，或m＝5.经检验，m＝0,m＝5都是方程的解．∴所求二次函数的解析式是y＝x2＋2x－3，或y＝x2－8x＋12。9。解：(1）由题意，f（0)＝g（0），即|a|＝1，又a>0，所以a＝1.(2）f（x）＋g(x）＝｜x－1｜＋x2＋2x＋1。当x≥1时，f(x）＋g（x）＝x2＋3x，它在［1，＋∞）上单调递增；当x<1时，f(x）＋g(x)＝x2＋x＋2，它在[－，1）上单调递增；综上，结合f(x）＋g（x）的图象知f(x)＋g（x）的单调递增区间是[－，＋∞)．百尺竿头更进一步解:设该二次函数为f(x）＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其图象与x轴交点为A（x1,0)，B（x2，0)．∵二次函数f（x）满足f(x－2）＝f（－x－2）,∴a（x－2)2＋b（x－2)＋c＝a（－x－2）2＋b（－x－2)＋c，即ax2＋（b－4a）x＋（4a－2b＋c）＝ax2＋(4a－b)x＋(4a－2b＋c），∴b－4a＝4a－b,∴b＝4a。又∵二次函数在y轴上截距为1，∴f(0)＝1,∴c＝1，∴二次函数为f（x)＝ax2＋4