6.4+探索三角形相似的条件（第2课时）（课件）九年级数学下册（苏科版）

第6章·图形的相似6.4探索三角形相似的条件（2）第2课时利用两角证相似学习目标1.会证明“两角分别相等的两个三角形相似”；2.会用已知两角相等证明两个三角形相似，进而解决有关问题．知识回顾

在学习全等三角形时，我们知道，除了可以通过证明各角分别相等、各边分别相等来判定两个三角形全等外，还可以减少判定条件.全等判定：(对应)边角都等(6组量)判定方法角边角角角边边角边边边边三角对应相等,三边对应成比例1.两角对应相等2.两边对应成比例且夹角相等3.两边对应成比例且

其中一边的对角相等类似地，判定两个三角形相似还有没有其他的判定方法呢？4.三边对应成比例实践与探索活动一

如图，已知∠α、∠β.αβ作△ABC，使∠A=∠α、∠B=∠β.这样的三角形可以作多少个？它们都相似吗？βββ实践与探索活动二

如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.ABCA′B′C′A′B′C′平移△A′B′C′

使点A与点A′重合，A′B′落在AB上(假设AB＞A′B′).△ABC和△A′B′C′相似

吗？为什么？相似，理由如下：由∠A=∠A′，可知A′C′落在AC上根据例1所得的结论可得△ABC∽△A′B′C′.因为平移不改变形状和大小，所以△ABC∽△A′B′C′.实践与探索已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在线段AB上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E.根据例1所得的结论可得△ABC∽△ADE.∴∠ADE＝∠B.∵∠B＝∠B′，∴∠ADE＝∠B′.又∵∠A＝∠A′，AD＝A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.ABCA′B′C′ED新知归纳两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：ABCA′B′C′三角形相似的判定定理1:在△ABC和△A'B'C'中，1.过△ABC(∠C＞∠B)的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来．讨论与交流ABCEDABCED作DE，使∠ADE=∠B(或DE∥BC)作DE，使∠AED=∠B

讨论与交流ABCA′B′C′(2)当k≠1时，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可以得到△ABC∽△A'B'C'.解：(1)当k=1时，AB=A'B'，根据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”,可以得到△ABC≌△A'B'C';①所有的等腰三角形都相似;②所有的直角三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似;④所有的等边三角形都相似;⑤有一个角是100°的两个等腰三角形都相似;⑥有一个角是70°的两个等腰三角形都相似.

1.下列说法正确的有___________③④⑤新知巩固对应新知巩固②①④2.如图，已知点D、E分别在AB、AC或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形.△ADE∽△ACB△ADE∽△ABC△ADC∽△ACB△ADE∽△ACBEABCD12ABCD12③EABCD12BEACD12注意对应顶点放在对应位置.最常见的两个相似三角形基本模型：“A”型和“X”型.例1

如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝50°，∠B＝∠B′＝60°，∠C′＝70°，△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？新知应用A′B′C′60°70°ABC60°50°解：△ABC与△A′B′C′

相似.在△ABC中，∵∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=180°－(50°+60°)＝70°.在△ABC和△DEF中∵∠B=∠B′，∠C=∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似).新知应用例2如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE=∠CAD.

△ADE与△ABD相似吗？为什么？EABCD解:△ADE与△ABD相似.∵∠ADB=∠ADE+∠BDE，∠ADB=∠CAD+∠C，∠BDE=∠CAD，∴∠ADE=∠C

.又∵AB=AC,∴∠B=∠C.∴∠ADE=∠B

.在△ADE和△ABD中，∵∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠B，∴△ADE∽△ABD(两角分别相等的两个三角形相似).新知巩固1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且∠1=∠2=∠3.图中有几对相似三角形？是哪几对？△ADE∽△ABC△ADE∽△ACD△ABC∽△ACD△CED∽△BDCABCED1

2

3

新知巩固2.

在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E.

图中有哪些三角形与△ABC相似？为什么？ADCBE┛图中△DEA∽△ABC，△CED∽△ABC，△CDA∽△ABC(相似比为1)新知巩固3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.(1)△ACD与△CBD相似吗？为什么？(2)图中还有几对相似三角形？是哪几对？┛┛ABCD解：(1)∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD.又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD∽△CBD.(2)图中还有2对相似三角形:△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC.新知巩固(3)下列结论:①CD²=AD·BD；②AC²=AD·AB；③BC²=BD·AB；④BD²=AC·BC.不正确的是___________.┛┛ABCD①②③射影定理，又称“欧几里德定理”新知巩固4.

如图，ED∥BC，计算AB、AC的长.ADCBE1281018

新知巩固5.如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D.(1)△ABC与△ADE相似吗？为什么？(2)如果AB=2AD，BC=4，那么DE的长为多少？ADCBE解：(1)∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC.即∠BAC=∠DAE，又∵∠B=∠D，∴△ABC

∽△ADE.

新知巩固

AEBCDF

新知巩固7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，△ABE与△ADC相似吗？为什么？┛OABCDE

8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是∠ACB的平分线.（1）△ABC与△CBD相似吗？为什么？（2）AD、AB、BD之间有什么关系？为什么？ABCD解：(1)相似，理由如下：∵AB=AC，∠A=36∘，∴∠ABC=∠ACB=72∘，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠DCA=36∘，∴∠BDC=∠B=72∘，∴△ABC∽△CBD.新知巩固8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是∠ACB的平分线.（1）△ABC与△CBD相似吗？为什么？（2）AD、AB、BD之间有什么关系？为什么？ABCD

点D是线段AC的黄金分割点.新知巩固课堂小结两角分别相等的两个三角形相似内容应用当堂检测1.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形(

)A.一定不相似 B.不一定相似

C.一定相似 D.不能确定C2.如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F.图中与△AEC一定相似的三角形有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个C┛┛ABCDEF若AD＝2，AC＝4，那么AB＝_______.当堂检测

ABCDACB

4.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE.ABCDE132O证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠3+∠DAC，∠1=∠3，∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°－∠2－∠DOC

，∠E=180°－∠3－∠AOE，∠DOC=∠AOE（对顶角相等），∴∠C=∠E.∴△ABC∽△ADE.当堂检测当堂检测5.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交