《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 11-5 函数展开成幂级数

第十一章无穷级数第四节函数展开成幂级数一、函数的泰勒级数二、函数展开成幂级数方法三、小结级数是研究函数的重要工具，早在牛顿和莱布尼兹发明微积分时就已开始用其来表示函数。现如今，级数的理论在数学的各个分支都扮演着重要的角色，尤其是随着计算机技术的飞速发展，级数在科学计算中有着广泛的应用。

问题：怎样把函数表示成无穷级数？求和函数

展开（求和反问题）一、函数的泰勒级数若一个函数能表示成一个幂级数则称此幂级数为该函数的幂级数展开式.由泰勒中值定理可知，若函数在的某领域内具有直到阶导数，则对有其中(介于x与之间)称上式为函数在处的n阶泰勒展开式.可得由和函数的性质，f(x)在邻域内具有任意阶导数，且于是有假设函数在的某领域内能展开成幂级数，即有这表明，如果函数f(x)有上式幂级数展开式，则该幂级数必为即展开式为称为函数在点处的泰勒级数.如果将代入，得到称为函数的麦克劳林级数．定义1

为函数f(x)在点处的泰勒展开式.称为函数的麦克劳林展开式.若函数能在(-r,r)内展开成x的幂级数，则有定理1设函数在点的某邻域内具有各阶导数，则在该邻域内能展开成泰勒级数，即的充分必要条件是其中是在点处的泰勒公式中的余项.证明：由级数收敛的定义其中f(x)的n阶泰勒公式为二、函数展开成幂级数方法1、直接展开法将展开成x

的幂级数，可以按照以下步骤进行：第二步：计算出函数及其各阶导数在处的值第一步：计算的各阶导数第三步：写出幂级数并求出收敛半径R.第四步：验证是否成立，如果成立，那么函数在区间内的幂级数展开式为解：例1将函数展开成x

的幂级数.因此于是得到级数所给函数的各阶导数为并且该级数的收敛半径收敛域为问题：该级数是否收敛于？??只要证构造级数由比值法故级数收敛，则必有故得到展开式需熟记！解：函数的各阶导数为例2将函数展开成的幂级数.因此，的顺序取值分别为

于是得到级数并且它的收敛半径，收敛区间.对任意的数与（在0与之间），余项的绝对值由于级数收敛，故有因此得到展开式例2将函数展开成的幂级数.解：问题：函数直接展开为幂级数难且繁！有没有简便易行的方法？函数的幂级数展式是否会因展开的方法不同而不同？唯一性定理：如果函数能在的某个邻域内展开成的幂级数，则它的展开式是唯一的，且与的麦克劳林级数一致．2、间接展开法所谓间接展开法，就是利用常见展开式，通过变量代换，四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.我们已知的幂级数的展开式有两端积分，可得作变量代换，可以得到变量代换：例3将函数展开成的幂级数．解：因此由于逐项求导解：（1）函数

的展开式为即于是利用上式，令，得例4将下列函数展开成麦克劳林级数：（1）（2）变量代换（2）我们已知将上式两端从0到积分，得例4将下列函数展开成麦克劳林级数：（1）（2）解：当时，上式右端的级数成为是收敛的;当时，上式右端的级数成为也是收敛的.并且在处是连续的,因此逐项求积（1）由得（1）（2）例5将下列函数展开成的幂级数：解：而（1）（2）例5将下列函数展开成的幂级数：（2）解：于是，可得它的收敛域为恒等变形：分母可因式分解，裂项！（1）由于（1）（2）例6将下列函数展开成的幂级数：解：有所以（2）（1）（2）例6将下列函数展开成的幂级数：解：有所以由于由于*例7将函数展开成的幂级数解：并且有所以解：所以例8计算的近似值，要求误差不超过0.00001.

因为取前六项作为的近似值其误差为例8计算的近似值，