《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 11-4 幂级数

第十一章无穷级数第四节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性四、小结三、幂级数的运算一、函数项级数的概念其中为一般项.为定义在区间I上的函数项无穷级数，简称函数项级数．定义1

设是定义在区间I

上的函数序列，称比如函数项级数：1、定义任取，如果常数项级数收敛，则称点是函数项级数的收敛点.级数的收敛点的全体组成的集合称为它的收敛域.任取，如果常数项级数发散，则称点是函数项级数的发散点.级数的发散点的全体组成的集合称为它的发散域.2、收敛域域发散域称为定义在收敛域D上的函数项级数的和函数．若记，则称为函数项级数的余项，并且有把函数项级数的前n项的部分和记作，则其在收敛域D上有3、和函数二、幂级数及其收敛性定义2

称形如或的级数为关于或的幂级数，其中称为幂级数的中心点，常数称为幂级数的系数．幂级数的中心点1、定义例如幂级数显然幂级数在其中心点收敛.问题：幂级数的收敛域是由哪些点构成？考察幂级数的收敛性故显然时级数发散，从而幂级数的收敛域为对，部分和2、收敛性定理1（阿贝尔定理）如果幂级数（1）在点处收敛，则在所有满足的点x处都绝对收敛；（2）在点处发散，则在所有满足的点处都发散．证明：（1）设是幂级数的收敛点，即收敛，由级数收敛的必要条件可知于是必定存在常数，使得定理1（阿贝尔定理）如果幂级数（2）在点处发散，则在所有满足的点处（1）在点处收敛，则在所有满足的点x处都绝对收敛；都发散．证明：（1）因此当时，等比级数的公比，收敛由比较审敛法可知收敛，即幂级数在时是绝对收敛的．定理1（阿贝尔定理）如果幂级数（2）在点处发散，则在所有满足的点处（1）在点处收敛，则在所有满足的点x处都绝对收敛；都发散．证明：（2）反证法设在点处发散，而在点处收敛且满足点，由（1）的结论知该级数在点处必收敛，这与已知矛盾，故假设不成立．定理得证．几何说明定理1（阿贝尔定理）如果幂级数（2）在点处发散，则在所有满足的点处（1）在点处收敛，则在所有满足的点x处都绝对收敛；都发散．收敛域发散域发散域（3）当时，幂级数可能收敛也可能发散．由Abel定理可以看出，的收敛域是以原点为中心的区间，用表示幂级数收敛与发散的分界点，则推论1

如果幂级数不是仅在点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数存在，使得（2）当时，幂级数发散；（1）当时，幂级数绝对收敛；规定正数叫做幂级数的收敛半径．开区间叫做幂级数的收敛区间.收敛域是、、

、这四个区间之一.问题（1）幂级数只在处收敛，收敛域只有收敛半径（2）幂级数对一切都收敛，收敛域为如何求幂级数的收敛半径?收敛半径定理2

如果幂级数的相邻两项的系数满足那么，该幂级数的收敛半径必须是相邻两项，若级数缺项，则定理失效.由于当即时，幂级数收敛，

（1）如果存在，证：由比值审敛法可知从而幂级数绝对收敛；当即时，幂级数发散.由收敛半径定义可知（2）如果,则对任意有所以级数收敛，从而级数绝对收敛．于是．（3）若，则对一切有，因此，除外，幂级数是发散的．于是有．解：由于故收敛半径从而幂级数收敛区间为

例1求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域．收敛域为解：由例2求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域．知收敛半径，收敛区间

.对于端点，级数成为是收敛的．对于端点，级数成为是发散的．因此该级数收敛域为例3求幂级数的收敛半径（规定）．由于解：所以此级数的收敛半径即级数仅在处收敛.由于该级数缺少偶次项，所以定理2不能直接使用．可以根据比值审敛法来计算收敛半径.解：例4求幂级数的收敛半径及收敛域．缺奇数项或偶数项都不能直接应用定理2.当即时，级数收敛当即时，级数发散.当时，级数成为是交错级数，且是收敛的；所以该级数的收敛半径.当时，级数成为是交错级数，也是收敛的，所以该级数的收敛域为.例4求幂级数的收敛半径及收敛域．解：解：例5求幂级数的收敛域对于该级数，由于所以该级数的收敛半径.令，则上述级数变为收敛区间为故有即当时，原级数成为，此级数发散；当时，原级数成为，此级数发散．因此原级数的收敛域为三、幂级数的运算1、代数运算设幂级数的收敛区间为幂级数的收敛区间为（1）加减法（2）乘法并且逐项积分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径．2、和函数的分析运算性质

幂级数的和函数在其收敛域上可积并有逐项积分公式性质1(连续性)性质2(可微性)幂级数的和函数在其收敛域上连续．并且逐项求导后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径．幂级数的和函数在其收敛区间

内可导，且有逐项求导公式性质2(可微性)说明:幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级数的收敛半径不变；在收敛区间的端点处的收敛性可能改变；若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端点处收敛，则在该点处性质2和性质3仍成立.

解：首先计算收敛域，由于在端点处，幂级数成为，是发散的得收敛半径.例6求幂级数的和函数.在端点处，幂级数成为，是发散的因此收敛域为下面计算和函数得到对所给幂级数在收敛区间内逐项求导，并由解：例6求幂级数的和函数.对上式两端关于x求导，即得解：例7某足球明星与一足球俱乐部签订一项合同，合同规定俱乐部在第n年末支付给该球星或其后代n万元假定银行存款以5%的年复利的方式计息，问老板应在签约当天存入银行多少钱？.为了计算该级数的和，考虑如下的幂级数设为年复利率，若规定第n年末支付n万元，则应在银行存入的本金总数为当时，显然该幂级数的收敛域为因此，如果计算幂级数的和函数，则就是所求的数项级数的和．令设