《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 11-2 正项级数及其审敛法

第十一章无穷级数第二节正项级数及其审敛法一、正项级数的概念二、比较审敛法三、比值审敛法（达朗贝尔判别法）四、小结一、正项级数的概念及基本定理定义1

设级数，若有，则称其为正项级

数.部分和即为单调递增数列.显然：如：定理1（收敛的充要条件）正项级数收敛部分和数列有界.证：若级数收敛，则数列有界.部分和数列单调递增又已知有界，从而收敛，故收敛.二、正项级数的比较审敛法（1）若级数收敛，则级数收敛；（2）若级数发散，则级数发散．定理2（比较审敛法）设和都是正项级数，且证明：（1）设级数收敛于和，则级数的部分和即部分和数列有界，由定理1可知级数收敛．待判助判二、正项级数的比较审敛法定理2（比较审敛法）设和都是正项级数，（1）若级数收敛，则级数收敛；（2）若级数发散，则级数发散．待判助判且证明：（2）反证法．假设级数收敛，由（1）的结论可知，级数也收敛，与假设（级数收敛）矛盾，因此，若级数发散，则级数发散．又因为是等比级数且是收敛的：例1求判别级数的敛散性．解：对于任意的，有由比较审敛法（1）可知级数是收敛的．它是发散的．解：例2讨论级数的敛散性．（1）当时，有就是调和级数，（2）当时，，有而为发散级数，因此由比较审敛法（2）可知发散．从而得到该级数的部分和（3）当时，此时的该级数不能直接利用比较审敛法与调和级数作比较．为此我们来考察其部分和数列由于对满足的x，有，所以此式表明数列有界，由定理1可知，级数收敛．综上所述注：级数是一类重要的基准级数，在利用比较审敛法判别级数敛散性时经常会与之作比较．级数：例如均收敛；均发散.推论1设和都是正项级数，且（1）对任意常数，如果存在正整数N，使得当时都有，且级数收敛，那么级数收敛；（2）对任意常数，如果存在正整数N，使得当时都有，且级数发散，那么级数发散．例3证明级数是发散的．证：由于，有.是调和级数去掉前10项而得到的，而级数所以它是发散的．故由比较审敛法知是发散的．又由于故由推论（2）可知原级数也是发散的．例4讨论级数的敛散性．解：由于所以级数是收敛的．而级数是收敛的分析

用“比较法”判别级数敛（散），需要找一个通项较大（小）的敛（散）级数作比较，而不等式的放大（缩小）常常比较困难。在实际上常用比较审敛法的极限形式。定理3（比较审敛法的极限形式）设和都是正项级数，且（1）如果，且级数收敛，则级数收敛；（3）如果，则级数和级数有相同的敛散性．（2）如果，且级数发散，则级数发散；例5判定级数的敛散性．解：由于当时，令，则有且等比级数收敛，故由定理3可知级数收敛．解：（1）因为而级数发散，由定理3知此级数发散．例6判定下列级数的敛散性．(1)(2)(4)(3)（2）因为而级数发散级数，所以原级数发散．例6判定下列级数的敛散性．解：（3）因为(1)(2)(4)(3)而收敛，从而级数收敛．例6判定下列级数的敛散性．解：（4）因为(1)(2)(4)(3)而是发散的，所以原级数发散．结论对于两个正项级数和，若和（1）如果是的同阶或高阶无穷小，那么当级数收敛时，级数必收敛；（2）如果是的同阶或低阶无穷小，那么当级数发散时，级数必发散；那么级数和具有相同的敛散性.（3）如果

和是同阶无穷小，选择同阶无穷小作为参考级数！定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）设是正项级数，且（1）当时，级数收敛；（3）当时，级数可能收敛也可能发散．（2）当（或）时级数发散；三、正项级数的比值审敛法（达朗贝尔判别法）不需要参考级数，通过正项级数本身判断其敛散性.解：（1）因为根据比值审敛法可知，原级数收敛．例7判定下列级数的敛散性．（1）（2）（3）（2）因为根据比值审敛法可知，原级数发散．例7判定下列级数的敛散性．解：（3）显然有（1）（2）（3）对于级数，因为根据比值审敛法可知，级数收敛．再由比较判别法可知，原级数收敛．注意:2、当时，比值审敛法失效；1、当一般项含有或等因子时或一般项为分式形式时，常选用比值审敛法；例如级数发散，级数收敛.