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第八章向量代数与

空间解析几何第四节空间中的直线及其方程一、空间直线的一般式方程二、空间直线的点向式方程和参数式方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、平面束方程六、小结一、空间直线的一般式方程因此其一般式方程为直线可视为两平面交线，注：一般式方程不唯一.二、空间直线的点向式方程和参数式方程1、

点向式方程故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上一动点则此式称为直线的点向式方程(也称为对称式方程)直线方程为直线上一点例如,当和它的方向向量2、参数式方程设得参数式方程为例1

用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点：再求直线的方向向量令x

=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点；再找直线的方向向量.是直线上一点例2求过点

且与平面

垂直的直线的方程.解由题意可知，所求直线的方向向量可取该平面的法向量即因此，直线的方程为例3

设有两平面（1）求与这两平面的交线平行，且过点的直线的方程；（2）求这两平面的交线与平面

的交点．解（1）两平面的法向量为所以所求直线的方向向量该直线过点

，所求直线的方程为例3

设有两平面（1）求与这两平面的交线平行，且过点的直线方程；（2）求这两平面的交线与平面

的交点．解（2）将交线化为的参数方程，得将其代入到

中，得并求得所求交点为三、两直线的夹角则两直线夹角

满足设直线L1,L2的方向向量分别为两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)例4

求下面两条直线的夹角解两直线的方向向量分别为两直线夹角的余弦为两直线的夹角的为四、直线与平面的夹角当直线与平面垂直时,规定其夹角为线所夹锐角

称为直线与平面间的夹角;

当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直︿特别有:设直线L的方向向量为平面

的法向量为例5求直线

与平面

的夹角.解由直线与平面的夹角公式所以所求直线与平面的夹角为五、平面束方程过一条直线可以做无数张平面，我们称这样的一簇平面为过该直线的平面束．直线一般式方程为我们称平面方程为过直线

的平面束方程例6

求直线

在平面

上的投影直线的方程解由题意可设直线的平面束方程为即在平面束中找到与平面

垂直的平面则解得得垂直平面为所以投影直线的方程为四、小结1、

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