《高等数学（经济类）下册 第2版》习题及答案 第九章习题答案

习题9-1（A）1．求下列各函数的表达式：（1）设函数，求，．解：，．（2）设函数，已知时，，求及的表达式．解：由时，，有，即，所以；而．（3）设函数，求．解：．（4）设函数，求的表达式．解：（方法1）因为，所以．（方法2）令，则，于是，所以．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由且，得定义域．（2）由及，有，得定义域．（3）由，有，得定义域．（4）由，有，或，得定义域．3．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）．（2）．（3）因为有界，而，所以．（4）．（5）（6）．4．证明下列极限不存在：（1）；（2）．证明：（1）沿取极限，则，当取不同值时，该极限值不同，所以极限不存在．（2）沿取极限，；沿取极限，．由于，所以极限不存在．习题9-1（B）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为（单位：元），两个市场的销售量各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是，试用表示该厂生产此产品的利润．解：根据已知，设，由时，；时，，有得，于是．由时，；时，，有得，于是．两个市场销售该产品的收入为，该产品的成本．根据利润等于收入减去成本，得．2．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）．（2）法1：令，则当时，，所以．法2：因为时，与是等价无穷小，所以．（3）因为，而，，根据“夹逼准则”得．（4）令，则当时，（其中在区间内任意变化），所以．3．证明极限不存在．证明：沿取极限，；沿取极限，．因此，极限不存在．4．讨论函数在点处的连续性．解：沿取极限，由，有，所以函数在点处不连续．

习题9-2（A）1.求下列函数的偏导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解：（1），．（2），．（3），．（4），．（5），．（6），．（7），由变量的对称性，得．（8），．（9），，．（10），，．2.求曲线在点处的切线与轴正向的夹角．解：，，用表示曲线在点处的切线与轴正向的夹角，则，所以．3.设，求及．解：因为，所以，因为，所以．4.求下列函数的高阶导数：（1）设，求.解：（2）设，求，和；解：，，，，，．5.验证：（1）设函数，证明．证：因为，，，，，，所以，．（2）设，求证.证明：原结论成立．习题9-2（B）1．设一种商品的需求量是其价格及某相关商品价格的函数，如果该函数存在偏导数，称为需求对价格的弹性、为需求对价格的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量与其价格及彩色喷墨打印机的价格有关，为，当，时，求需求对价格的弹性、需求对价格的交叉弹性．解：由，，有，，当，时，需求对价格的弹性：，需求对价格的交叉弹性：．2.设，求，.解：.3.设函数证明在点处的两个偏导数都不存在．证：因为极限不存在，极限不存在，所以在点处的两个偏导数都不存在．4.设，求，和．解：，，，，．5.设函数，证明．证明：将函数改写为，则，，由变量的对称性，有，，所以．习题9-3（A）1．求下列函数的全微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）因为，，所以．（2）因为，，所以．（3）因为，，所以．（4）因为，，所以（5）因为，，，所以．（6）因为，，，所以．2.求函数在点处的全微分．解:在点处，分别有因此，我们有3.求函数当，时的全微分．解因为，，，，所以，4.求函数在点处当时的全微分．解由于所以，当时，函数在点（2，1）处的全微分为习题9-3（B）1.计算的近似值．解：设函数．显然，要计算的值是函数在时的函数值取因为所以由公式得．2．计算的近似值．解：考虑函数，取，而，，、、，则．3.设函数在点点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数的可微性．解：因为，，所以在点处函数的两个偏导数都存在，且．再讨论可微性，函数在处的全增量用表示，则，记，则不存在（沿取极限，其值为；沿取极限，其值为），所以函数在点处不可微．进而得偏导（函）数在点处不连续（若偏导（函）数在点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点可微，与函数不可微矛盾）．

习题9-4（A）1.求下列函数的全导数：（1）设函数，求；（2）设函数，而，，求全导数；（3）设函数而是的可微函数，求．解：（1）=.（2）（3）2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数，而，，求和；（2）设函数，求和．解：（1），，（2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令，则，．3.求下列函数的一阶偏导数（其中函数具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1），．（2），．（3），．（4），，．4.设函数，其中是可微函数，证明．证：因为，，所以．5.设函数，其中是可微函数，证明．证：因为，，所以．6.利用全微分形式的不变性求函数的全微分．解令，由一阶全微分形式的不变性，我们有，注意到又都是的函数，并且将它们带入上式，得习题9-4（B）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数具有二阶连续偏导数）：（1）；（2）；解：（1），，，，．（2），，，，．2.设函数，其中函数有二阶连续偏导数，求．解：，．3.设有连续的一阶偏导数，且.求，并证明解由链式法则，得于是有

习题9-5（A）1.若函数分别由下列方程确定，分别求：（1）；（2）；（3）；解（1）法1：设，则，所以法2：方程两边同时对求导，有，解得．（2）方程两边同时对求导，有，解得．（3）令则2.设由方程所确定的隐函数，求解令，当时，此时，所以，.3.设函数，而函数由方程确定，求全导数．解：方程两边同时对求导，有，得，．4.若函数分别由下列方程确定，求及．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）法1：设，则，所以．法2：方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得．（以下都按方法2作）（2）方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得（或由变量的对称性，得）．（3）方程两边对求导，有，即，而，所以，得，由变量对称性有．（4）方程改写为，方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得．5.设，求.解：令则6.若函数，，都是由方程确定的隐函数，其中有一阶连续非零的偏导数，证明．证：因为，所以．7.若是的函数，并由确定，求.解：令因此，，习题9-5（B）1.设函数，而函数、分别由方程及确定，求全导数．解：方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得，所以．2．设函数，而由方程确定，求．解：方程两边同时对求导，有，用、代入，有，得．于是，所以．3．设，求，，.解：令则把看成的函数对求偏导数得整理得把看成的函数对求偏导数得整理得把看成的函数对求偏导数得整理得4.若函数由方程确定，求．解：方程两边对求导，有，得，由变量的对称性，得．法１：等式两边同时对求导，有，即所以．法２：．5.设具有连续的偏导数，方程（其中是非零常数）确定是的隐函数，且，求.解：令因此.6.求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数：（1）求和．（2）求及．解：（1）方程组两边同时对求导，有消去，有，得，而．（2）方程组两边同时对求导，有（1）（2），有，得，再代入到（2）之中得．方程组两边同时对求导，有与前面解法类似，得，．

习题9-6（A）1.求下列函数的极值：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由得唯一驻点．，，根据二元函数极值的充分条件，点是函数的极大值点，极大值为，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由即得函数的所有驻点是．，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为，极小值为．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由得唯一驻点．，、、，，根据二元函数极值的充分条件，点是函数的极小值点，极小值，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由得唯一驻点．由于在点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当（即非点）时，所以点是该函数的极大值点，极大值为，该函数无极小值．2.求函数的极值．解：由，解出在点处，所以函数在处由极小值.3.求曲面上到原点距离最近的点．解：设，则，解出因为是在时的唯一驻点，由题意可知在的曲面上存在与原点距离最小的点，所以即为所求的点．4.将正数12分成三个正数之和使得为最大.解令,则解得唯一驻点，故最大值为5.用面积为12（m2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解设水箱的长、宽、高分别为，体积为，则目标函数为（），附加条件是．设（），由得唯一可能极值点，根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m），高为1（m）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m3）)．6.在斜边长为的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为，三角形周长为，则目标函数是（），附加条件为．设，由在时得唯一可能极值点，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为（即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为．7.有一宽为24的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解设折起来的边长为，倾角为（图8-17），那么梯形的下底长为，上底长为，高为，所以断面的面积为，即.为求其最大值，我们先来解方程组由于，将上述方程组两边约分，得解这个方程组，得根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由的定义，因此最大值点只可能在区域的内部或开边界上取到．但当时，的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定是其最大值．即将铁板折起8，并使其与水平线成角时所得断面面积最大．习题9-6（B）1.求由方程确定的函数的极值..解将方程两边分别对求偏导由函数取极值的必要条件知,驻点为,将上方程组再分别对求偏导数,故,函数在有极值.将代入原方程,有（舍去）.此时，,所以为极大值.2.求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.解令得区域内唯一驻点,且,再求在边界上的最值在边界和上,在边界上，即，于是,由,得比较后可知为最大值,为最小值.3.求椭圆上竖坐标的最小值与最大值．解：目标函数为，附加条件是，及．设，由得可能极值点.由于椭圆是有界闭曲线，它的竖坐标一定有最小值与最大值，所以当时最小，且最小值为，当时最大，且最大值为．4.平面截圆柱面得一椭圆周，求此椭圆周上到原点的最近点及最远点．解这是求空间中既在平面也在圆柱面上的点到原点的距离或函数的最大值与最小值．因此函数为目标函数，条件及都是变量满足的约束条件．为此构造拉格朗日函数.解方程组解得可能极值点为于是，经过比较得到，到原点的距离最近点为到原点的距离最远点是习题9-71.为了弄清楚某企业利润和产值的函数关系，我们把该企业从2010年到2019年间的利润（百万元）和产值（百万元）的统计数据列表如下：年份20102011201220132014201520162017201820194.925.004.934.904.904.954.984.995.025.021.671.701.681.661.661.681.691.701.701.71试根据上面的统计数据建立利润与产值之间的经验公式解：各个数据的偏差平方和为令整理得：计算得，，，代入方程，有解得所以，经验公式为2.已知有一组实验数据:01234-2-101235.235.936.737.438.4试用最小二乘法作二次多项式拟合该组数据.解：各个数据的偏差平方和为令整理得：计算得，代入方程，有解得所以，经验公式为

总习题九1.在“充分、必要、充分必要、无关”四者中选择一个正确的填入下列空格内：（1）二元函数在点连续是该函数在点可微的_________条件，是该函数在点极限存在的________条件，是该函数在点偏导数存在的________条件，是该函数在点有定义的_________条件．（2）二元函数在点的偏导数及存在是在该点可微的________条件.在点可微是函数在该点的偏导数及存在的________条件.（3）二元函数在点的偏导数及存在，且偏导数连续是在该点处可微分的________条件.解答：（1）必要充分无关充分（2）必要充分（3）充分2.单项选择题：（1）设函数，在原点处及（）；（A）都不存在（B）都存在，但不相等（C）都存在，且都等于0（D）都存在，且都等于1（2）若函数，则（）；（A）（B）（C）（D）解：（1）选A，事实上：因为不存在，所以不存在，由变量的对称性，也不存