截长补短模型-2023年中考数学应对方法与策略（解析版）

第03讲截长补短模型

【应对方法与策略】

截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一

直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思，即截长和补短.

截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段，证剩下的那一段等于另外一段较

短的线段.当条件或结论中出现a+公c时，用截长补短.

1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证

中那一条线段相等；

2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与

线段中的另一段相等。

3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使

之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是

常用.

*D

~E~F图1

999

EGF图2

9A9B9H图3

如图1,若证明线段AB,CD,厮之间存在EQAB+CD,可以考虑截长补短法.

截长法：如图2在厮上截取在证明踹切即可；

补短法：如图3,延长四至〃点，使的勿再证明4年0即可.

【多题一解】

1.（2021.内蒙古・呼和浩特市敬业学校九年级期中）如图，在正方形ABC。中，AB=2,点〃为正方形

A8CD的边CD上的动点（与点C,£（重合）连接作儿与正方形A8CO的外角/AOE的平

分线交点R设CM=x,△DRW的面积为》求y与x之间的函数关系式.

【答案】y=~x2+x

【分析】根据正方形的性质和角平分线的性质得到NMD方=90。+45。=135。，在上截取CH=CM,连

接证明=厂即可得解；

【详解】,・•四边形A8CO是正方形，

：.CD=BC,ZC=ZCDA=90°=ZADE,

・・・。/平分NADE,

.・・ZADF=-ZADE=45。，

2

・•・NME4=90。+45。=135。，

在上截取CH=CN,连接MH,

则△MCH是等腰直角三角形，BH=MD,

：.ZCHM=ZCMH=45°,

：./BHM=135。,

工4+ZHMB=45。,ZBHM=ZMDF,

*：MF±BM,

：.ZFMB=90°,

：.N2+NBMH=45。,

：.N1=N2,

在ABHM和LMDF中，

'Z1=Z2

<BH=MD,

NBHM=ZMDF

:.ABHM=AMDF,

・•・BH=MD=2-x,

与x之间的函数关系式为y=；%（2-%）=-；/+工.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，动点问题的函数图像，全等三角形的判定与性质，准确分析证明

是解题的关键.

2.（2022.江苏徐州.模拟预测）（1）如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,ZB=ZD=90°,E、2分别是

边BC、CD上的点，S.ZEAF=^ZBAD,线段ERBE、尸。之间的关系是_；（不需要证明）

（2）如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是边BC、CD上的点，且NE4尸

^^ZBAD,（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关系，并

证明.

（3）如图3,在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是边BC、CD延长线上的点，且

ZEAF=^ZBAD,（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关

系，并证明.

图1图2图3

【答案】（1）EF=BE+FD；⑵（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EF^BE-FD,见解

析

【分析】（1）延长CB至G,BG=DF,连接AG,证明AABGg△AOF,根据全等三角形的性质得到AG

=AF,ZBAG=ZDAF,再证明AGAE附△阴E,根据全等三角形的性质得出EF=EG,结合图形计算，证

明结论；

（2）延长CB至使BM=DF,连接AM,仿照（1）的证明方法解答；

（3）在硬上截取尸，连接AH,仿照（1）的证明方法解答.

【详解】解：（1）EF=BE+FD,

理由如下：如图1,延长C8至G,使BG=DF,连接AG,

D

图1

在aABG和△AD尸中，

AB=AD

<ZA5G="=90°,

BG=DF

：.AABG^AADF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

•・・ZEAF=1/BAD,

NDAF+NBAE=NEAF,

：.ZGAE=ZBAG+ZBAE=ZDAF+ZBAE=NEAF,

在ZkGAE和△E4E中，

AG=AF

<ZGAE=ZFAE,

AE=AE

：.AGAE^AFAE(SAS),

：・EF=EG,

EG=BG+BE=BE+DF,

：・EF=BE+FD,

故答案为：EF=BE+FD；

(2)(1)中的结论仍然成立，

理由如下：如图2,延长Q5至“，使5M=。尸，连接AM,

VZABC+ZD=180°,ZABC+Zl=180°,

.*.Z1=ZZ),

在△ABM和△AZ)方中，

AB=AD

<Z1=ZD,

BM=DF

：.△ABM之AADF(SAS),

AAM=AF,N3=N2,

•・・ZEAF=1/BAD,

・・・N2+N4=NEAR

JZEAM=N3+N4=N2+N4=NEAR

在和△刚E中，

AM=AF

<ZMAE=ZFAE,

AE=AE

：.AMAE^AME(SAS),

:・EF=EM,

EM=BM+BE=BE+DF,

：・EF=BE+FD；

(3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如图3,在砂上截取连接A”,

图3

同（2）中证法可得，△ABH0AADF,

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF,

：.ZHAE^ZFAE,

在和△E4E中，

AH=AF

<ZHAE=ZFAE,

AE=AE

：.（SAS）,

EF=EH

•：EH=BE-BH=BE-DF,

：.EF=BE-FD.

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.

3.（2022・贵州遵义・一模）已知：如图所示△ABC.

备用图

（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作NBAC的平分线和8C的垂直平分线，它们的交点为D（不

写作法，保留作图痕迹）

（2）若42=15,AC=9,过点。画DE_L4B,则BE的长为—.

【答案】（1）见解析

（2）3

【分析】（1）根据角平分线、垂直平分线的尺规作图方法作图即可;

(2)在A3上取AF=AC,构造△皿*△4)C,可得OF=OC,由垂直平分线性质可得3。=CD,由此得

出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质可知=/，即可得出结论.

(1)

解：如图,

①作NA4C的平分线AD,

②作BC的垂直平分线印)，交于点。，

(2)

解：如图，在AB上取一点尸，时、使AF=A(7,连接。8、DF、DC,

一\HA

在△">尸和△AOC中，

AF=AC

<ZFAD=ZCAD,

AD=AD

：.^ADF^ADC(SAS),

JDF=DC,

又,/直线HD是线段BC的垂直平分线,

Z.DB=DC,

：.DB=DF,

'：DE±AB,

：.BE==BF,

2

又因为N=AB-AF=AB—AC,AB=15,AC=9,

BE=1(AS-AC)=3.

故答案为3.

【点睛】此题主要考查了角平分线的作法以及垂直平分线的性质、全等三角形的判定等知识，熟练利用垂

直平分线的性质以及角平分线的性质得出ABDB是等腰三角是解题关键.

4.(2020・全国•九年级课时练习)如图，A、P、B、C是。。上四点，ZAPC=ZCPB^60°.

(1)判断△ABC的形状并证明你的结论；

(2)当点P位于什么位置时，四边形尸8。4是菱形？并说明理由.

(3)求证：PA+PB=PC.

B\-----------yc

【答案】(1)AABC是等边三角形，证明见解析；(2)当点P位于A8中点时，四边形PBOA是菱形，理

由见解析；(3)证明见解析.

【分析】(1)利用圆周角定理可得/BAC=/CPB,ZABC=ZAPC,而NAPC=/CPB=60。，则可得/

BAC=ZABC=60°,从而可判断AABC的形状；

(2)当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明AOAP和AOBP均为等边三角形，得到

OA=AP=OB=BP即可得证；

(3)在PC上截取PD=AP,则AAPD是等边三角形，然后证明△APB04ADC,证明BP=CD即可得证结

论.

【详解】(1)AABC是等边三角形.

证明如下：在。。中，

ZBAC与NCM是BC所对的圆周角，ZABC与ZAPC是AC所对的圆周角，

ZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又,/ZAPC=ZCPB=6Q°,

：.ZABC=ZBAC=6Q°,

，AABC为等边三角形；

(2)当点尸位于AS中点时，四边形P20A是菱形,

如图1,连接。尸.

,/ZAOB=2ZACB=120°,尸是4台的中点，

ZAOP=ZBOP=60°

又,：OA=OP=OB,

：.△OAP和△OBP均为等边三角形，

OA=AP=OB=PB,

...四边形尸2。4是菱形；

图1

(3)如图2,在PC上截取尸。=4尸，

又,:ZAPC=60°,

是等边三角形，

：.AD=AP=PD,ZADP=6Q°,即NAOC=120°.

又：ZAPB=ZAPC+ZBPC=120°,

ZADC=ZAPB.

在AAPB和AAOC中，

ZAPB=ZADC

<ZABP=ZACD

AP^AD

：./\APB^AADC(AAS),

：.BP=CD,

y.'：PD=AP,

：.CP=BP+AP.

【点睛】本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理

和性质定理是解题关键.

5.（2021・全国•九年级专题练习）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面

是一个案例，请补充完整.

【解决问题】

如图，点、E、尸分别在正方形ABC。的边BC、8上，ZEAF=45°,连接EP,则跖=3£+。b，试说明

理由.

证明：延长CD到G,使DG=BE,

在AIBE与“1OG中，

AB=AD

<ZB=ZADG=90°

BE=DG

AABE包AZX7理由：(SAS)

进而证出：△AFE4__________,理由：（）

进而得=

【变式探究】

如图，四边形A8CZ）中，AB=AD,/A4D=90。点E、尸分别在边BC、。上，ZE4F=45°.若BB、

都不是直角，则当与满足等量关系.时，仍有跖=BE+£＞尸.请证明你的猜

想.

【拓展延伸】

如图，若AB=AD,ZBAD^90°,ZEAF45°,fHZE4F=1zBA£),ZB=ZD=90。，连接ER请直接写出

EF、BE、。产之间的数量关系.

【答案】(1)AAFE^AAFG,理由：SAS；(2)Zfi+ZD=180°,证明见解析；（3）BE+DF=EF.

【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE=AG,进而证明△AFE/^AFG,从而得出结论;

（2）利用“解决问题''中的思路，同样去构造四即可；

（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可.

【详解】（1）,.△ABE^AADG,AE=AG,Z.BAE=Z.DAG,BE—DG,

贝UZBAE+ZFAD=NFAD+ZADG=ZFAG,

vZEAF=45°,ZFAG=45°,

在尸G与△AFE中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF

AF=AF

/.△AFE^AAFG,理由：(S4S)

：.EF=FG=FD+DG=FD+BE；

(2)满足NB+ND=180。即可，证明如下：

如图，延长F0至G,使BE=DG,

-ZB+ZADF=1800fZADF+ZADG=180°9

:.ZB=ZADG,

在八钻石与ziADG中，

AB=AD

<NB=/ADG

BE=DG

「.△AB石丝△ADG(SAS),

AE=AG,NBAE=NDAG,BE=DG,

则ZBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

vZEAF=45°,...ZE4G=45。，

在△A_FG与△A7?E中,

AE=AG

<ZEAF=ZGAF

AF=AF

/.△AFE^AAFG,理由：(SAS)

EF=FG=FD+DG=FD+BE；

(3)BE+DF=EF.证明如下：

如图，延长FD至G,使BE=DG,

在△ABE与△ADG中，

AB^AD

<ZB=ZADG=90°

BE=DG

:.^ABE^AADG（SAS）,

AE=AG,ZBAE=Z.DAG,

贝ljNBAE+NFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

ZEAF=-ABAD,:.NFAG=工NEAD=NFAE,

22

在AAFG与△AFE中，

AE=AG

■ZEAF=ZGAF

AF=AF

.-.AAFE^AAFG,理由：（SAS）

【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的

关键.

6.(2021•北京•九年级专题练习)在四边形中，C是3。边的中点.

(1)如图(1),若AC平分Z8AE,ZACE=90°,则线段AE、A3、OE的长度满足的数量关系为

;(直接写出答案)

(2)如图(2),AC平分ZBAE,EC平分/AED,若/ACE=120。，则线段AB、BD、DE、AE的长度

满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

【答案】(1)AE=AB+DE；(2)AE=AB+DE+；BD,证明见解析.

【分析】(1)在AE上取一点F,使AF=AB,由三角形全等的判定可证得△ACB^^ACF,根据全等三

角形的性质可得BC=FC,NACB=NACF,根据三角形全等的判定证得△CEFgACED,得至EF=ED,

再由线段的和差可以得出结论；

(2)在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG,根据全等三角形

的判定证得4ACB之4ACF和AECDg/XECG,由全等三角形的性质证得CF=CG,进而证得4CFG是等

边三角形，就有FG=CG=^BD,从而可证得结论.

【详解】解：(1)如图(1),在AE上取一点E使AF=AB.

图⑴

：AC平分/BAE,

NBAC=/FAC.

在4ACB和4ACF中，

AB=AF

<NBAC=NFAC

AC=AC

：.AACB^AACF(SAS).

；.BC=FC,/ACB=NACF.

是BD边的中点，

；.BC=CD.

.*.CF=CD.

/ACE=90。，

.\ZACB+ZDCE=90°,ZACF+ZECF=90°.

NECF=NECD.

itACEF^ACED中,

CF=CD

ZECF=ZECD

CE=CE

：.ACEF^ACED(SAS).

；.EF=ED.

VAE=AF+EF,

.*.AE=AB+DE.

故答案为：AE=AB+DE；

(2)AE=AB+DE+|BD.

证明：如图(2),在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG.

是BD边的中点，

.\CB=CD=1BD.

2

〈AC平分NBAE,

NBAC=NFAC.

在AACB和AACF中，

AB=AF

<ZBAC=ZFAC

AC=AC

：.AACB^AACF(SAS).

・・・CF=CB,ZBCA=ZFCA.

同理可证：ZXECDgZiECG

・・・CD=CG,NDCE=NGCE.

VCB=CD,

・・・CG=CF.

NACE=120。，

ZBCA+ZDCE=180°-120°=60°.

ZFCA+ZGCE=60°.

.,.ZFCG=60°.

AFGC是等边三角形.

.•.FG=FC=GBD.

VAE=AF+EG+FG,

;.AE=AB+DE+]BD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问

题的关键.

7.（2020•北京市第一零一中学温泉校区三模）在AA3c中，AC^BC,ZACB=90°,点E在直线BC上

（B,C除外），分别经过点E和点8作AE和A8的垂线，两条垂线交于点尸，研究AE和所的数量关系.

（1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是

的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1）,通过推理证明就可以得到AE和斯的数量关系，请你按照

这种思路直接写出AE和EF的数量关系；

图I

（2）那么当点E是直线BC上（B,C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E

在线段2C上”，“点E在线段2C的延长线”，“点E在线段2C的反向延长线上”三种情况中，任选一种情

况，在图2中画出图形，并证明你的结论；

图2备用图

(3)当点E在线段CB的延长线上时，若BE=nBC(O<n<l),请直接写出S^c：的值.

2

【答案】(1)AE=EF-,(2)仍然成立.证明见解析；⑶SAABC:SAAEF=l:(n+2n+2).

【分析】(1)连接GE,根据等腰直角三角形的性质可得NCGE=NCEG=45。，ZCBA=ZCAB=45°,然

后利用ASA即可证出AAGEdEBF,从而得出结论；

(2)在AC上截取CG=CE,连接GE,根据等腰直角三角形的性质可得NCGE=NCEG=45。，

ZCBA=ZCAB=45°,然后利用ASA即可证出△AGE四△£»尸，从而得出结论；

(3)在AC的延长线上截取CG=CE,连接GE,AF,利用ASA证出△AGE丝△£»下,可得△用'为等

腰直角三角形，设CA=CB=a,则砥=:立C=w,利用勾股定理求出AE,根据三角形的面积公式即可求

出结论.

【详解】解：⑴AE=EF,

连接GE

图I

•.•AC=BC,点E是5c的中点，点G为AC的中点

；.AG=CG=CE=EB,

因为ZACB=90。，

所以NCGEnNCEGudS。，ZCBA=ZCAB=45°.

所以AAGE=2EBF=135°.

因为AEJ_£F,ABLBF,

所以NAEF=NABF=NACB=90。，

所以NFEB+ZAEF=ZAEB=NEAC+ZACB.

所以NFEB=NEAC.

在△AGE与△£»尸中，

ZAGE=ZEBF,

<AG=BE,

NGAE=NFEB,

所以△AGEdEBF(ASA).

所以AE=£F

(2)仍然成立.

在4c上截取CG=CE,连接GE.

因为ZACB=90。，

所以ZCGE=NCEG=45°.

因为AEJ_£F,AB±BF,

所以NAEF=NASA=NACB=90。，

所以ZFEB+ZAEF=ZAEB=Z.EAC+AACB.

所以ZFEB=NEAC.

因为C4=CB,

所以AG=BE,ZCBA=ZCAB=45°.

所以NAGE=NEB尸=135°.

在AAGE与△EB尸中，

ZAGE=NEBF,

<AG=BE,

NGAE=NFEB,

所以ZkAGE1空△£»/(ASA).

所以AE=£F.

(3)如下图所示，在AC的延长线上截取CG=CE,连接GE,AF

因为ZACB=90。，

所以ZCGE=ZCEG=45°.

因为AEJ_EF,ABLBF,

所以NAEF=NABF1=NACB=90°,

所以NFEB—ZAEF=ZAEB=AEAC-AACB.

所以NFEB=NEAG.

因为C4=CB,

所以AG=3E,ZCBA=ZCAB=45°

：.ZEBF=180°-ZABF-ZABC=45°.

所以ZAGE=NEBF=45°.

在AAGE与△£»尸中，

AAGE=NEBF,

<AG=BE,

ZGAE=ZFEB,

所以AAGE卷AEBF(ASA).

所以AE=£F.

△A砂为等腰直角三角形

设CA=CB=a,则==也

CE=a+na

由勾股定理可得AE=7C42+CE2=yl2a2+2na2+n2a2

SAABC=3a2,S^AEF=5(+Zzi6z?+/a2)=a?+〃/+—

•,-^AAEF=1：+2〃+2).

【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握构造全

等三角形的方法是解决此题的关键.

8.(2021・全国•九年级专题练习)例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何

题化难为易的一种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方

式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.

(1)如图1,△ABC是等边三角形，点£>是边BC下方一点，ZBDC=120°,探索线段£M、DB、OC之间

的数量关系.

解题思路：将△48。绕点A逆时针旋转60。得到△ACE,可得AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,Z

DAE=60°,tg®ZBAC+ZBDC=180°,可知/A8O+/ACZ)=：180。，贝！］ZACE+ZACD^ISQ0,易知△AQE是

等边三角形，所以从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段DA、DB、OC之间的等量关系是；

(2)如图2,RtAABC+,ZBAC=9Q°,AB=AC.点D是边BC下方一点，/BDC=90°,探索三条线段

DA.DB、OC之间的等量关系，并证明你的结论.

K)1图2

【答案】(1)DA=DB+DC;(2)&DA=DB+DC,证明见解析.

【分析】(1)由旋转60。可得CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=6Q°,根据/BAC+NBZ)C=180。，

可知/4BO+/ACO=180。，贝！JNACE+NACZ)=180。，易知△AOE是等边三角形，所以AZ)=DE,从而解决

问题.

⑵延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,由已知可得ZAB£>+NACD=18O°,根据ZACE+ZACD=18O°,可得

ZABD=ZACE,可证AARD三AACE,进而可得AD=AE,4仞=/。1£,可得/八4£=/54。=90°,由勾股定

理可得：D^+AE2=DE?,进行等量代换可得结论.

【详解】(1)结论：DA=DB+DC.

理由：：△ABD绕点A逆时针旋转60。得到AACE,

；.AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,

VZBAC+ZBDC=180°,

.\ZABD+ZACD=180°,

/.ZACE+ZACD=180°,

；.D,C,E三点共线，

VAE=AD,ZDAE=60°,

AADE是等边三角形，

；.AD=DE,

AD=DC+CE=DB+DC;

(2)结论：后DA=DB+DC,

证明如下:

如图所示，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,

,/ABAC=90°,ZBDC=90°,

/.ZA5D+ZACD=180",

NACE+NACO=180°,

NABD=ZACE,

：AB=AC,CE=BD,

AABD三AACE(SAS),

；.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

ZDAE=ZBAC=9(f,

D^+AE2^DE2,

2n42=(r)B+r)c)2,

V2DA=DB+DC.

【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到

全等三角形是解题的关键.

9.(2020・全国•九年级专题练习)如图，四边形A3CD为矩形，歹为对角线BO上一点，过点尸作

FELBD交AD于点H,交2A的延长线于点E,连接AF,当阳=FE时，求证：AH+AB=6AF.

【答案】见解析

【分析】过点尸作尸交AB的延长线于点N,先证明△E7W乌△DE4(A&4),可得NN=ZDAb,

FN=AF,从而可以证明△〃/月也可证得AH=3N,即可得证AH+AB="1F.

【详解】证明：如图，过点尸作FNLAF交AB的延长线于点N,

\EF.LDF,EAYAD,

ZE+ZABD=90°,ZADF+ZABD=90°,

;.ZE=ZADF,

\・ZAFN=/EFD=90。,

:.ZAFD=ZEFN,

在△MN和△OE4中，

/EFN=/DFA,

<EF=DF,

/E=ZADF,

:.AEFN2△/)/%(ASA),

.\ZN=ZDAF,FN=AF,

又・.・NA7W=90。，

:.AN=4iAF，

・.・ZAFN=/EFB=9。。,

:.ZAFH=/BFN,

在ZV1Hb和ANBF中,

ZAFH=/NFB,

<AF=NF,

4HAF=4N,

:.AAHF^ANBF(ASA),

:.AH=BN,

:.AH+AB=BN+AB=AN=42AF-

【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键.

10.(2020•全国•九年级专题练习)如图，在正方形A5co中，点E、尸均为中点，连接AF、DE交于点、

P,连接PC,证明：PE+PF=yf2PC-

【答案】见解析

【分析】延长。E至N,使得EN=PF,连接CN,先证明△AQF四ADCE(SAS),可得

ZAFD=ZDEC,即NCFP=NCEN,再通过证明zZ\C7?P(SAS),可得CN=CP,

ZECN=NPCF,即可证明ANCP是等腰直角三角形，即PN=PE+NE=柩PC，从而得证

PE+PF=s/2PC.

【详解】证明：如图，延长DE至N,使得EN=PF,连接CN,

在正方形ABCD中，

-E,尸分别是BC、8的中点，

:.CE=DF,

在AADb和ADCE中，

AD=CD,

<ZADF^ZDCE=90°,

DF=CE,

:.AADF^ADCE(SAS),

:.ZAFD=ZDEC,

:.ZCFP=ZCEN,

在ACEN和ACEP中，

CE=CF,

"ZCEN=ZCFP,

EN=PF,

:MEN^ACFP(SAS),

:.CN=CP,NECN=NPCF,

NPCF+ZBCP=90。,

ZECN+NBCP=ANCP=90°,

.•.△NCP是等腰直角三角形，

:.PN=PE+NE=41PC-

即尸E+PR=0PC-

【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题

的关键.

11.（2021.北京•清华附中九年级阶段练习）已知NMON=a（Oo<&<180。），A为射线ON上一定点，B为

射线OM上动点（不与点。重合）连接A3,取A3的中点C,连接OC.在射线8M上取一点。，使得

BD=OA.

(1)若tz=60°,

①如图1,当NR4O=60。时，在图1中补全图形，并写出大的值；

AD

②如图2,当/84。＜60。时，猜想片OC的值是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由；

AD

OC

（2）如图3,若戊=90。,。。，也，直接写出厂的值.

AD

【答案】（1）①9,②葛=（；（2）生=左.

2AD2AD2

【分析】（1）①由已知可判定AAOB是等边三角形，△OAD是含30。的直角三角形，由此利用解直角三角

形用OA表示出OC、即可求解；

②延长OB到G,使0G=02,构造等边三角形AOP,延长02到G,使0G=。8,构造中位线OC和

^APG^AOD,全等三角形性质和中位线性质即可得出结论；

（2）根据直角三角形中线和已知垂直条件证明由边长关系求出相似比即可解答.

【详解】解：⑴①补图如下，=OC==,1

图1

求解过程：VZBAO=60°,ZMON=a=60°,

・•・△AQB是等边三角形,

OA=OB=AB,ZOBA=60°,

BD=OA,

：.BD=AB,

：.ABDA=/BAD=-ZABO=30°,

2

：.ZOAD=90°,

**•tanZODA=tan30°=,

AD3

・•・AD=6OA,

VBC=AC,AAOB是等边三角形,

ZAOC=30°,ZACO=90°,

OC=OA.COSZAOC=@OA,

2

•••OCJ^OA_1；

AD~MOA~2

②如图，在OM上取一点尸，使。尸二04

・・・△AOP是等边三角形，

AOA=OP=AP,ZOPA=60°,

延长03至IJG,使OG=OB,

•:PG=OG+OP,OA=BD=OP,

：.PG=OB+BD=OD,

在和30。中，

AP=OA

<ZAPG=ZAOD,

PG=OD

：.AAPG=^AOD(SAS),

：.AG=ADf

VOG=OB,CA=CB,

：.OC=-AG,

2

AG

：.OC_^=1；

~AD~AG~2

“、OC_A/5-1

AD2

过程如下：如图,

,：ZMON=a=9Q0.OC±AD,

：.ZAOC-^-ZHOD=90°,ZODA-^-ZHOD=90o,

：.ZODA=ZAOC,

9：ZMON=a=90°,BC=CA,

：.BC=CA=OC^-AB

29

ZOAC=ZAOC,

・•・ZOAC=ZODA,

••AOBA~AOZ^A,

.OBOAAB

•・正一而一罚'

OAABX八、f

设——===—(/m>0),OB=a,

OAODADm

OA=BD=ma,OD=n^a,

••?

•a+ma=ma，

解得:（不合题意舍去），〃「叱后，

22

.PCAB_1A/5-1

AD2AD2m2

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质

和判定、解直角三角形、三角形的中线和中位线性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问

题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

12.（2022•安徽合肥•一模）已知：如图1,△ABC中，/CAB=120。，AC=AB,点。是8C上一点，其中/

ADC=a（30°<ct<90°）,将△A3。沿所在的直线折叠得到△&£1»AE交CB于F,连接CE

图1图2备用图

(1)求/COE与NAEC的度数(用含a的代数式表示)；

(2)如图2,当a=45。时，解决以下问题：

①已知A£>=2,求CE的值；

②证明：DC-DE=®AD；

【答案】(1)/8片=180。一2。，ZAEC=a

(2)①4；②见解析

【分析】(1)由折叠对应角相等与“双蝴蝶型”相似可得;

(2)由a=4由求出NCA歹=90。,再由“蝴蝶型”相似求得;

(3)“截长补短”法：在上取一点〃，使得CH=DE.

(1)

,JAABD沿AD所在的直线折叠得到4AED,

：.ZADE=ZADB=18O°-ot,

/.ZCDE=180°-2a；

VZCAB=120°,AC=AB,

：.ZACB=ZB=ZAED=2>0°,

'：ZDFE=ZAFC,

：.LDEFsAAFC,

：.DF：AF=EF：CF,

'：NEFC=/AFD,

：.AAFD^ACFE,

：.ZAEC=ZADC=a,

故答案：18O°-2ot；a

(2)

①Vcc=45°,

ZDAF^ZDAB=15°,

，ZCAF=90°,

：.AF：CF=1：2,

"：^AFD^ACFE,

：.AD：CE=AF：CF=1：2,

：.CE=4,故答案:4；

②在BC上取一点H,使得CH=DE,

'：AC=AE,ZACH=ZAED,

：.AACH^AADE,

：.AD=AH,ZDAE=ZCAH,

：.ZDAH=90°,

：.DH=y[lAD,

：.DC-ED=DC-CH=DH=72AD

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及勾股定

理等知识；熟练掌握翻折变换和相似三角形的性质与判定是解题的关键.

13.（2021・四川成都•九年级期末）如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,将点C绕点8顺时针

旋转105。得到点。，连接B。，过点。作。ELBC交延长线于点E,点尸为线段。E上的一点，且/

DBF=45°,作N2FD的角平分线FG交A8于点G.

（1）求NBFD的度数；

（2）求BEDF,GF三条线段之间的等量关系式；

（3）如图2,设X是直线OE上的一个动点，连接HG,HC,若AB=也,求线段HG+8C的最小值（结

果保留根号）.

【答案】(1)120°；(2)BF+DF=GF,理由见解析；(3)g娓

【分析】(1)由平角的性质可求NP3E=30。，再由直角三角形的性质和平角的性质可求解；

(2)由“A&4”可证△BMG之△BfD,可得GM=£)R即可求解；

(3)作点G关于。E的对称点G',连接HG,CG,FG',作G'/LCB交CB的延长线于/,由轴对称的

性质可得GF=G'F,HG=HG,NDFG=NDFG'=60。,则HG+HC=HC+”G'NCG',由等边三角形的

性质和等腰直角三角形的性质可求8G'的长，由勾股定理可求解.

【详解】解：(1)VZCBD=105°,NFBD=45°,

:./FBE=30。,

•:DELBC,

：.NDEB=90。,

：.ZBFE=60°,

：.ZBFD=120°；

(2)BF+DF=GF,

理由如下：如图1,在线段尸G上截取连接

VZBFD=12O°,FG平分/DFB,

：.ZGFD=ZGFB=60°,

△EBM是等边三角形,

:・BF=BM,ZBMF=60°,

：.ZGMB=ZBFD=\20°,

VZACB=90°,AC=BC,

・・・NC3A=45。，

•；NCBD=105。,

：.ZABD=60°=ZMBF,

:・NGBM=NDBF,

：.在ABMG与dBFD中，

ZGMB=ZBFD

<BF=BM

ZGBM=ZDBF

：.ABMG^ABFD(ASA),

GM=DF,GB=DB,

9

：MF+GM=GF9

：・BF+DF=GF；

（3）如图3,设3。与Gb交于点。，作点G关于。石的对称点G',连接〃G',CG,FG,作

交CB的延长线于I,

图2

丁点G与点G'关于对称，

:・GF=G'F,HG=HG,NDFG=NDFG'=60。,

:・HG+HC=HC+HG“G',

即HG+HC的最小值为CG,

/BFD+NDFG'=180。,

・,•点以点尸，点G'三点共线，

*：GB=DB,ZGBD=60°,

...△GOB是等边三角形，

：.GD=DB=GB,

:.DB=DG',

■:NDBE=15。,/DEB=90°,

：.ZBDE=15°,

：./GDF=75。,

：.ZG'DF=ZGDF=15°,

：.ZBDG'=9Q0,

又,：DB=DG,

:.BG=®BD=亚BC=AB=也,

,：ZEBF=30°,G'I±CB,

：.1G=^BG'=显,BI=y[3G'I=—,

222

：.CI=BC+BI=\+J^-,

2

**-CG'=VC/2+G72=J(1+半＞+g=，3+#，

/.HG+HC的最小值为+底■

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边

三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

14.(2021・四川成都・二模)如图，点C在以4B为直径的。。上，8。平分/ABC交。。于点。，过。作

BC的垂线，垂足为E.

(1)求证：DE与。。相切；

(2)若AB=6,tanA=7^,求BE的长；

(3)线段AB,BE,CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明.

B

【答案】(1)见解析；(2)4；(3)CE=AB-BE,见解析

【分析】(1)连接OO,根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到N0Q8=NC5。，根据平行线的性

质得到于是得到结论；

(2)根据圆周角定理得到乙4。8=90。，根据相似三角形的性质即可得到结论；

(3)过。作于“，根据角平分线的性质得到。〃=。石，根据全等三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：⑴证明：连接。0,

•：OD=OB,

：.ZODB=ZOBDf

•「BO平分NABC,

：./OBD=/CBD,

：・/ODB=/CBD,

：.OD//BE,

9：BELDE,

：.ODLDE,

・・・OE与。。相切.

(2)解：TAB是。。的直径，

・•・ZADB=90°,

\9AB=6,tcmA=6,

:・BD=亚AD,

设AZ)=机，则50=应机，

.*.m2+2m2=36,

・••根=26或-2石(舍弃)，

:,AD=2,BD—2,

9：BELDE,

：.ZADB=ZBED=90°,

•••5。平分NABC,

：.ZOBD=ZCBD,

：.△ABDsdDBE,

,ABBD

••茄一拓’

・6276

,•2-76-BE，

：.BE=4.

(3)解：结论CE=AB-BE,

理由：过。作于X,

平分/ABC,DE±BE,

：.DH=DE,

在Rt^BED与RtABHD中，

[DE=DH

[BD^BD'

:.RmBED^RMHD(HL),

：.BH=BE,

VZDCE^ZA,/DHA=/DEC=9。。,

：.AADH^/\CDE(.AAS),

:.AH=CE,

"：AB=AH+BH,

：.AB=BE+CE,

：.CE=AB-BE.

【点睛】本题属于圆的综合问题，考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判

定，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题.

15.（2020•黑龙江哈尔滨•九年级期中）如图，AABC中，点。在AC边上，MZBZ5C=90+1ZABZ）.

AA

(1)求证：DB=AB；

(2)点E在2c边上，连接AE交3。于点孔且NARD=NABC,BE=CD,求ZACB的度数.

(3)在(2)的条件下，若BC=16,AABR的周长等于30,求AF的长.

【答案】(1)见解析；(2)ZACB=60°；(3)AF=U

【分析】(1)根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出NA=ZBD4,证得

DB=AB；

(2)作CH=BE,连接DH,根据角的数量关系证得N£AC=NC,再由三角形全等判定得△BDH^A

ABE,最后推出△DCH为等边三角形，即可得出ZACB=60。；

(3)借助辅助线AOLCE,构造直角三角形，并结合平行线构造△BFEs^BDH,建立相应的等量关系

式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值.

【详解】(1)证明：VZBDC=90°+1ZABD,ZBDC=ZABD+ZA,

ZA=9O°-1ZABD.

VZBDC+ZBDA=180°,

ZBDA=180°-ZBDC=90°-1ZABD.

/.ZA=ZBDA=90°-1ZABD.

.*.DB=AB.

解：(2)如图1,作CH=BE,连接DH,

VZAFD=ZABC,ZAFD=ZABD+ZBAE,ZABC=ZABD+ZDBC,

・・・NBAE=NDBC.

•・•由(1)知，ZBAD=ZBDA,

又NEAC=NBAD—ZBAE,NC=ZADB-ZDBC,

・・・NCAE=NC.

・・・AE=CE.

•・・BE=CH,

・・・BE+EH=CH+EH.

即BH=CE=AE.

VAB=BD,

ABDH^AABE.

・・・BE=DH.

•;BE=CD,

・・・CH=DH=CD.

/.△DCH为等边三角形.

・•・ZACB=60°.

(3)如图2,过点A作AOLCE,垂足为O.

VDH/7AE,

.\ZCAE=ZCDH=60o,NAEC=NDHC=60。.

**•AACE是等边三角形.

设AC=CE=AE=x,贝！JBE=16—X,

•・・DH〃AE,

•••△BFEs/XBDH.

.BFBEEF16-x

—访一而一而一％•

ZkABF的周长等于30,

即AB+BF+AF=AB+^^A8+x—(I"")=30,

x

解得AB=16——.

o

在Rt^ACO中，AC=-,AO=^

22

.*.BO=16--.

2

在RdABO中，AO2+BO2=AB2,

即5三+116-£|2=[16-

解得玉=0(舍去)无2=等.

.".AF=11.

【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应

用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，.

16.(2020•全国•九年级专题练习)如图①，直线/与。O相交于A,8两点，AC是。O的直径，。是圆上

一点，于点E,连接A。，且AD平分NC4E.

(1)求证：DE是。O的切线；

(2)若DE=3,AE=W),求。。的半径；

(3)如图②，在(2)的条件下，点尸是劣弧上一点，连接PC,PD,PB,问：线段PC、PD、PB

之间存在什么数量关系？请说明理由.

cc

【答案】（1）见解析；⑵26;⑶PC=PD+PB,见解析

【分析】（1）连接。。，如图①，要证OE是。。的切线，即证DELOD,利用角平分线的定义和等腰三

角形的性质可证。0443,进一步即可证得结论；

（2）如图①，连接8,要求。。的半径，只要求直径AC的长即可，己知£>E、AE的长，利用勾股定理

即可求出AD的长，再结合AC是直径可得△ACD-AWE,然后根据相似三角形的性质求解即可；

（3）要求「C、PD、PB之间的数量关系，可利用截长补短法，在PC上截取尸3=P尸，再证明CV与DP

的关系即可；由锐角三角函数的知识可得ND4£=60。，进而可得NCP3=NGR=60。，于是得△PBR为

等边三角形，然后根据等边三角形的性质和圆周角定理的推论可利用AAS证明△PBD名△FBC,进一步

即可证得结论.

【详解】（1）证明：如图①，连接。。，

,/OA-OD,

・•・ZOAD=ZODA,

・・・AD平分NC4E,

:.ZOAD=ZDAEf

ZODA=ZDAEf

DOIIA