江苏省宿迁市2024-2025学年高三年级上册第一次调研考试数学试题（含答案解析）

江苏省宿迁市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合河={引-2〈工vl},N={-2,-l,0,l},则Mf|N=（）

A.{-1,1}B.{-2,—1,0}C.{-1,0,1}D.

2.命题“3xwR,f+x+i<o”的否定为（）

A.★wR,x2+x+l>0B.3x^R,x2+x+l>0

C.VXGR,x2+x+l>0D.\/x^R,x2+x+l>0

3.若。>0*>0,a+2Z?=3,则?的最小值为（）

ab

A.9B.18C.24D.27

4.已知函数/⑺的值域为[-2,3],则函数2）的值域为

A.[T,l]B.[0,5]C.H，1]O[0,5]D.[-2,3]

5.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为&型，比如：当x-»0时，史匚的极限

即为:型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出

洛必达法则:在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：

r2-l

则lim号」

lim-------=lim----------=lim—=P)

%—>0JQX—>0£x—>0]11x\nx

A.0B.-C.1D.2

2

6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚

爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼

向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的

黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字x的素数个数

大约可以表示为兀（尤卜荻的结论.若根据欧拉得出的结论,估计100。。以内的素数个数为

（）（素数即质数，IgeR0.43,计算结果取整数）

A.1079B.1075C.434D.2500

V71

7.已知〃尤）=।,若方程f（无）=M（meR）有四个不同的实数根4，x2,x3,

x*-4x+5,x>l

X4,则%"2，三的取值范围是（）

A.（3,4）B.（2,4）C.［0,4）D.［3,4）

8.l.〃x）是在［0』上的连续函数，设4=2/（与』一『］£|,则（）.

工

A.A„<A„B.44+“,C.24<D.24<4+m.

二、多选题

9.已知函数f（x）=x3+gx2-4x,贝U（

A.元=2是〃尤）的极小值点B./（X）有两个极值点

C.“X）的极小值为1D.在［0,2］上的最大值为2

10.下列命题正确的有（）

A.函数〃2力定义域为［-2,2］,则/代）的定义域为［-2,2］

B.函数/■（力="&2+1+*）是奇函数

C.已知函数/（x）=|lgx|-左存在两个零点看,尤2,则占龙2=左

D.函数〃彳）=无+，在（0,+8）上为增函数

X

11.已知x>0,y>0,2x+y=1,贝。（）

A.4,+2,的最小值为2夜B.logzX+log2y的最大值为-3

c.y-x一孙的最小值为-1D.—1+’的最小值为w

尤+2y+16

三、填空题

12.VxeR,函数〃x）=/+双?+3"+4没有极值的充要条件为.

13.已知函数〃%）=田/一依+12）在［-1,3］上单调递减，则实数a的取值范围是.

14.设集合S={xeR+|无"=","eN+}则集合S中最小的元素是,集合S中最大的元素

试卷第2页，共4页

是

四、解答题

15.已知集合73={了|2彳2-3%+1<0},。={彳|(%-。)(工一。-1)40}.

(1)若。=1,求尸cQ；

(2)若xeP是xeQ的充分条件，求实数。的取值范围.

16.已知函数〃力=加+法+18,/(x)>0的解集为(―3,2).

⑴求/(久)的解析式；

(2)当x>-l时，求y=〃x)-21的最大值.

X+1

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A8CO为梯形，AB//DC,AB=2BC=2CD=29

ZABD=60°,PB±AD,PB=PD=l.

⑴求点P到平面ABCD的距离；

(2)在棱尸C上是否存在点尸，使得平面。BE与平面尸BC夹角的余弦值为E?若存在，求出

点尸的位置；若不存在，请说明理由.

18.已知函数/(x)=2l若点己%,%)在y=f(x)的图像上运动,则点。(%+1,2%+1)在

y=g(x)的图象上运动

(1)求尸(x)=/(x)+/(-x)的最小值,及相应的X值

(2)求函数y=g(x)的解析式，指出其定义域£>,判断并证明G(x)=/(尤)+g(x)在。上的

单调性

(3)在函数y=/(x)和y=g(x)的图象上是否分别存在点A、3关于直线>=》-1对称，若存

在，求出点4B的坐标；若不存在，请说明理由

19.帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正

整数加，"，函数"X)在x=0处的［〃?,"］阶帕德近似定义为：氏("=?+差+…+:4",

1+byX+,•,+bnx

且满足：/(O)=/?(O)，r(o)=R'(O),f"(O)=R'(O),…,/(i(O)=RS")(O).(注：

rw=[尸⑼'，/"(x)=[r(x)];严(x)=了(3,/⑸(x)=F)⑺],…，严(X)为

尸(X)的导数)已知"X)=ln(x+1)在尤=0处的[1』阶帕德近似为g(无)=言.

⑴求实数私〃的值；

(2)证明：当xNO时，/(x)>g(x)；

⑶设。为实数，讨论方程〃》)-^8(尤)=0的解的个数.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CCADDBDABDAB

题号11

答案ABD

1.C

【分析】根据集合的交集定义即可求解.

【详解】由题知，

M={x|-2<x<l},W={-2,-1,0,1},

McN={-1,0,1},

故选：c.

2.C

【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解.

2,,

【详解】“主eR,f+x+l<0”的否定为FeR,X+X+1>Q,

故选：C.

3.A

【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.

【详解】根据题意可得

163+效6a+丝6b+12卜15+2.6。6b'

+-=9；

ab3bba31ba,

当且仅当r=上，即。=11=1时，等号成立;

ba

此时。+1的最小值为9.

ab

故选：A.

4.D

【详解】函数〃x-2）的图象由的图象向右平移2个单位得到，故值域相同，故选D.

5.D

【分析】利用洛必达法则直接求解即可

【详解】吟幕=吟2x

=lim__=2,

n3x\nx+x

答案第1页，共13页

故选：D

6.B

【分析】计算兀(10000)的值，即可得解.

【详解】7T(10000)=-10000==25001ge»2500x0.43=1075,

、'In1000041nl0

所以，估计10000以内的素数个数为1075.

故选：B.

7.D

【分析】利用数形结合可得结合条件可得不马=1,1<X3<2,2<X4<3,且

X3+X4=4,再利用二次函数的性质即得.

【详解】由方程/(无)=m(meR)有四个不同的实数根，

得函数y=/(x)的图象与直线'=，"有四个不同的交点，分别作出函数y=/(x)的图象与直

线y="

由函数/(X)的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，1<〃/42.

设>=根与y=|ln(-尤)|(尤<0)交点的横坐标为4,%,设占<%,则为<-1,一1<%<0,

由阿-菁)|=阿一%)|得In(一占)=-ln(-x2),

所以(f)(f)=l,即x/2=l.

设y=加与y=/-4x+5(xN1)的交点的横坐标为鼻，Z，

设三〈尤4，贝！114%<2,2<x4<3,且X3+%=4,

所以泡无4=为(4—尤3)=—(无3—2)+4e[3,4),

贝1]为々/匕e[3,4).

答案第2页，共13页

故选：D.

8.A

【分析】举反例即可反驳BCD,利用绝对值不等式即可判断A正确.

〃“_1kn1

【详解】对CD,取/（x）=x，则有4,=£----------=£—=1，

Mnn蓄n

则&“=1,贝|24>为“，故C错误，4+“,=1,贝|24>4+,“，故D错误;

对B,取〃x)=Ml-x),则&=/(。)-吗)"1)=3

A=八。）-"T+佃-僧+日-，⑴

此时4>4,则B选项错误;

由绝对值不等式得答W黑卜

因此选项A正确.

故选：A.

9.BD

【分析】对应/（%）求导，根据其符号确定单调区间并判断极值点、求极值判断ABC；进而

求函数在［0,2］上的最大值判断D.

【详解】由题设/'（幻=3%2+%一4=（3%+4）（%-1）,

令r（x）>0,贝|》<一：或X>1,令（（x）<o,则=<X<1,

所以y,-：4）、（1,+⑹上/（X）递增，（一:41）上/（X）递减,

（、

故/==4方为104极大值，川）=三5为极小值，A、C错误，B正确；

在［0,2］上,在x）在［0,1）上递减,在（1,2］上递增，而f（0）=0</（2）=2,

答案第3页，共13页

所以〃尤)在[0,2]上的最大值为2,D正确.

故选：BD

10.AB

【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A,根据奇函数定义判断B,根据零点定义建立

方程，数形结合，判断C,根据对勾函数单调性判断D.

【详解】对于A,由函数/(2”定义域为[-2,2],则2xe[<4],

因此在/(f)中，x2e[-4,4],解得了©[-2,2],即/'俨)的定义域为[-2,2],故A正确；

对于B,函数〃尤)=ln(G7T+x)定义域为R,

且〃T)=lnQ(-x)2+l-xj=ln(Jx2+l+x)=-/(x),所以函数/(x)为奇函数，故B正

确；

对于C,由函数/(x)=|lgx|-左存在两个零点再，尤2，即占，%为1坨幻=%的两根，

则可得|lgxj=|lg4|，令旦=13*1，%=k,

结合函数>=|lg无I图象可设石e(0,l),%e(l,+8),贝！jlg^i〈OJg>0,

OX\1X2A

所以-1gxi=1酩，所以占-X2=1,而左不一定为1,故C不正确；

对于D,函数f(x)=x+J为对勾函数，在区间(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，故D

不正确.

故选：AB.

11.ABD

【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判

断B；将y-x-冲化为关于尤的二次函数，结合二次函数性质可判断是c；通过变量代换,

2x2V2

令〃2=x+2,〃=y+l,得到2"?+〃=6,根据“1”的巧用，将+变形后，利用基本不

尤+2y+1

等式，即可判断D..

答案第4页，共13页

【详解】对于A,由于x>0,y>0,2x+y=l,故4*+2>=2?，+2》2=2班,

当且仅当2x=y,结合2无+y=l,即尤=：»=1时，等号成立，

42

即4*+2,的最小值为2及，A正确；

对于由于％也孙，则孙

B,>0,y>0,2x+y=122v8

当且仅当x=；,y=；时，等号成立，

log2x+log2)7=log2(xy)<log21=-3,即log2x+log2y的最大值为一3,B正确;

o

对于C,又％>0,y>0,2%+y=l,得y=l-2x,

^Cy-x-xy=(1-2x)-x-x(l-2x)=2x2-4x+l

由于0<2%<1/.0<%<工，而y=2/—4x+i对称轴为%=1,

2

则y=2/-4x+l在(0,g)上单调递减，在(0、)上无最值，C错误;

对于D,令机=%+2,〃=y+1,则|%=机—2,y=〃一1,

2x2y22m2-8m+8n2-2n+l

故—Q=—益—=2m+n+—+--10,

mn

由于%〉0,y〉0,故根〉2,〃〉1,

2m+n=2(x+2)+(y+1)=2x+y+5=6,

则一

mn

当且仅当第=2竺，结合2根+〃=6,即机=号,〃=?时，等号成立，

mn55

oiosi

所以2根+〃+—+—-10>6+——10=-,

mn66

Q22[

即*三+二7的最小值为J，D正确，

x+2y+16

故选：ABD

【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的

判断，解答时要通过变量代换，令机=%+2,〃=y+l,得至!)2机+〃=6,根据“1”的巧用，将

22

—2X+\V变形后，利用基本不等式，即可求解.

x+2y+1

12.0<a<9

【分析】求导后可得尸(X)20恒成立，计算A=4/-36。40即可得.

答案第5页，共13页

【详解】f\x)=3^+2ax+3a,注意到了'("是开口向上的二次函数，

若/(“没有极值，则只能是尸(久)20恒成立，

即A=46—36aW0,解得0WaW9.

故答案为：0<«<9,

13.［6,7)

【分析】根据复合函数的单调性，结合二次不等式恒成立问题，列不等式组求解即可.

【详解】/(x)=lg(%2-ar+12)由y=lgf(f>0),t=x2-ax+i2(-l〈xW3)复合而成.

2

而y=>0)单调递增,只需要t=x-ax+12(-1<x<3)单调递减.

一、、氏3

且在［-L3］上/=x?-ax+12>0恒成".则，2即可，解得64a<7.

［32-3a+12>0

故实数。的取值范围是叵7).

故答案为：［6,7).

14.1%

InYInY1

【分析】构造函数y=1,借助函数y的单调性找到且(尤)=r的单调性即可求解.

【详解】则赤

xeR+,weN+,人—7JI—I£

3r①In%jw,1-lnx

构造函数y=——,xe［l,+oo),贝!|y=-j—,

xx

令"。，贝ijx=e,

当xe［l,e),/>0,当xw(e,+e),/<0,

「•函数y=(在［1,e)上单调递增，在(e,+“)上单调递减，

x

又y==\nx,贝|JQy=gn£=/，

11_...

令8(尤)=6,则函数g(x)=》在［l，e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

且Xf+8时，

因此结合函数g(x)=l的性质知，x=〃：，xeR+，〃eN+，

当〃=1时，xmin=l,

又当”=2时，x=应，当"=3时，x=冷,

答案第6页，共13页

又9=(g『>(也『=8,故我〉夜，因此当〃=3时，尤a=近.

故答案为：1;为.

【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的

教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联

系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对

函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据

题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，

如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

15.(1){1}；(2)0.1.

【解析】(1)由集合描述可得「={尤44尢41},0={x|l〈x<2},根据集合交运算即可求

尸cQ；(2)由尤eP是xeQ的充分条件知P=Q列不等式组即可求a的范围.

【详解】(1)P={x\2x1-3x+l<0]=[x\-<x<l},

2

当a=l时，Q={X|(X_D(X_2)V0}={X|1WXW2},

则尸CQ={1}；

(2)Va<a+\,

Q={x\^x—a)^x—a—\)<G}={x\a<x<a+l]

・.・xwP是XEQ的充分条件，

.•尸a。,

a<-i

<2,解得OWaW],

l<a+l~

即实数。的取值范围是0,1.

【点睛】本题考查了集合的关系以及基本运算，首先根据集合描述写出集合，利用交运算求

交集，再由充分条件得到包含关系，列不等式组求参数范围.

16.(1)〃力=-3/—3x+18；(2)^max=-3.

【分析】(1)由/(x)>0的解集为(-3,2),结合根与系数关系求可求。，人的值，进而得到/(©

答案第7页，共13页

的解析式；⑵化简函数式为尸-3(x+D+.-l,结合基本不等式求最大值即可;

【详解】⑴因为函数〃力=加+法+18,〃力＞0的解集为(-3,2),

那么方程砒2+区+18=0的两个根是-3,2,且avO,

-3+2=-l=--a=-3

由韦达定理有，an

or,18b=—3'

—3-2=—6=—

a

所以〃X)=_3X2_3X+18.

4x)-21-3/一3尤-3x(x+l)+l=-3(x+l)+占一1,由

(2)y=—3---------------

x+1x+1x+1

x>-l,则:

根据均值不等式有3+1++”当且仅当

x+1=,即x=0时取等号,

x+l

...当X=0时，Xnax=—3.

【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式，根据一元二次不等式解集求二次函

数解析式，利用基本不等式求函数最值；

17.⑴2

(2)存在，在PC的三等分点处

【分析】(1)根据等边三角形的性质以及线面垂直的判定，结合面面垂直的判定，作图明确

四棱锥的高，利用勾股定理，可得答案；

(2)由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合夹角公式建立方程，可得答案.

【详解】(1)由题设，知ABIIDC,所以NABZ)=N3DC=60。.

又BC=CD=1,所以△BCD为等边三角形，所以&)=BC=1.

在△ABD中，AB=2,BD=1,所以AD?=452+302一2AsxBDxcosNABD.

HPAD2=22+l2-2x2xlxcos60°=3,贝UAD=g.

所以MABL即AD_LBD,

又PBLAD,PBcBD=B,且u平面PBD,所以AD_L平面尸5D.

因为ADu平面ABC。，所以平面PSD_L平面ABCD

如图1,设。为BD的中点，连接尸O,因为尸8=尸。，所以尸

答案第8页，共13页

又因为平面尸3£>n平面ABCD=3Z),PO_L平面P3£).

所以尸O，平面ABCD，所以尸O即为点尸到平面ABCD的距离.

在Rt^POB中，PB=\,BO=~,所以PO=JPB?-BO2=也

22

即点P到平面ABCD的距离为由.

2

图1

(2)如图2,连接。C,则OC_L3D,且OCu平面ABC。,

所以POJ_OC,所以P。，BD,0c两两互相垂直.

以。为原点，OB,OC,、0P所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。孙z.

则出,0,0}C0,,oj,D|-1,0,0l,P0,0,

2

T7J

一(也、、

所以PC=0,1,-,DB=(1,O,O),BC=,0,BP=f10V3

I2’2

77

若PC上存在点下满足题意，不妨设评=2定,则可0,

所以而=一1,当入,当(1一司-

设沅=(x,y,z)是平面b的法向量,

m-BF=--x+^-A.y+^-(l-A]z=0

A-1

则22-2I'，解得y=

m-DB=%=0

不妨取z=l,则平面BD尸的一个法向量为玩=0,

同理，设为=a，x，zj是平面P2C的法向量,

n^BP=——z、-0

则-2「,解得西=,不妨取％=Z[=1,

为说一9+%=0

则玉=石，所以平面PBC的一个法向量为n=(A/3,1,1),

答案第9页，共13页

所以|cos成，司=

12

化简整理得9万-92+2=0,解得彳=；或几=:

—.1―.—.7—•

PF=-PC^PF=-PC.

故在PC的三等分点处存在点F,可使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为g.

18.(1)F(x)的最小值为2,对应的x为0；(2)gW=21og2(x-l)+l,定义域为(1,+(»),

G(x)=2"+21og,(x-l)+l,单调递增，证明见解析；(3)存在4(-2,3,-3)

44

【分析】(1)写出尸(x)=/(x)+/(-x)的解析式，依据基本不等式性质即可求解；

(2)根据点的关系求出y=g(尤)解析式，写出G(x)=/(x)+g(x)的解析式即可判断单调性；

(3)设A,8两点的坐标根据位置和对称关系列方程组求解.

【详解】⑴F(x)=7'(x)+/(-尤)=2、+2一”敢,2"2二=2，当且仅当2*=2一，即无=。时，等

号成立，即尸(无)的最小值为2,对应的x为。

(2)设y=g(x)图象上点Q(x,y),由题：.所以。2

v=2x„+11

点尸(不，%)在y=/(X)的图像上运动，则%=2'。,

所以尤-1=2?，y=21og2(x-D+l,由x-l>°得其定义域为(L+8)

所以g(x)=21og2(x-l)+l,定义域为(1,+℃)

G(x)=/(x)+g(x)=2，+210g2(尤-1)+1在定义域内为增函数,证明如下:

任取1〈芯<%,根据指数函数和对数函数单调性有:

2演一2*<0,log2(x1-1)-log2(x2-1)<0,

答案第10页，共13页

G(X])-G(%)=(2为+21og2(Xj-l)+l)-(2也+21og2(x2-1)+1)

=(2'i—2»)+2(log2(^-l)-log2(x2-l))<0,

即G(^)<G(X2)

所以G(尤)=f(尤)+g(x)在定义域内是增函数.

(3)假设函数y=/(%)和y=g(x)的图象上分别存在点关于直线y=无-1对称,

设其坐标A(w),，则有：

n=2mm=-2

b=210g2(。一1)+11

n=—

n-bi解得：4

5

m—aci——

n+bm+a,4

----=-------1

22b=-3

故在函数>=/(X)和y=g(尤)的图象上分别存在点4-2,：),8("-3)关于直线y=X-1对称.

44

【点睛】此题考查根据函数关系求解析式，并判断证明单调性，求解点关于直线对称相关问

题，考查理解辨析数形结合的能力.

19.(l)m=l,/7=—；

2

⑵证明见解析；

(3)答案见解析.

【分析】(1)根据/'(o)=g'(o)""(o)=g"(o)列方程组求解可得;

(2)构造函数0a)=/(x)-g(x),利用导数求单调性，由砒x)之砒0)即可得证:

(3)构造函数无)=〃x)-£g(H，分aW2,a>2利用导数讨论单调性，利用单调性判

断零点个数.当a>2时，分单调区间讨论，结合零点存在性定理判断即可.

【详解】(1)由“尤)=ln(x+l),g(x)=得,有〃O)=g(O),

可知〃止占尸(吁告7和)=谓