全等三角形中的手拉手模型-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题12全等三角形中的手拉手模型

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【模型1】等腰三角形中的手拉手全等模型

如图，AABC与4ADE均为等腰三角形，且NBAC=NDAE,连接BD、CE,贝（I/XABD峪Z\ACE。

【证明】

ZBAC=ZDAE

ABAD=NCAE

又：AABC与4ADE均为等腰三角形

，在A4RD和A4CE中

AB=AC

<ABAD=ZCAE

AD=AE

­.△ABDACE

【模型2】等边三角形中的手拉手全等模型

如图，AABC与4CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD,则ABCD义Z\ACE。

【模型3】一般三角形中的手拉手全等模型

如图，在任意AABC中，以AB为边作等边AADB,以AC为边作等边AACE,连接DC、BE,则AADC

^△ACE.

【模型4】正方形中的手拉手全等模型

如图，在任意AABC中，以AB为边作正方形ABDE,以AC为边作正方形ACFG,连接EC、BG,则4

AEC^AABG.

【例1】如图，C为线段/E上一动点（不与点A,E重合），在NE同侧分别作等边三角形N5C和等边三

角形CDE,AD与BE交于点O,4D与BC交于点、P,BE与CD交于点、Q,连结尸0.以下结论错误的是（）

A.ZAOB=60°

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质，BC//DE,再根据平行线的性质得到NC8E=/DE。，于是

NAOB=NDAC+/BEC=NBEC+NDEO=NDEC=60°,得出A正确；根据（ASA）,得出B

正确；由△/CD四△BCE得加之N4CB=NDCE=6Q°,4C=BC,得到（ASA）,

再根据/尸。。=60。推出△PC0为等边三角形，又由/尸0C=N£>CE,根据内错角相等，两直线平行，得出C

正确；根据NCQE=60。，ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知得出D错误.

【解析】解：・.•等边△45。和等边△口）£,

：.AC=BC,CD=CE,/ACB=/DCE=60。,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即NACD=/BCE,

在CD与△BCE中，

AC=BC

<NACD=/BCE,

CD=CE

:・4ACDmABCE(SAS),

:./CBE=/DAC,

XVZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=60°,即/ACP=/BCQ,

又•：AC=BC,

在△CQ5与中，

ZACP=ZBCQ

<AC=BC,

ZPAC=ZCBQ

:.丛CQBQ丛CPA(ASA),

：.CP=CQf

又•:/尸CQ=60。可知△尸C0为等边三角形，

・•・ZPQC=ZDCE=60°,

：.PQ//AE,

故C正确，

,:△CQBmLCPA,

：.AP=BQ,

故B正确，

•；AD=BE,AP=BQ,

：.ADAP=BEBQ,

即DP=QE,

ADQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=6Q°,

：.4DQE*4CDE,故D错误；

ZACB=ZDCE=60°,

：.NBCD=60。,

:等边△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

:.BC〃DE,

：.NCBE=NDEO,

：.ZA0B=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,

故A正确.

故选：D.

【例2】如图，A/BC是边长为5的等边三角形，BD=CD,NBDC=120。.E、/分别在/3、NC上，且

NEDF=60°,则三角形AEF的周长为.

【答案】10

【分析】延长AB到N,使BN=CF,连接DN,求出/FCZ>/£">=/A«Z>90。，根据SAS证丝△/CD,

推出DN=ORZNDB=ZFDC,求出/ED尸=NEZW,根据S4S证△££>尸也△EZW,推出EF=£N,易得△4EF

的周长等于AB+AC.

【解析】解：延长到N,使BN=CF,连接DN,

:LABC是等边三角形,

ZABC=ZACB=60°,

■:BD=CD,NBDC=120。,

J/DBC=/DCB=3。。,

：.ZACD=ZABD=300+60o=90°=ZNBD,

■:在XNBD和△/C。中，

BD=DC

<ZNBD=ZFCD,

BN=CF

:・ANBDmAFCD(SAS)f

：.DN=DF,ZNDB=ZFDC,

VZ5Z)C=120°,ZEDF=60°,

：.ZEDB+ZFDC=60°,

：./EDB+/BDN=60°,

即ZEDF=ZEDN,

在△瓦W和月中，

DE=DE

<ZEDF=ZEDN,

DN=DF

:.△EDNQ^EDF(SAS),

：.EF=EN=BE+BN=BE+CF,

即BE+CF=EF.

•••△ZBC是边长为5的等边三角形，

：.AB=AC=5,

•:BE+CF=EF,

：.AAEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=\O,

故答案为：10.

【例3】如图1,B、C、。三点在一条直线上，AD与BE交于点、O,△48C和△EC。是等边三角形.

A

AE

图1

(1)求证：AACD冬ABCE；

(2)求N20D的度数;

(3)如图2,若3、C、。三点不在一条直线上，的度数是否发生改变?(填“改变”或“不改

变”)

【答案】(1)证明见解析

(2)/3。。=120。

(3)不改变，理由见解析

【分析】(1)根据“&4s证明△4CD丝ABCE即可;

(2)由全等三角形的性质得N/DC=N3£C,再由三角形的外角性质得//08=60。，即可求解;

(3)同(1)得：AACD竺ABCE,得出ND4C=NEBC,根据三角形外角求出//OE=120。，即可得出答

案.

【解析】(1)证明：:△/Be和△ECD是等边三角形,

；.NACB=/ECD=60°,BC=4C,EC=CD,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

在八BCE和中

BC=AC

：(NBCE=ZACD,

CE=CD

:.ABCE沿4ACD(S/S).

(2)解：,：ABCE必ACD,

：.NADC=Z.BEC,

,：ZAOB=ZEBC+ZADC,

NAOB=/EBC+/BEC=NDCE=60°,

AAOB+ZBOD=MO°,

：.ZBOD=120°.

(3)解：不改变，理由如下：

同(1)得:AACD咨ABCE(SAS),

：.ZDAC=ZEBC,

"：ZAOE=ZABO+ZOAB

=ZABO+ZDAC+ZBAC

=ZABO+ZEBC+ZBAC

=ZABC+ZBAC

=120°

ZBOD=ZAOE=120°,

即N30D的度数不改变.

故答案为：不改变.

一、单选题

1.如图，△/2C和△4DE都是等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。,连接CE交4D于点R连接AD

交CE于点G,连接BE.下列结论中，正确的结论有（）

22

@CE=BD；②△/OC是等腰直角三角形；③/ADB=NAEB；@SmBCDE=|BD-CE,@BC+DE=

BE2+CD2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得N2=/C,AD=AE,然后求出/A4D=NC4E,再利用“边角边”证明

和△NCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=8。，判断①正确；根据全等三角形对应角相等

可得N48Z)=//C£,从而求出NBCG+NC8G=/ZCB+//8C=90。，再求出/BGC=90。，从而得到3D_LC£,

根据四边形的面积等于两个三角形的面积之和可判断出④正确；根据勾股定理表示出BE2+CD2t

得到⑤正确；再求出NE〃C。时，ZADC=90°,判断出②错误；N/EC与NA4E不一定相等判断出③错误.

【解析】解：：，△NBC和都是等腰直角三角形，

：.AB=AC,AD=AE,

"：ZBAD=ZBAC+ZC4Z)=90°+ZCAD,ZCAE=ZDAE+ZCAD=9Q°+ZCAD,

：.NBAD=/CAE,

:.4ABD沿AACE(.SAS'),

：.CE=BD,ZABD=ZACE,故①正确；

NBCG+/CBG=NACB+NABC=90°,

在ABCG中，/BGC=180°(/BCG+NCBG)=180°90°=90°,

：.BD±CE,

SamBCDE=S^BCE+S.DCE=gCEBG+；CEDG=yBD-CE,故④正确；

由勾股定理，在用ABCG中，BC^BGP+CG2,

在用△DEG中，DE^DCP+EG2,

BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2,

在RfABGE中，BE^BC^+EG2,

在此△CZ)G中，CD2=CG+DG2,

BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2,

：.BC2+DE~=BE2+CD2,故⑤正确；

从题干信息没有给出ZC=40,所以只有/E〃。口时，ZDAE=ZADC=90°,

无法说明/E〃8，更不能说明CD=/2故②错误；

AABD咨4ACE,：.ZADB=ZAEC,

•••条件不足以证明AC/Eg

•••ZAEC与ZAEB相等无法证明，

:.NADB=NAEB不一定成立,故③错误；

综上所述，正确的结论有①④⑤共3个.

故选：c.

2.如图，正A4BC和正△CDE中，B、C、。共线，且8c=3CD,连接4D和BE相交于点尸，以下结论中

正确的有()个

①//F8=60°②连接尸C,则CF平分N8尸。③BF=3DF④BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据“手拉手”模型证明ABCE之A/C。，从而得到/C8E=/C4D,再结合三角形的外角性质即可

求解/4F3=4CS=60。，即可证明①；作CM_L8£于W点，CNLAD于N点、,证明ACEWGACDN,结

合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示△BCF和AOC尸的面积，然后利用比值即可证明③；

利用“截长补短”的思想，在/。上取点。，使得尸C=P0,首先判断出△尸C。为等边三角形，再结合“手拉

手''模型推出ABC厂0A/C。即可证明④.

【解析】解：①和△(?£>£均为等边三角形，

/.ZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

/.NBCE=ZACD,

在ABCE和△/CD中，

BC=AC

<ZBCE=NACD

EC=DC

：.ABCE均ACD(SAS),

：.ZCBE=ACAD,

*/ZAFB=ZCBE+ZCDA,NACB=ZCDA+ACAD,

:.ZAFB=NACB=60°,故①正确;

②如图所示，作CNL3E于河点，CN1AD于N1,

贝！JACME=ZCND=90P,

,?ABCE知ACD,

：.ZCEM=ZCDN,

在ACEM和△CZW中，

ACME=ZCND

<ZCEM=ZCDN

CE=CD

:.KEM均CDN(AAS),

CM=CN,

:.CF平分/BFD,故②正确；

③如图所示，作">_L8D于尸点，

,/S=-BFCM=-BC-FP,S=-DFCN=-CD-FP,

M22nrF22

c-BF-CM-BC-FP

・、4BCF__2_________2______

**[―1~1'

(\DCF—DF・CN—CD・FP

22

CM=CN,

.••整理得：—,

DFCD

BC=3CD,

.BF3CD0

•.——3,

DFCD

：.BF=3DF,故③正确；

④如图所示，在4。上取点。，使得尸。=/0,

ZAFB=ZACB=60°fCF平分NBFD,

：.ZBFD=120°,ZCFD=-ZBFD=60P,

2

.♦.△夕。0为等边三角形，

：.ZFCQ=6009CF=CQ,

•：ZACB=60°,

工NACB+/ACF=/FCQ+/ACF,

NBCF=AACQ,

在和A/C0中,

BC=AC

<ZBCF=ZACQ

CF=CQ

：.ABCF^AACQ(SAS),

BF=AQ,

■：AQ=AF+FQ,FQ=FC,

：.BF=AF+FC,故④正确；

综上，①②③④均正确；

故选：A.

3.如图，在直线NC的同一侧作两个等边三角形和△8CE,连接NE与CD交于点”，AE与DB交

于点G,BE与CD交于点F,下列结论：①AE=CD；②NAHD=60。；③△。尸2；④BH平分/GBF；

⑤G/〃/C；⑥点H是线段DC的中点.正确的有（）

【答案】C

【分析】连接G凡过点8作8ALL/E于BN1CD于N；结合题意，利用等边三角形、全等三角形的性

质，推导得/E=CD,NAHD=NABG=60。；再根据等边三角形、角平分线的性质分析，即可得到答案.

【解析】连接GR过点5作创（LZE于BN1CD于N

V/\ABD,△5CE都是等边三角形，

ZABD=ZEBC=60°,BA=BE,BE=BC,

：.NABE=ZDBC,

在和△DB。中，

BA=BD

</ABE=/DBC

BE=BC

:•△ABEmdDBC(SAS),

：.AE=CD,故①正确；

4ABE咨LDBC,

：.ZBAE=ZBDC,

NAGB=NDGH,

:・/AHD=NABG=60。,故②正确；

在和△。必中，

'ZBAG=ZBDF

<AB=DB

/ABG=/DBF=6U

：・4AGBW4DFBCASA),故③正确；

△AGBQADFB,

：.BG=BF,

u：ZGBF=60°,

：./是等边三角形，

・•・ZFGB=ZABD=60°,

.,.FG//AC,故⑤正确；

:AABE出ADBC,BMA,AE,BNLCD,

：.BM=BN,

：.BH平分N4HC,但不一定平分NGAF,故④错误；

根据题意，无法判断£>〃=C〃，故⑥错误.

故选：C.

4.如图，点C是线段AE上一动点(不与A,E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形

CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论：①AD=BE；

②PQ〃AE；③AP=BQ；@DE=DP；⑤NAOB=60。.其中一定成立的结论有()个

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由于^ABC和aCDE是等边三角形，可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,从而证出

△ACD^ABCE,可推知AD=BE；

③由4ACD名ZXBCE得NCBE=/DAC,加之NACB=NDCE=60。，AC=BC,得到△ACPgaBCQ(ASA),

所以AP=BQ；故③正确；

②根据②△CQBgACPA(ASA),再根据/PCQ=60。推出aPCQ为等边三角形，又由/PQC=NDCE,根

据内错角相等，两直线平行，可知②正确；

④根据/DQE=/ECQ+/CEQ=6(T+/CEQ,ZCDE=60°,可知NDQE力NCDE,可知④错误；

⑤利用等边三角形的性质，BC〃DE,再根据平行线的性质得到NCBE=NDE0,于是

ZA0B=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDE0=ZDEC=60°,可知⑤正确.

【解析】①：等边4ABC和等边ADCE,

；.BC=AC,DE=DC=CE,ZDEC=ZBCA=ZDCE=60°,

ZACD=ZBCE,

在AACD和ABCE中,

AC=BC,NACD=NBCE,DC=CE,

・•・AACD^ABCE(SAS),

・・・AD=BE；

故①正确；

③AACD义ABCE(已证)，

AZCAD=ZCBE,

NACB=NECD=60。(已证)，

.,.ZBCQ=180°60°x2=60°,

・・・NACB=NBCQ=60。，

在AACP与ABCQ中，

NCAD=NCBE,AC=BC,NACB=NBCQ=60。，

・•・△ACPABCQ(ASA),

・・・AP=BQ；

故③正确；

©VAACP^ABCQ,

・・・PC=QC,

AAPCQ是等边三角形，

・・・NCPQ=60。,

・・・NACB=NCPQ,

・・・PQ〃AE；

故②正确；

④・・，AD=BE,AP=BQ,

二•AD—AP=BE—BQ,

即DP=QE,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,NCDE=60。,

・•・ZDQE#ZCDE,

・・・DE，QE,

则DPWDE,故④错误；

⑤・・•ZACB=ZDCE=60°,

，NBCD=60。，

:等边△口©£,

ZEDC=60°=ZBCD,

，BC〃DE,

.,.ZCBE=ZDEO,

.".ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°.

故⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，

故选D.

5.如图，在AABC中，48=NC,点。、尸是射线BC上两点，且ND_LN尸，若ZE=/。，ABAD=ZCAF=15°；

则下列结论中正确的有（）

①CELBF；②AABDZAACE；③=$四边形仞CE;@BC-^EF=2AD-CF

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】由ADJ_AF,ZBAD=ZCAF,得出/BAC=90。，由等腰直角三角形的性质得出/B=/ACB=45。，

由SAS证得4ABD且ZiACE(SAS),得出BD=CE,ZB=ZACE=45°,SAABC=SBSBADCE,则/ECB=90°,

即EC_LBF,易证NADF=60。，ZF=30°,由含30。直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,贝＞]BD=：EF,

由BCBD=DFCF,得出BC(EF=2ADCF,即可得出结果.

【解析】VAD±AF,ZBAD=ZCAF,

ZBAC=90°,

VAB=AC,

；.NB=/ACB=45°,

在AABD和AACE中,

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

.'.△ABD^AACE(SAS),

・・・BD=CE,ZB=ZACE=45°,SZIABC=S四边形ADCE,

ZECB=90°,

AEC±BF,

VZB=45°,ZBAD=15°,

JZADF=60°,

・・・NF=30。，

AEF=2CE=2BD,DF=2AD,

.•.BD=yEF,

VBCBD=DFCF,

.•.BCyEF=2ADCF,

.•・①、②、③、④正确.

故选：D.

6.如图，在△0/8和△。。中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB=ZCOD=40°,连接NC,BD交于

点M,连接0M,下列结论：

①AAOC咨ABOD；②AC=BD；③/NAffi=40°；④MO平分/BMC.

其中正确的个数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】由题意易得NA0C=/B0D,然后根据三角形全等的性质及角平分线的判定定理可进行求解.

【解析】解：：/AOB=NCOD=40。，NA0D是公共角，

ZC0D+ZA0D=ZBOA+ZAOD,即ZAOC=ZBOD,

VOA=OB,OC=OD,

.".△AOC^ABOD(SAS),

；.AC=BD,ZOAC=ZOBD,ZODB=ZOCA,故①②正确;

过点。作OELAC于点E,OFLBD于点F,BD与OA相交于点H,如图所示:

VZAHM=ZOHB,ZAMB=180°ZAHMZOAC,ZBOA=180°ZOHBZOBD,

ZAMB=ZBOA=40°,

ZOEC=ZOFD=90°,

VOC=OD,ZOCA=ZODB,

.,.△OEC^AOFD(AAS),

；.OE=OF,

.♦.OM平分/BMC,故③④正确；

所以正确的个数有4个；

故选A.

二、填空题

7.如图，在正方形48。中，£是对角线AD上一点将线段CE绕点。按顺时针方向旋转90。

得到线段CE',连接/E,DE',EE'.下列结论：①若/胡£=20。，则乙DEE=70。；®BE2+DE2=2AE2;

9

③若NBNE=30。，则DE=6BE;④若3C=9五，EC=IO,贝|sin/DEC=历.其中正确的结论有

（填正确的序号）

【答案】①②④

【分析】证明△8CE=△E'CD,可得NE=CE,BE=DE'ZCDE'=ZEBC=45°,根据三角形内角和定

理可判断①正确；在必△E'CE中，E'E2=CE'2+CE2=2CE2,BE2+DE2=2AE2，从而判断②正确；③

证明DE=^DE'=^BE,故可判断③错误；连接/C与3。交于点。，计算可得C0=9,根据正弦定理可判

断④正确.

【解析】解：：四边形/BCD是正方形，

：.BC=CD,NBCD=90。,

线段CE绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CE',

CE=CE',ZECE'=90°,

△ECE'是等腰直角三角形，

二ZEE'C=ZE'EC=45°,

ZBCD-ZECD=ZECE'-Z.ECD,

即ZBCE=ZE'CD,

在△8CE和△E'CD中，

BC=CD

<ZBCE=ZE'CD

CE=CE'

:.△BCE/XDCE，(&4S),

二ZCDE'=ZEBC=45°,BE=E'D,

ZEDE'=45°+45°=90°,

即是直角三角形，

:四边形/BCD是正方形，E在对角线3。上，

/BCE=NBAE,

/.ZDEC=ZDEE'+ZE'EC=ZEBC+Z.BCE,ZE'EC=ZEBC=45°,

/DEE'=/BCE=ZBAE,

,/ZBAE=20°,

AZDE'E=90°~ZDEE'=70°,故①正确；

在必中，E'E2=CE'2+CE2=ICE2,

在RtXE，DE中,E'E2=DE'2+DE2=BE1+DE1，

BE2+DE2=2AE~，故②正确；

若ZBAE=30°,则ZDEE'=ZBCE=ZBAE=30°,

在在■中，DE=y/3DE,,

"?BE=DE',

DE=拒BE,故③错误；

连接NC与交于点。，如图，

•.•四边形是正方形,

.,.ZEOC=90°,且ABOC是等腰直角三角形,

BC=972

后万

••CO—BCx=9V2x=9,

22

"C=10,

CO9

/.sinXDEC==,故④正确・

BC10

故答案为：①②④.

8.如图，。是正内一点，OZ=3,OB=4,OC=5,将线段3。以点3为旋转中心逆时针旋转60。得到

线段80,下列结论：①点。与。'的距离为4；②//。8=150。；③S"C-S”℃=3Q+6；

④$.℃+%/豳=6+些其中正确的结论是.（只填序号）

/\4℃/\A\JD------------------------------------------------

【答案】①②④

【分析】由题意可得△BOC之△A4。，，△BOO,是等边三角形，可得/。，=。。=5,00'=4,可判断是

直角三角形.可判断①②③，由S幽兹的4。20=54/0。，+5/k。。，3=5/2。。+&/0。，可判定③④.

【解析】解；连接。。'，如图1,

O'，

斤------------------V

图1

•••BO=BO',NO"'=60。，

A8。。'是等边三角形，

OO'=BO=4,故①正确；

ZOBO'=ZABC=60°,

:ZBO,=ZABC且OB=OB'，AB=AC,

\ABO'=\BOC(SAS),

AO'=CO=5,

•••O'A2=25,AO2+O'O2=25,

O'A2=AO2+O'O2,

:.ZAOO'=90°,

:.ZAOB^150°,故②正确；

是等边三角形，AO=3,OO'=4,

二%。。，=46,SMoo.=6,

SJBC-S-OC6AABC拈"B。寸四边形HOBOk6+4式，故③错误;

如图2,M0C绕A点顺时针旋转60。到AA8。位置，

同理可得5根℃=6+—＞故④正确；

故答案为：①②④.

9-在“BC中，ZACB=90°,48=60。，4B=4,点D是直线BC上一动点,连接/。，在直线力。的右

恻作等边A/DE,连接CE,当线段CE的长度最小时，则线段C。的长度为

£

floc

【答案】3

【分析】以AC为边向左作等边三角形ACF,连接DF,先根据直角三角形中30。所对的直角边是斜边的一

半求出BC的长，再由勾股定理求出AC的长，根据作的辅助线证明泌/阳(&4S),则C£=DF,当

。尸，3C时，DF的长是最小的，即CE的长最小，求出此时CD'的长即可.

【解析】解：如图，以AC为边向左作等边三角形ACF,连接DF,

VZACB=90°,=60°,

ABAC=30°,

4B=4,

：.BC=-AB=2,

2

•*-AC=>]AB2-BC2=273-

：ANC厂是等边三角形，

:.CF=AC=AF=25ZFAC=60°,

,**AADE是等边三角形，

；・AD=AE,ZDAE=60°f

•.*/FAC-ADAC=/DAE-ADAC,

：.ZCAE=/FAD,

在△4CE和V4F。中,

AC=AF

</CAE=NFAD,

AE=AD

：.^ACE=^AFD（SAS）f

：.CE=DF,

当。尸，时，DF的长是最小的，即CE的长最小，

*.•AFCD'=90°-60°=30°,Rt^CFDf,

22

D'F=|cF=V3,CD'=^CF-D'F=3，

.♦•当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为3.

故答案是：3.

10.如图，在中，ZABC=45°,AB=3,/D_LBC于点。，BE上4c于点,F.AE=1,连接。E,将

沿直线ZE翻折至所在的平面，得A4E厂，连接。尸.过点。作DG_LDE交BE于点G,则四

边形DFEG的周长为.

【答案】372+2

【分析】先证A5OG三AOE,得出/E=3G=1,再证ADGE与A5Z汨是等腰直角三角形，在直角A4EB中

利用勾股定理求出的长，进一步求出GK的长，可通过解直角三角形分别求出GO,DE,EF,。尸的长,

即可求出四边形。巫G的周长.

【解析】VZABC=45°,4DLBC于点、D,

ABAD=90°-NABC=45°,

\ABD是等腰直角三角形，

AD=BD,

'：BELAC,

.*•ZGBD+ZC=90°,

ZEAD+ZC=90°,

：.ZGBD=ZEAD,

ZADB=ZEDG=90°,

Z.ZADB-ZADG=ZEDG-ZADG,

即ZBDG=/ADE,

：.NBDG=AADE(ASA),

：.BG=AE=1,DG=DE,

ZEDG=90°,

\EDG为等腰直角三角形，

/.AAED=AAEB+NDEG=90°+45°=135°，

AAED沿直线AE翻折得AAE厂，

\AED=M.EF,

NAED=NAEF=135°,ED=EF,

NDEF=360°-ZAED-ZAEF=90°,

为等腰直角三角形，

EF=DE=DG,

在RtzUEB中，

BE=y/AB2-AE2=V32-I2=272，

GE=BE-BG=2也-1，

在RtADGE中，

y/26

DG=—GE=2~—,

22

.V2

；.EF=DE=2--,

2

在RtAAE尸中，

DF=41DE=2^-1，

四边形DFEG的周长为：

GD+EF+GE+DF

=22--+2(26-1)

I2J

=3拒+2,

故答案为：3A/2+2.

11.如图和是A4BC外两个等腰直角三角形，ZBAD=ZCAE=90,下列说法正确的是:

®CD=BE,且DC_LB£；

②DE2+BC2=2BD2+EC2;

③FA平分/DFE；

④取5c的中点连则K4_LZ)E.

【答案】①③④

【分析】①由△48。与A/CE是等腰直角三角形，AD=AB,AC=AE,/D48=/胡C可证

△ADC出△4BE(SAS),CD=BE,NAEB=NACD且NARE=NFRC,ZEAR=90°

ZAER+ZARE=ZFCR+ZFRC,即可退出；

②由DC_LBE,由勾股定理。尸+£尸2=。石2,BF2+CF2=BC2,

DE2+BC2=(£>F2+BF2)+[CF2+EF2)=BD2+EC2,即可；

③过点A作NS_LDC,/G_LBE,可证AADS^AABG(AAS),由性质得AS=AG,结合ASLDC,AG±BE,

即可；

④取8c中点Af,使得NAf=ACV,易证A8A/7VgACA<£4(SAS),推出8N=ZC,再证AZX4E0A48N(SAS),

推出=,由/ZX4〃+/5/N=90。，推出=90。即可.

【解析】•.•A/BD与A/CE是等腰直角三角形，

AD=AB,AC=AE,NDAB=NEAC,

ADAC=ZEAB,在^ADC与AABE中，

AD=AB

-ADAC=ZEAB,:.^ADC^ABEKAS),

AC=AE

CD=BE,

设BE交ZC于点R,

DE

A

B

由①可知乙4EB=NACD且ZARE=ZFRC,

NAER+ZARE=ZFCR+ZFRC,

NEFC=ZEAR=90°,即。C_LBE,

故①符合题意.

②DCLBE,

DF2+EF2=DE2，BF2+CF2=BC2，

DF2+EF2+BF2+CF2=DE1+BC2，

^.DF2+BF2=BD2，CF2+EF2=CE2,

:.DE2+BC2=BD2+CE2.

故②不符合题意.

③证明，过点A作/S_LZ)C,AGYBE,

由①可知=S.AD=AB,ZASD=ZAGB,

：.在△4DS与AABG中,

AADS=ZABG

-ZASD=ZAGB,:.AADS^ABG(AAS),

AD=AB

AS=AG,且NS_LZ)C,AG±BE,

:.FA平分NDFE,故③符合题意.

④作5c中点M,倍长使得

BM=MC

：.在ABMN与ACMA中，\ZBMN=ZCMA,

MN=AM

：ABMN沿4cMAeAS),则BN=/C,

AC=AE,BN=AE,

■：ZBAC+ZDAE=180°,ZBAC+ZABN=180°,

ZDAE=ZABN,.,.在与中，

4D=AB

<NDAE=ZABN,:.ADAE公AABNeAS),

AE=BN

ZBAN=ZADH,

NDAH+ZBAN=90°,ZDAH+ZADH=90°,

/AHD=90°,即NM_LDE,

故④符合题意.

故答案为：①③④.

12.(1)如图(1),在四边形/3CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是8C,CD上的动点，且

NEAF=；NBAD,求证：EF=BE+DF.

(2)如图(2),在(1)的条件下，当点E,尸分别运动到8C的延长线上时，跖尸之间的数量

关系是.

图⑴图(2)

【答案】(1)详见解析；(2)EF=BE-DF

【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接NG,先证明A4BE2A^DG(SNS),得到

AE=AG,ZBAE=ZDAG,然后证明AAEF0A4G尸，得至"EF=FG,根据尸G=DG+D尸=，可

得EF=BE+DF；

(2)在BC上截取BG=。b，连接/G,先证明4ABG之z\ADF(SAS),得至ljAG=AF,ZBAG=ZDAF,

再证明△EAG04EAF(SAS),得至[]EG=EF,根据BG=DF,即可得EF=BEBG=BEDF.

【解析】(1)如图，延长ED到点G,^DG=BE,连接NG.

•1-4B+ZADF=ZADG+ZADF=180°，

ZB=ZADG,

又；AB=AD,BE=DG,

；.AABE出MDG(SAS),

AE=AG,ZBAE=ZDAG,

■：ZEAF=-ZBAD,ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+NDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF.

2

VAE=AG,ZEAF=ZGAF,AF=AF,

NAEF也\AGF,

EF=FG.

■：FG=DG+DF=BE+DF,

EF=BE+DF

(2)EF=BE-DF.

如图，在BC上截取3G=。尸，连接/G,

F

图(2)

•・•/B+ZADC=ZADC+ZADF=180°,

ZB=ZADF，

AB=AD

在4ABG和AADF中,N5=ZADF,

BG=DF

.,.△ABG^AADF(SAS),

AAG=AF,ZBAG=ZDAF,

ZBAD=2ZEAF,

/.ZBAG+ZGAE+ZEAD=ZEAD+ZDAF+ZEAD+ZDAF,

・・・ZGAE=ZEAF,

AG=AF

在4EAG和AEAF中</EAG=ZEAF,

AE=AE

AAEAG^AEAF(SAS),

・・・EG=EF,

VBG=DF,

・・・EF=BEBG=BEDF.

三、解答题

13.如图，若△极)和都是等边三角形，求N50。的度数.

R

【答案】120。.

【分析】利用等边三角形的性质可得40=48,AC=AE,NDAB=NC4E=60。,利用SAS即可证明

△DAC/4BAE,从而得出/ABE=NADC,设AB与CD交于点F,根据三角形内角和定理和等量代换即

可求出/B0F,利用平角的定义即可求出结论.

【解析】证明：△NEC都是等边三角形，

：.AD=AB,AC=AE,^DAB=^CAE=60°,

VZDAC=ZBAC+60°,/BAE=NBAC+6Q。,

：.ZDAC=NBAE,

在4c和△A4E中，

AD=AB

<NDAC=NBAE,

AC=AE

:.ADAC咨ABAE(SAS),

；.NABE=NADC

设AB与CD交于点F,

ZBFO=ZDFA

ZBOF=180°-ZABE-ZBFO=180°-ZADC-ZDFA=ZDAB=60°

ZBOC=180°-ZBOF=120°.

14.如图，△4CB和AECD都是等腰直角三角形，C4=CdCD=CE,4/C8的顶点/在AECD的斜边DE上,

连接30.

CB

(1)求证：BD=AE.

(2)若NE=3cm,4D=6cm,求/C的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)AC=^-cm.

2

【分析】(1)根据同角的余角相等得出/BCD=/ACE,然后根据SAS定理证明△BCDgZ\ACE,从而得

出结论；

(2)根据全等三角形的性质得出NBDC=/AEC,然后结合等腰直角三角形的性质求得NBDA是直角三角

形，从而利用勾股定理求解.

【解析】(1)和A£CD都是等腰直角三角形，

ZACB=ZECD=90。,

：.ZACD+ZBCD=9(f,ZACD+ZACE=9(F,

・•・/BCD=AACE,

在ABCD和△4C5中，

CB=CA

<ZBCD=ZACE

CD=CE

：.VBCD^ACE(SAS),

:・BD=AE.

(2)V^BCD^ACE,

・•・/BDC=ZAEC,

又•・・△£(»是等腰直角三角形，

J/CDE=/CED=45。,

：.ZBDC=45°,

：.NBDC+NCDE=9。。,

・・・是直角三角形，

・•・AB2=BD2+AD2=AE2+AD2=32+62=45.

在等腰直角三角形4c5中，

AB2=AC2+BC2=2AC2,

15.如图，ZkACB和ADCE均为等腰三角形，NACB=NDCE=90。，点A,D,E在同一条直线上，连接

BE.

(1)求证：AD=BE；

(2)若/CAE=15。，AD=4,求AB的长.

【答案】（1）见解析；（2）8

【分析】（1）直接证明V/C。也V8CE,即可得出结论；

（2）由（1）可进一步推出为直角三角形，且NE48=30。，从而由43=25E求解即可.

【解析】（1）,•・△ACB和4DCE均为等腰三角形，ZACB=ZDCE=90°,

ZADC=ZBCE,

在与ABCE中，

AC=BC

"NACD=NBCE

DC=EC

:.^ACD^BCE(SAS),

AD=BE；

(2)•.•△NBC是等腰直角三角形，

N4BC=45°,

由(1)可知，NCAE=NCBE=15。,BE=AD=4,

ZABE=ZABC+ZCBE=45°+15°=60c,

NABE=NACB=90P,

则在MAN班中，ZEAB=30°,

AB=2BE=8.

16.如图，在AABC中，AB=BC,/ABC=120。，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向

旋转120。能与BE重合，点F是ED与AB的交点.

(1)求证：AE=CD；

(2)若/DBC=45。，求/BFE的度数.

【答案】(1)证明见解析；(2)ZBFE=105°.

【分析】(1)根据旋转的性质证明4ABE/ACBD(SAS),进而得证；

(2)由(1)得出NDBC=NABE=45。，BD=BE,ZEBD=120°,最后根据三角形内角和定理进行求解即可.

【解析】(1)证明：：线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120。能与BE重合，

；.BD=BE,ZEBD=120°,

VAB=BC,ZABC=120°,

/ABD+/DBC=/ABD+NABE=120°,

AZDBC=ZABE,

.".△ABE^ACBD(SAS),

；.AE=CD；

(2)解：由(1)知NDBC=/ABE=45°,BD=BE,/EBD=120。，

.\ZBED=ZBDE=y(180°-120°)=30°,

AZBFE=180°-ZBED-ZABE

=180°-30°-45°=105°.

17.A/3C和A/DE如图所示，其中N4BC=NACB,NADE=NAED,NBAC=NDAE.

图①图②

(1)如图①，连接3£、CD,求证：BE=CD；

(2)如图②，连接BE、CD、BD,若NBAC=NDAE=60°,CDLAE,AD=3,CD=5,求的长.

V34

【答案】(1)见解析；(2)

【分析】(1)只需证A4BE之A4C。，即可得到结论；

(2)先证明初£。是直角三角形，再用勾股定理求助.

【解析】(1)证明：・・•/ZBC=/ZC5,NADE=NAED,

:.AB=AC,AE=AD,

•IZBAC=ZDAE,

ZBAE=ZCAD,

/.\ABE^\ACD(SAS),

BE=CD.

(2)解：ZADE=ZAED,

AE=AD,

•：ZDAE=60°,

\DAE是等边三角形，

AD=ED=3,AAED=AADE=60°,

•・•CD工AE,

ZADC=-x60°=30°,

2

由(1)知：NABE^^ACD,

:.BE=CD=5,NAEB=NADC=30°,

ABED=90°,

BD=4BE2+ED2=V34.

18.问题：如图1,在等边三角形N8C内，点尸到顶点N、8、C的距离分别是3,4,5,求//%的度数？

探究：由于以、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△/AP绕点/逆时针旋转60。

到△4CP处，连结尸P,这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出N/P3的度

数.请你写出解答过程：

应用：请你利用上面的方法解答：如图2,△48C中，ZCAB=90°,AB=AC,£、/为8c上的点，且NE4尸=45°,

求证：BE2+FC2=EF2

图1图2

【答案】探究：ZAPB=15O°,应用：见解析

【分析】探究：运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角相等，对应边相等，得出NB4P=60。，

再利用等边三