重庆市某中学2024-2025学年高二年级上册10月月考数学试题（含答案）

重庆市育才中学校高2026届高二（上）十月月考

数学试题

（满分：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；

3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答

题无效；

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.经过两点2（2,7）,6（4,6）的直线的斜率为（）

1C1

A.B.—2C.—D.2

22

22

2.经过椭圆会+a=1的右焦点心的直线/交椭圆于B两点,片是椭圆的左焦点，则△4月3的周

长是（）

A.8B.9C.10D.20

3.圆G:x2+v2=4与圆&：必+/+6x+8y—24=0的位置关系为（）

A.相交B.内切C.外切D.外离

4.下列可使G,b,己构成空间的一个基底的条件是（）

A.5=mb+ncB.a,b,己两两垂直

C.|5|=||=|c\=1D.a+b+c=6

5.已知圆锥的母线长为4,底面的半径CM=2,用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥底面的半

径=1,则截得圆台的体积为（）

26nr-7A/314

A.------7iB.2J3乃C.-------乃D.—TT

333

6.在四棱锥尸-4SCD中，底面4BCD是正方形，侧面尸DC是正三角形，且平面尸。底面

ABCD,E为线段PC的中点.记异面直线PZ与所成角为。，则cos。的值为（）

C.逅

7.如图，已知正方体N5CD—4与。］。的棱长为2,M、N分别为线段441、8C的中点，若点尸为正

方体表面上一动点，且满足A/0，平面MDC、则点尸的轨迹长度为()

A.2V2B.V5C,V2D.2

8.已知三棱锥尸―4SC中，△48C是边长为2的正三角形、PB1AB,PCVAC,若三棱锥

P-ABC的外接球体积为乂3271，则直线PA与平面ABC所成角的余弦值为()

3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.关于曲线E:机V+盯2=1,下列说法正确的是()

A.若曲线£表示两条直线，则加=0,〃>0或〃=0,m>0

B.若曲线£表示圆，则加=〃>0

C.若曲线£表示焦点在y轴上的椭圆，则加>〃>0

D.若曲线£表示椭圆，则加W”

10.已知直线4:y-2=加(％+1)(加eR),直线4：x-2y+X=0(2eR),则下列说法正确的为

A.若k±/2,则m=—2

B.若两条平行直线4与，2间的距离为2石，则2=-5

C.直线4过定点(-1,2)

D.点尸(2,6)到直线/,距离的最大值为2而

11.如图，在直棱柱ABCD-中，底面ABCD为菱形，且45=441=2,ABAD=60°,M

为线段QG的中点，N为线段的中点，点尸满足8尸=48。+〃84(04/141,0<〃<1)则下列

说法正确的是()

A.若〃=1时，三棱锥尸-Z)BC的体积为定值

B.若/=!时，有且仅有一个点尸，使得PD工PB]

21

C.若2+〃=g,则|尸N|+|PC|的最小值为3

19A/5+7V13

D.若2=0,//=-,则平面Q7W截该直棱柱所得截面周长为XD川

26

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(右,追)，则它的标准方程是.

13.若入b,己为空间中两两夹角都是60。的单位向量，贝/21+3-33卜.

14.已知ZC,5。为圆。：/+/=8的两条相互垂直的弦，垂足为尸(2,6),圆心。到ZC,的

距离分别为4，d2,则42+42=,四边形48CD的面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知直线/经过点/(—5,1),点8(3,7).

(1)求直线/的方程；

(2)若圆。经过点〃(1,0),点N(3,2),且圆心在直线/上，求圆C的方程.

16.如图，在三棱柱Z8C—44cl中，AC=6,BC=8,AB=10,AA1=8,点。是48的中点,

CG，平面N8C.

(1)求证：NG〃平面CDS]；

(2)求与平面CD4所成角的正弦值.

17.如图，在三棱锥尸—N8C中，BC=BA=PC=PA=PB=41,且NCA4=NCR4=90°.

(1)证明：平面PZC1.平面N8C；

(2)若棱PZ上存在不同于尸，2的动点满足病=彳刀，使二面角尸-8C-M的余弦值为

7

求4的值.

9

18.已知动点M与两个定点(9(0,0),2(-3,0)的距离的比为j.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)过点5(0,-2)且斜率为左的直线/与动点/的轨迹交于尸，。两点，若丽•丽=-3,求|尸。|的

值.

19.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，

定义如下：在平面直角坐标中的任意两点四(M,必)，N(X2,必)的曼哈顿距离为

d(M,N)=|xi-,|+|%-％|•已知在四边形ZB。。中，4E=2EC=4,ZACB=90°,

AD=DC=匹,且BE平分N4BC,若将△48C沿线段ZC向上折叠，使二面角8—NC—。为直

二面角，如图所示，折叠后点8在新图形中对应点记为9.

(折叠前)(折叠后)

(1)计算ND8上的大小；

(2)若AZCQ所在平面为a,设尸ea,且NPB'E=NDB，E,记点尸的轨迹为曲线

(i)判断「是什么曲线，并求出对应的方程；

(ii)设/为平面a上过点8且与直线48垂直的直线，已知N在直线/上，/在「上，求d(〃,N)的最

小值.

重庆市育才中学校高2026届高二（上）十月月考

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.

1-4：ADBB5-8：CCBD

8【解析】：如图所示，取R4中点为O,由于尸PC1AC,则08=。。=。尸=CM,

故。是三棱锥的外接球的球心，易知R4=4,PB=PC=26

过点尸作尸〃，平面Z8C,连接/〃，易知/〃过中点"，连接

因为ZW=G，PM=V1T,PA=4,则直线尸/与平面Z8C所成角NP/W,

由余弦定理可得cosZPAM=不+（回-"）2=也，故选口.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.ABCD10.AC11.ACD

UUUIUUU

11【解析】：对于选项A：当〃=1时，BXP=ABC,故点尸在gG上运动，而51G平行于平面

DBC,

所以三棱锥P-DBC的体积为定值.故A正确.

对于选项B：当4=工时，取8C中点记为£连接EN,易得点尸在EN上运动，当尸与点E,N,重

2

合时，由勾股定理可得户团2+|尸。/=口叫2,所以尸口,尸耳，故B错误.

对于选项C：当4+〃时，取中点记为E,取中点记为少连接E尸，则点尸在线段E厂上运

动,易得点。关于直线E5的对称点为C',连接NC',此时点N、E、C'三点共线，故点尸与点E重

合时取得最小值为3,故C正确.

对于选项D：当2=0,〃时，尸为AS】的中点，过点尸作DM的平行线交48于点E,过点加作

9M+7岳

DE的平行线交用。于点尸，即可得到截面"DEP7"易得周长为故D正确.

6

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

22

12.—+^-=113.V714,7；9

106

14【解析】：易知OP是以4，4为邻边的矩形的对角线，所以42+42=。尸2=7；

2

4c=2《8-d；,BD=2《8-d；,SABCD=^ACxBD=<(8-)+(8-1/2)=9

当且仅当4=4时取得等号.

四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15.(1)过点4(-5,1),点8(3,7)的直线的两点式方程为：

j-1_x+5

3+5

整理得：3x—4y+19=0

直线/的方程为3x—4y+19=0.

(2)设线段MN的中点为尸,则由〃(1,0),N(3,2)有尸(2,1),

且直线的斜率为勺介

因此线段"N的垂直平分线/'的方程为：j-l=-(x-2),即x+y—3=0,

由垂径定理可知，圆心。也在线段VN的垂直平分线上,

x+y-3=0x=-1

则有《.•.圆C的坐标是(-1,4)；

3x—4y+19=0“=4

圆的半径r=|MC|=正IT)?+(4-0)2=2V5,

.•.圆C的标准方程是(x+1)2+3—4)2=20.

16.(1)连接8G，设5GlB©=O,连接8,由三棱柱的性质可知,

侧面8CG与为平行四边形，.-.o为8G的中点，

又Q。为48中点，二在中，ODHAG，

又QODu平面CDS],NG仁平面CDS],

/q〃平面。郎.

(2)由题意可知C4,CB,CG两两垂直故以C4,CB,CQ所在直线为无轴、y轴、z轴建立如图

所示的空间直角坐标系.

y

则C(0,0,0),46,0,0),4(6,0,8)，£>(3,4,0),4(0,8,8).

UUUUUUUUI

所以441=(0,0,8),CD=(3,4,0),CBX=(0,8,8),

设平面CDS1的法向量为)=(x,y,z),

rUUU|-

CD-w=3x+4y=0

则｛uum「令x=4,得)=(4,-3,3)；

CBX-n=8v+8z=0

|3x8|3734

设AA与平面CDB]所成角为。，则sin0cosn

X8.V16+9+934

所以，4与平面CDB1所成角的正弦值为笔4.

17.(1)由BC=BA=6,ZCBA=90°,所以NC=2.

取NC的中点0,连接尸O,BO,

由题意，得尸。=8。=!幺。=1,再由尸8=可得尸。2+8。2=尸台2,即尸

2

由题易知尸0LZC,又ZCIBO=O,BO,NCu面N8C,所以POL平面NBC,

又尸。＜z平面尸ZC,所以平面尸ZCL平面45c.

(2)由(1)可知尸0,08,POLOC,又OB-

故以OC,OB,所在直线为无轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则C(l,0,0),5(0,1,0),4(-1,0,0),尸(0,0,1).

LUIUUUUUU

所以幺尸=(1,0,1),5C=(l,-l,0),PC=(1,O,-1),

UULIULU

令2/=/UP=(%0,4),(0</<1)所以河(几—1,0,/1).

UUU

所以MC=(2—%0,-X).

设平面MBC的法向量为』=(X],%,zJ,

「uuur

BC-m=x-y=0r(2—»

则uuir「y}令玉=1,得加=1,1,一；

AfC-ffl=(2-2)x1-2z1=0I)

设平面PBC的法向量为1=(%,%,Z2)，

「uuur

BC-n=x.-y.=0।

<uun]，令"2=1，得〃=(1/,1)；

PC-n=x2-z2=0

则Icos〈凡加〉|=

2-2

设”——,，£(l,+s),则上式可化为5书—5=0,

2

12—J1

即(7—5)(1"+1)=0,所以f=5(/=—五舍去)，所以吃一=5,解得4=§.

18.解：(1)设动点"坐标为(x,y),由

即卜+产=।J(x+3)2+y2,

整理得(x_l)2+y2=4.

(2)设直线/的方程为y=Ax—2,P,0两点的坐标分别为(石,必)，(x2,j2)

(x—1)+J=4,整理得0+左2)——(4左+2)x+l=0(*).

联立《

y—kx—2

4左+21

因为(*)式的两根为占，X2,所以再+%2=T7F，/

△=(4左+2)2—4(/左2+1\)>0,即左<一§4或左>o

uuuuuu

xx

则OP0。=xxx2+必％=\2+(丘i—2)(%—2)=(1+左2)/%2—2左(X]+/)+4=—3,

4左+21

将石+%=WV2=T7P代入上式，化简解得左=2.

而k=2满足A>0,故直线/的方程为歹=2(x—l).

因为圆心M(1,O)在直线/上，所以|尸。|=4,

19.解:⑴在△£〃£)中，易得忸闺=4,因必=36，|Z)E|=J7,

愀小忸讨一|32

由余弦定理可得cosNDQE=—,从而/。8'£=四

2\B'E\\B'D\26

提示：可建立空间坐标系利用向量求夹角的余弦值为从而得出ND8'£=P.

26

(2)(i)曲线「是椭圆.

因为二面角8—为直二面角，且NZC8=90°,所以B'CLa,如图1,不妨取NC的中点为

0,以8为x轴，OC为歹轴，过点。作玄。的平行线为z轴建立空间直角坐标系.

则点8(0,3,2月),£(0,1,0),

LVU广ULM厂

设尸(x),0),8'£=(0,-2,-2月)，8'尸=(xj—3,-2月)，

兀

由(1)可知NPB'E=NDB'E=—,