福建省福州市2024-2025学年高三年级上册第一次质量检测数学试题（含答案解析）

福建省福州市2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学

试题

学校：..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知集合/=｛乂-4x-5<6\,B={x|0<x<4，贝！J/riB=()

A.{x|-5<x<6}B.|x|-l<x<61

C.{x|0<x<D.1x|0<x<5}

2.已知复数Z=丁则⑸=()

9

B.-C.V5D.5

5

3.以坐标原点为顶点，工轴非负半轴为始边的角其终边落在直线V=2x上，则()

A.su一拽V5

B.COS6Z=——

55

・C4

C.tana=2D.sin2a=——

5

4.以y=±3x为渐近线的双曲线可以是()

2

A.-x----V2=1[B.=1

39

22X2

匕3=1

C.D.y―--=1

39

5.如图，梯形的腰CO的中点为E,且3C=34D,记次=加诙=五，贝！1屁=()

—*1一1—3一

-m+2nC.-2m+—nD.——m+—n

2222

6.已知圆+4加、一2加y+加=0侬£R)与x轴相切，贝［|加二()

A.1B.0或；C.0或1D.

4

7.已知圆锥SO的底面半径为1,过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥SO截成上、下两

试卷第1页，共4页

部分，若截得小圆锥的体积为立兀，则圆锥SO的侧面积为（）

24

A.4JiB.2兀C.收兀D.兀

8.大气压强夕（单位：kPa）与海拔"（单位：m）之间的关系可以由2=p°e一劫近似描述,

其中Po为标准大气压强，k为常数.已知海拔为5000m,8000m两地的大气压强分别为

54kPa,36kp.若测得某地的大气压强为80kPa,则该地的海拔约为（）（参考数据：

lg2«0.301,lg3«0.477）

A.295mB.995mC.2085mD.3025m

二、多选题

9

9.已知（l-2x）9=%+%工+〃2工2H—+a9x,贝！］（）

A.“0=1

B.Q］=18

C.%+2+•，，+=—1

c1+39

L）.。］+%+%+。7+。9=---------------

10.如图是函数［（x）=sin（0x+e）的部分图象，则（）

D./（X）在［0,3兀］上恰有6个零点

11.已知函数/（同名卜）均为定义在R上的非常值函数，且g（M为/'（x）的导函数.对

Vx,yeRJ（x+y）+/（x_y）=2/（x）/（y）且/⑴=0,则（）

试卷第2页，共4页

A./(O)=OB.f(x)为偶函数

C.g(x)+g(2024-x)=0D.[/«+[/(l-x)]2=l

三、填空题

12.己知正三棱柱的底面边长为2,高为百，则其体积为.

13.已知抛物线C:「=4x的焦点为尸，点W在。上，且点M到直线x=-2的距离为6,

则町=.

14.已知等差数列｛4｝的前"项和为&=-600,当且仅当〃=30时S0取得最小值，则｛。"｝

的公差的取值范围为.

四、解答题

15.数列｛%｝满足q=2,an+l=3a„+2.

⑴证明数歹4｛%+1｝为等比数列；

⑵求数列｛6｝的前〃项和S」.

16.已知V/3C的内角4B,C的对边分别为a,6,c,且2℃osC=®cosC+6.cosB

⑴求角C；

Q)若a=4,b=C,D为4B中点、,求CD的长.

17.如图，在四棱锥S-4BCD中，8C_L平面1S4民4D〃BC,1&4=BC=1,SS=逝，

/SR4=45°.

⑴求证：SA1ABCD■

(2)若AD=g,求平面SC。与平面”3的夹角的余弦值.

221

18.已知椭圆印：・+右=1卜>6>0)的离心率为彳，且过点(2,0).

ab2

试卷第3页，共4页

(1)求沙的方程；

⑵直线x-加y+l=0(加w0)交印于45两点.

(i)点A关于原点的对称点为C,直线BC的斜率为左，证明：K为定值；

m

(ii)若沙上存在点p使得与，而在五§上的投影向量相等，且AP/B的重心在＞轴上，求

直线AB的方程.

19.阅读以下材料：

①设/'(X)为函数“X)的导函数.若/'(X)在区间。单调递增；则称/(X)为区。上的凹函数;

若r(x)在区间。上单调递减，则称/'(x)为区间。上的凸函数.

②平面直角坐标系中的点P称为函数/(x)的“左切点”，当且仅当过点尸恰好能作曲线

＞=/(无)的无条切线，其中4eN.

(1)已知函数/(x)=«x4+x3-3(2a+l*-x+3.

⑴当时，讨论工(x)的凹凸性；

(ii)当a=0时，点P在＞轴右侧且为了(无)的“3切点”，求点P的集合；

⑵已知函数g(x)=xe",点。在y轴左侧且为g(x)的“3切点”，写出点。的集合(不需要写

出求解过程).

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCCBADBCADABD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】利用一元二次不等式的解法，求出集合4=卜1-l«x<5},再利用集合的运算，即

可求解.

【详解】由——4x-5W0,得到-即/={x|-1W5},

又8=卜|0<x<61,

所以/cB={x|04xW5}

故选：D.

2.C

【分析】根据条件，利用复数的运算得到z=2+i,再利用模长的计算公式，即可求解.

【详解】因为z==2+i,所以目=J4+1=石,

2-1(2-1)(2+1)।।

故选：C.

3.C

【分析】根据条件，利用三角函数的定义，直接求出sina,cosa,tana,再利用倍角公式求出

sin2a,即可求出结果.

【详解】因为角。的终边落在直线歹=2x上，

当角。的终边在第一象限时，终边过点(1,2),

ipn-f--2-\/5V5,0.cc•c2^5-\/54

Itunjsma=-----,cosa=——，tana=2,sm2a=2smacosa=2x-------x——=一,

55555

当角。的终边在第三象限时，终边过点(-『2),

,r>n-+.2-\/5y[5..r/2^54

It匕HUsina=-------,cosa=-------，tana=2o,sin2a=2sinicosa=2x(--------)x(------)=一，

55555

故选：C.

4.B

【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解.

【详解】对于选项A,由：-/=1得渐近线方程为尸土，X,所以选项A错误，

答案第1页，共16页

对于选项B,由--1=1得渐近线方程为〉=±3工，所以选项B正确，

2

对于选项C,由、-/=1得渐近线方程为y=±瓜，所以选项C错误，

丫

对于选项D,由V一方2=1得1渐近线方程为广士?，所以选项D错误，

故选：B.

5.A

【分析】根据图形，利用向量的几何运算得到函=_正-2万，即可求解.

【详解】因为BC=3AD,又羽+前+而+西=。，所以

CD=-AB-BC-DA=-m-3n+n=-m-2n，

又E为腰。的中点，所以砺=齐心+屋=瑟+!丽=3万一工前一元=-!薪+2万，

222

，

故选：A.

6.D

【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得厂=而[7=1司求解.

【详解】将/+_/+4〃叱一2〃沙+〃2=0(机€1<)化为标准式为：(x+2/『+(>-根丫=5»?-%,

2

故圆心为(-2m,m)半径为r=J5m-m，且〃?>y或〃?<0,

由于Y+j?+4mx-2my+=0(〃zeR)与x轴相切，故厂=15m。-m=\m\,

解得〃7=[,或机=0(舍去)，

故选：D

7.B

【分析】根据体积公式可得圆锥的高，进而求解母线，即可由侧面积公式求解.

【详解】圆锥的底面半径为1,设高为队过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上

下两部分，则小圆锥的底面半径为:，高为:力，

22

则小圆锥的体积为：1«X(i)?x-h=—n^>h=V3.

32224

答案第2页，共16页

故圆锥母线长为旧时=2,

故圆锥SO的侧面积为兀xlx2=2兀

故选：B

8.C

【分析】根据条件得到54=为晓。。。"，36=0。。。。%两式相比得到30004=也5,又由

8OOOA

36=poe-和80=pW,得到^(/7-8000)=ln—,从而得到上网”=一丝色,即可求

解.

【详解】由题知54=R)e应期①,36=为厂。。。*②,

a

①,②两式相比得到**万,

3

所以300(R=ln-③,

2

当p=80kPa时，由80=Ae一妨④，②+④得到/卸。。*=士，

9

所以左(〃-8000)=In—⑤，

999

In—1g一/Ige1g一

/z-800021g3-l-lg20.347

由⑤+④，得到2020.20

0.17('

3000ln-Ig^/lgelg|lg3-lg2

2

解得hx2085m.

故选：C.

9.AD

【分析】利用赋值法令x=0可计算得出A正确，令无=1可知C错误，求出展开式中一次项

的系数，经计算可得B错误；构造方程组计算可得D正确.

【详解】对于A,令x=0,即可得(1-2x0)9=%=1,可得A正确;

对于B,因为展开式中可代表一次项系数，所以(1-2x)9的展开式中含有一次项

CtF(-2x，=-18x,可得％=-18,即B错误;

对于C,令x=l,即可得(1—2)=00+%+a2H----(■%=—1①，可得

4+。2-----F%=-1-/=-2,所以C错误；

答案第3页，共16页

对于D,令X=—1,即可得(1+2)=/—4+出—。3+…—“9=3。②，

①-②得2(%+/+%+。7+。9)=—(1+3。)，得4+%+%+。7+。9=---1—，即D正确.

故选：AD

10.ABD

【分析】根据图象可知7=兀，即可判断选项A的正误，利用丁=兀，得到④=2或。=-2,

当。=2时，根据条件得至lj/'(x)=sin(2x+，］,进而可判断出选项B和C的正误，再利用

y=sinx的性质，求出/(无)在［0,3可上零点的个数，即可判断出正误；当。=一2,根据条件

得至IJ/(x)=sin(-2x+gj,进而可判断出选项B和C的正误，再利用V=sinx的性质，求

出/■(“在［0,3兀］上零点的个数，即可判断出正误，从而得到结果.

【详解】由图知，!T=2兀B71=7T得到丁=兀，所以选项A正确，

2362

F271

由7=时=兀，得到0=2或。=一2,

当。=2时，由五点法画图知，第三个点为住,()］,所以2x2+。=%得到0=

16/63

所以/(x)=sin［2x+5,

(5兀)./5兀，2兀、.7兀171

/r——=sm(—+—)=sin——=——>/O,

(4J23622

由sin(2x+g]=0,得至！J2x+g=左兀，左6Z,即x=-1+g,左wZ,

又xe[0,3兀],由0«—三+?43兀，且上eZ,得到1/46,后eZ,

所以/'(X)在[0,3兀]上恰有6个零点，

所以选项B和D正确，选项C错误，

.[71]71兀

当口=一2,由sin[-§+9j=0,得至!]一§+"=左兀，左EZ,即9=§+痴,左EZ,

当左=2m+1,冽£Z时，/(x)=sin\-2x+—|=sin(2x-—),

jr

由图知/(x)=sin(2x--)不合题意,

答案第4页，共16页

当左=2冽，加cZ时，/(x)=sin-2x+—

兀

sin(-71+—)=sin(-

5兀=sin()=sin(=>fg

23622

jr

由sinf-2x+yj=0,pr-i兀左兀jQ

得至！J-2x+—=kji,keZj,即X--------------------，左£Z,

62

又xe[0,3兀],由04—%——<3?t,且左eZ,得到一6(左(—1,左eZ,

所以/'(x)在［0,3可上恰有6个零点,

所以选项B和D正确，选项C错误.

故选：ABD.

11.BCD

【分析】选项A,根据条件，令x=y=0,即可求解；选项B,利用选项A中结果，令x=0,

即可求解；选项C,令x=l,得到求(l+x)+/(l_x)=0,进而有/'(l+x)-_T(l-x)=0,

再利用选项B中结果，得到g(x)为奇函数，从而得出g(x)的周期为4的周期函数，即可求

解；选项D,令》=九得至!J〃2x)+/(O)=2/2(x),用if代替x,y得到

/(2-2X)+/(O)=2/2(1-X),利用C中结果，两式相加，即可求解.

【详解】因为Vx/eRJ(x+力+/(x-y)=2/(无)/(力，且/⑴=0,

对于选项A,令x=y=0,得到2/(0)=2/(0"(0),所以/(0)=0或〃0)=1,

若"0)=0,令尸0,得到2/(x)=2jW(0)=0,得到〃x)=o,与题不合，

所以〃0)=1,故选项A错误，

对于选项B,由选项A知/(0)=1,令x=0,得到/■(力+/(-力=2/(0)/(用=2/(了)，

即/(-田=/3)，又“X)的定义域为R，所以选项B正确，

对于选项C,令x=l,得到/(1+力+/(1-了)=2〃1"3=0,

所以“X)关于点(1,0)中心对称，

BP/(l+x)+/(l-x)=0,所以广(1+x)-广。一x)=0,

答案第5页，共16页

又由选项B知，/(-x)=/(x),得至U-/'(-x)=/'(x),BPf'(-x)=-fXx),

所以g(x)为奇函数，令=由r(l+x)-/(l-x)=O,得到g(2T)=g«),

贝I有g(2+t)=g(V)=-g(。，所以g(4+0=-g(2+/)=g«),

即g(x)的周期为4的周期函数，所以

g(x)+g(2024-x)=g(x)+g(4x506-x)=g(x)+g(-x)=0,故选项C正确,

对于D,令x=>,得到则/(2x)+〃0)=2/2(x)①，

用1—x代替x，y得到/(2-2x)+〃0)=2尸(l-x)②，

由①+②得2/(+)+2/°一x)=2/(0)+/(2-2x)+/(2x)=2+/(2-2x)+/(2x),

由选项C知/(2-2x)+/(2x)=0,所以/2(x)+/20-x)=i,故选项D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导

数的知识，抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，本题的关键在于选项C和D的判断，

选项C解答的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，即可求解，

选项D,通过赋值得到/(2x)+/(0)=2/(x)和/(2-2x)+/(0)=2/2(1-x),结合条件和

对称性，即可求解.

12.3

【分析】应用三棱柱的体积公式计算即可.

【详解】底面是边长为2的等边三角形，所以S==x2x2xsinW=E

三棱柱的体积为/=§/?=百x/=3.

故答案为：3.

13.5

【分析】由条件求点M到抛物线的准线的距离，结合抛物线定义可得结论.

【详解】抛物线产=4无的准线方程为x=T,

设点”的坐标为(4，yj,贝！J尤I、。，

因为点M到直线X=-2的距离为6,

答案第6页，共16页

所以点M到准线x=-l的距离为5,

由抛物线定义可得k5.

故答案为：5.

14.（24,25）

【分析】由题意可得%。＜0,%＞。列出不等式组，即可求解.

-600+24-<0

【详解】由题意可得，«30＜0»«31＞0＞即-6。。+25〃>。'解得2K25,

故d的取值范围为(24,25).

故答案为:(24,25).

15.(1)证明见解析

(2)5„=---n--

【分析】(1)由已知可得出。用+1=3(。“+1),利用等比数列的定义可证得结论成立;

(2)求得见=3"-1,利用分组求和法可求得邑.

【详解】(1)证明：因为%+i=3a“+2,所以。"+i+l=3%+3=3(a“+l),

又因为％+1=3工0,所以4T=3,

%+1

数列｛%+1｝是首项为3,公比为3的等比数列.

(2)解：由(1)知%+1=3",所以a“=3"—1,

所以=(3+32+33+---+3")-n=3^-^=

兀

16.(1)C=T

6

⑵平

2

【分析】(1)由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；

(2)利用向量的中线公式而=185+而)平方即可得解.

答案第7页，共16页

【详解】(1)因为2acosC=V5bcosC+J5c•cosB,

由正弦定理，得2sin4cosc=V3sin5cosC+V3cos5sinC

=V3sin(^+C)

=百sin(兀一%)

=V3siiL4,

A

因为0＜/＜兀，则siMwO,所以cosC=——，

2

TT

由于0＜。＜兀，则。=—；

6

(2)因为。为中点，故方=：(5+荏)，

所以|丽f=：的+砺)2

=1|G4|2+1|CB|2+1|C5||CB|C0S£

ii1rr6

=—x3+—X16H——xV3X4X——

4422

_31

所以CD的长为息.

2

17.(1)证明见解析

【分析】（1）根据正弦定理得sinZSAB=1,或者利用余弦定理求解AB=1,即可得SA1AB,

结合即可由线面垂直的判定求证，

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解，或者利用线面垂直，找到二面角的几

何角，结合三角形的边角关系求解，

【详解】（1）解法一：在△M3中，

因为S/=1,/SA4=45°,S2=",

由正弦定理，得..SB,所以^=也一,

smZSBAsmZSABsin45°sinSAB

所以sin/S43=l,

答案第8页，共16页

因为0°</"3<180°,所以NS4B=90。，所以

因为3C_L平面S4B,S/u平面S48,所以BCLSzl,

又BCC\4B=B,3C,/8u平面/BCD

所以S/_L平面48C。；

方法二：证明：设/B=x,在△S48中，

因为SN=\,ZSBA=45°,S3=",

由余弦定理，得=SB°+AB2-2SB-ABcosZSBA,

所以l=2+x?-2立rcos45°，即/一2x+l=0,解得x=l.

所以S42+/B2=SB2=2,所以SN_L/B.

因为8C_L平面S4B,S/u平面S48,

所以3C，£4,

又BCn/8=B,8C,/3u平面/BCD

所以"_L平面N8CA；

解法三：设/B=x,在△"8中，

因为山=1,/瓯4=45。,52=",

由余弦定理，=SS2+AB2-2SBABcosZSBA,

所以1=2+x2-2«xcos45°，即/-2尤+1=0,解得x=l.

所以“之+么/=S8?=2，所以SN_L/5.

因为3C_L平面”8,8Cu平面/BCD,

所以平面/8CD工平面S48；

又平面/3Cr>n平面"3=/瓦"，/用"<=平面5/12,

所以"_L平面4BCD；

(2)解法一：由(1)知"_L平面4BC。，

又48,4Du平面48CZ),所以&4，，

因为8C_L平面WB,/3u平面SAB,所以BCL4B,

因为4D〃3C,所以ND148,

所以S4,4D,48两两垂直.

以点A为原点，分别以所在直线为x轴，F轴，z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

答案第9页，共16页

则S(O,O,I),C(I,I,O),D3,O,O],所以交=(1,1,-1),丽=3,0,-1

设平面SCZ)的法向量为4=(x,y,z),

X-L5C,nx•SC=x+y-z=0,

则＜即<一—►1取x=2,则)=(2,-1,1),

4_LSD,n,SD=-x-z=0,

I12

显然平面SAB的一个法向量足=(1,0,0),

所以COS〃1，〃2=V6

V

所以平面SC。与平面&48的夹角的余弦值为逅.

3

解法二：由(1)知£4_L平面/BCD,过3作8M〃弘，则敏_L平面48CD,

又4B,8Cu平面N3CD,所以8儿U/民氏VU8C,

因为3C_L平面SN8,

又/8u平面”5,所以BC_L/3,

所以期,843。两两垂直.

以点B为原点，分别以所在直线为x轴，f轴，z轴建立如图所示的空间直角坐

=(-1,1,-l),CD=fl,-1,0

设平面SCD的法向量为4=(x,y,z),

答案第10页，共16页

c-»—►n-SC=-x+y-z=0,

nISC,{

则」}—即--------1取了=2,贝!]%=(1,2/)，

n,lCD,nxCD=x--y=0,

显然平面SAB的一个法向量三=（0,1,0）,

一一%•几22、6

所以COS%,%=开户■=I,,2=出

回㈣Vl2+22+l23

所以平面SC。与平面&48的夹角的余弦值为逅.

3

解法三：延长CD、?/交于点连接SM,

则平面SCDn平面SAB=SM,

在ASBM中，

SB=V2,ZSBA=45°,W=2,

由余弦定理，MSM2=SB2+MB--2SB-MBcos^SBM,

所以SM?=(&y+22-2x@x2x[=2,所以W?+*2=敏2,

所以

因为3C_L平面"B.SMu平面S48,

所以又SMLSB,SBcBC=B,

所以5M_L平面1sBC,

又SCu平面SSC,所以5M_LSC,

所以ZBSC为平面SCD与平面SAB的夹角，

因为3C_L平面548,58匚平面5/8,

所以BCLSB,

因为58=&,8。=1,得SC=VL

55_V|_V|

所以cos/8SC=

sc-^-T

所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为逅.

3

答案第11页，共16页

22

18.(1)土+匕=1

43

⑵(i)证明见解析；(ii)3x±6y+3=0

【分析】（1）根据椭圆离心率为;，且过点（2,0）可得;

2_2

（2）（i）由点差法可得与二号3进而有勺=0.上二43

x2—再4mx2-x{x2+x[x2-x14

22

二+匕=1S'故由重心坐标公式可得号=3由

(ii)联立＜43可得%+%=r

x-my+1=0

万，而在冠上的投影向量相等可知P在的垂直平分线上，根据其方程

9H7

y-yD^-m(x-xD),可得力=一E,由「在”进而可得

a24=2

【详解】（1）由题意，得4=2,解得

b=E

b2=a2-c2

22

所以用的方程为土+匕=1;

43

（2）依题意可设点4（-石，-%）1（%2，%），且项。工2,

（i）证明：因为点A关于原点的对称点为C,所以C，

辽+旦二19

因为点42在少上，所以23,所以三二日=一发二K,即与二21=一。,

x；“，43xf-xf4

------1------二1

因为直线〃沙+1=0（%*0）的斜率为',直线BC的斜率为改，

所以&=上〃.及土丛=穿耳=_；即人为定值一I

mx2-x{x2+x[x2-x{4m4

答案第12页，共16页

（ii）设弦的中点。的坐标为（x。,%）,

点尸的坐标为（马,乃的重心G的坐标为（%，%），

工+匕=1

由《43,得(3/+4)/_6叼_9=0,

x-my+l=O

M

所以△=36/+36(3/+4)=144(/+])>O,且必+%=；74

因为AP/2的重心G在N轴上，所以土言主生=0,

所以尤石=一（尤1+工2）=一（加乂-1+加%—1）=一加（必+%）+2=一〃53黑4+2=3加：+4

所以%=上产=4/+%_3m

3加2+4'>°-2-3〃/+4

因为费，而在冠上的投影向量相等，所以帜4|=|尸到，且尸

所以直线尸Z）的方程为了-%=-加（x-x0）,

ll」/\3m(84)9m

mm

所以P=>oD~(Xp-XD,)=——3m25--+--4----(-3/n-+-4-H3—m；2-+-4-)二3m2+4

89my

所以点P|22,，-a2J，

(3加+43m+4)

又点P在〃上，所以（3切?+4）〔3m2+4J

----------1------------

43

即m2(3加2_1)=0,

又因为加w0,所以加=±/_,所以直线的方程为3尤±J5y+3=O.

X>1|0<x<l

19.（l）（i）答案见解析；（ii）（x,y）<

4-4x<j/<x3-3x2—x+31d—3x2—x+3<y<4—4x

—4<x<—2—2<x<0

x<-4

⑵点。的集合为｛（x,y）|或<xx+4或<x+4X

xe2<y<0xe<"--------<y<xe

答案第13页，共16页

【分析】(1)(i)利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数/(X)的单调性，可得

其凹凸性；

(ii)根据“左切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点尸的集合；

(2)根据函数g(x)=xe工利用“切点，，的定义,得出单调性即可得出结论.

【详解】（1）因为/（x）+x3-3（2a+1*-x+3,

所以/'（X）=4ax3+3x2-6（2a+l）x-l,

令/?(x)=4ax3+3x2-6(2a+l)x-l,

所以=12.x2+6x-6(2a+l)=6(2ox+2a+^(x-,.

(i)当a=0时,h\x)=6(x-l),令解得x21；

令〃'(x)VO,解得尤VI；

故/'(x)为区间［1,+动上的凹函数，为区间(f』上的凸函数；

当二<.<0时，令〃⑴“，解得IWxV-组L

4