倍长中线模型综合应用（知识解读）-2023年中考数学重难点题型专项训练

专题09倍长中线模型综合应用（知识解读）

【专茎说明】

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用"倍长中线法"

添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，

从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程：延长某某到某点，

使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线

最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法技巧】

类型一：直接倍长中线

△ABC中AD是BC边中线

A

方式1：延长AD到E,使DE=AD,连接BE

类型二：间接倍长中线

作CF_LAD于F,作BEJ_AD的延长线于E连接BE

延长MD到N,使DN=MD,连接CN

【辑刎隆新】

【典例1】如图，在△ABC中，AB=a,AC=b,a,6均大于0,中线A£)=c,求c的取值

范围.

【典例2】已知：在△ABC中，是BC边上的中线，E是上一点，5.BE=AC,延长

BE交AC于F,求证：AF=EF.

【典例3】如图，△ABC中，点。是BC的中点，点从F分别在A3、AC上，MDELDF,

求证：BE+CF>EF.

BC

D

【变式1】如图，在△ABC中，AC=3,AB=5,点。为BC的中点，MAD±AC,贝2ABC

的周长为

【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，。是BC延长线上一点，连接DE交

AC于点RS.AF^BD,若BD=3,AC=5,则CD的长为

【变式3】如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°点。是BC的中点，E是边上一点,

DBLOE交AC于点R连接ER若BE=2,CF=M，则所的长为

【变式4】如图，在矩形ABC。中，AB=S,BC=9,点E为AB的中点，点厂在BC上,

且2歹=2尸C,AF与DE,分别交于点G,H,求GH的长.

【变式5】如图，四边形ABCO为平行四边形，点E,尸分别为8C,AB上的点，且点尸为

A3的中点，连接DRDE.

(1)如图①，若。尸平分求证：AD+BE=DE；

(2)如图②，若四边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分NBDC时，求EC的长.

【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务.

如图①，圆内接四边形的对角线垂足为G,过点G作AD的垂线，垂足为E,

延长EG交8C于点尸，则点尸为8C的中点.

下而是部分证明过程：

'：AC±BD,EFLAD,

：.ZEGD+ZFGC=9Q°,ZEGD+ZEDG=90°,

：.ZEDG^ZFGC.

/ADB=ZACB,

任务•：请将上述过程补充完整；

任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC,把边BC绕点

C逆时针旋转90°得到EC.连接。E,取A8的中点M,连接MC并延长交。E于点N.

(1)求证：MN1.DE；

(2)若AC=4,AB=6M，ZCAB=30°,求。E的长.

A

图①

专题09倍长中线模型综合应用(知识解读)

【专敷说飒】

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用"倍长中线法”

添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，

从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程：延长某某到某点，

使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线

最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法技巧】

类型一：直接倍长中线

△ABC中AD是BC边中线

方式1:延长AD到E,使DE=AD,连接BE

类型二：间接倍长中线

作CF_LAD于F,作BE_LAD的延长线于E连接BE

延长MD到N,使DN=MD,连接CN

【典钠畲新】

【典例1】如图，在△ABC中，AB=a,AC=b,a,6均大于0,中线AO=c,求c的取值

范围.

【解答】解：延长A£）到E,使AD=£>E,连接BE,

'：AD=DE,ZADC=ZBDE,BD=DC,

；./\ADC沿/\EDB(SAS),

:.BE=AC=b,

在△AEB中，AB-BE<AE<AB+BE,

即a-b<2AD<a+b,

A2Zk<c<2ib.

22

【典例2】已知：在△ABC中，A£>是BC边上的中线，E是上一点，1.BE=AC,延长

BE交AC于尸，求证：AF=EF.

【解答】证明：如图，延长到点G,使得AO=£>G,连接BG.

是BC边上的中线（已知），

:.DC=DB,

在△ADC和△GOB中，

'AD=DG

•ZADC=ZGDB(对顶角相等)

LDC=DB

AADC^AGDB(SAS),

：.ZCAD=ZG,BG=AC

又,：BE=AC,

:・BE=BG,

：.ZBED=ZG,

•：/BED=NAEF,

：.ZAEF=ZCAD,

即：NAEF=NFAE,

：.AF=EF.

G

【典例3】如图，△ABC中，点。是8C的中点，点E、/分另lj在A3、AC上，>DELDF,

求证：BE+CF>EF.

【解答】证明：如图，延长矶）使得连接刊0,CM.

•:BD=DC,ZBDE=ZCDM,DE=DM,

:,&BDE”丛CDM(SAS),

:・BE=CM,

,:DE=DM,DF_LEM,

:.FE=FM,

•・•CM+CF>FM,

：.BE+CF>EF.

【变式1】如图，在△ABC中，AC=3,A3=5,点。为8C的中点，_aADLAC,贝1J2XABC

的周长为.

【解答】解：延长AO到£,使4。=。£,连接8E,

:・BD=CD,

ZADC=ZBDE,

：.AADC^/\EDB(SAS),

：.AC=BE=3,NDAC=NE,

VADXAC,

：.ZDAC=90°,

・・・NE=90°,

•••AE=VAB2-BE2=VB2-32=4,

：.AD^DE^2,

:，BD=VBE2+DE2=V32+22=^13，

：.BC=2BD=2y/l3,

：.^ABC的周长为AB+AC+BC=5+3+2^13=8+2^13.

故答案为：8+2^13.

【变式2】如图，在△ABC中，点E是边的中点，。是BC延长线上一点，连接。E交

AC于点P,S.AF^BD,若3。=3,AC=5,则CD的长为.

【解答】解：延长OE至H,使EH=DE,连接AH,

'：AF^BD,BD=3,AC=5,

ACF=AC-AF=5-3=2,

在△BED和△AE”中，

rBE=AE

,ZBED=ZAEH>

DE=HE

:.ABED丝/XAEH(SAS),

：.AH=BD,ZD=ZH,

'：AF=BD,

J.AH^AF,

：.NAFH=NH,

：.ZCFD=ZD,

:.CD=CF=2,

故答案为：2.

【变式3】如图，在Rt^ABC中，N84C=90°,点。是BC的中点，E是A2边上一点,

。尸，OE交AC于点F,连接ER若BE=2,CF=43,则EP的长为.

【解答】解：如图，延长尸。到G使连接GE,BG,

在△8DG和尸中，

'BD=CD

<NBDG=/CDF，

DG=FD

:.ABDG咨/\CDF(SAS),

:.BG=CF=M，NGBD=NC,

J.BG//CA,

：.ZEBG=ZA=90°,

'：BE=2,

£G=VBE2+BG2=V4+3—V7，

\'DF±DE,DF=DG,

:.EF=EG=®

故答案为：V7.

【变式4】如图，在矩形ABC。中，48=8,BC=9,点E为A8的中点，点尸在BC上,

且2歹=2尸C,AF与DE,分别交于点G,H,求GH的长.

【解答】解：如图，过点尸作于交ED于O,

AD

E

B

贝！JFM=AB=8,

*：BF=2FC,BC=9,

：.BF=AM=6,FC=MD=3,

•••4/=VFM2+AM2=VS2+62=13

,/OM//AE,

.OM=DM_1,

AE'AD

:点E为AB的中点，

：.OM=A,

3

：.OF=FM-OM=S-冬=空，

33

'：AE//FO,

：.△AGEs&GO,

.AG二AE=4

••而而国一亨

V

•人心=315

京研一

.159

•・GH=10-4--二—

44

【变式5】如图，四边形ABCO为平行四边形，点E,尸分别为8C,AB上的点，且点尸为

A8的中点，连接。尸，DE.

(1)如图①，若。尸平分/AOE,求证：AD+BE=DE；

(2)如图②，若四边形ABC。是边长为4的正方形，当平分/FDC时，求EC的长.

AD

【解答】（1）证明：延长DRCB交于G,如图:

•・,四边形ABCD为平行四边形，

J.AD//CB,

：.NAOG=NG,

/平分NADE,

工NADG=NEDG,

:・/G=/EDG,

:・DE=GE=GB+BE,

・・•尸是A3中点，

：.AF=BF,

在△AO尸和aBGb中，

'NADF二NG

<NAFD=NBFG，

AF=BF

:・AADFmABGF(AAS),

：.AD=GB,

：.DE=AD+BE；

(2)解：延长A3,DE交于H,如图:

AD

勿

•・,四边形ABC。是边长为4的正方形，点方为A3的中点，

:・DF=«AD2+AF2=N42+22=2，A5//CD,

:・NCDE=NH,

TEO平分Nf7)C,

:・/CDE=NFDE,

：.ZFDE=/H,

:・FH=DF=2辰,

：.BH=FH-BF=2爬-2,

VZC=90°=/HBE,NDEC=NHEB,

:•丛DCEs丛HBE,

•CD_CE日ri4=CE

BHBE275-24-CE

解得CE=2遥-2.

：.EC的长为2遥-2.

【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务.

如图①，圆内接四边形的对角线AC,80,垂足为G,过点G作的垂线，垂足为E,

延长EG交8C于点凡则点尸为8c的中点.

下而是部分证明过程：

\'AC±BD,EFLAD,

:.NEGD+/FGC=90°,NEGD+/EDG=90°,

：.NEDG=ZFGC.

,：ZADB=ZACB,

任务一：请将上述过程补充完整；

任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC,把边BC绕点

。逆时针旋转90°得到EC.连接。E,取A8的中点连接并延长交OE于点N.