【人教】期中模拟卷02【21-24章】

2023-2024学年上学期期中模拟考试九年级数学（人教版21-24章）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）第Ⅰ卷选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。1．将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（）A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、12．抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣3，5） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）3．一元二次方程x2+x﹣2＝0的解为x1、x2，则x1•x2＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．在如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∠FAB＝20°，旋转角的度数是（）A．110° B．90° C．70° D．20°5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，则OD长为（）A．3 B． C． D．26．一元二次方程5x2﹣3x＝x+1的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝1828．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为﹣39．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（）A． B． C． D．110．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）在函数y＝x2﹣2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y311．已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A． B． C． D．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（）A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣3，x2＝5第Ⅱ卷填空题：本题共6小题，共18分。13．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为．14．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是．15．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围．16．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为米．17．如图，四边形内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝46°，则∠A的度数为．18.如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是BC的中点，F是直线AB上一动点，线段DF绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，当点F运动时，CE的最小值是．三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题6分，21-23题每题8分，24-26题每题10分。19．解方程：（Ⅰ）x2+x﹣12＝0； （Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．20．如图，在半径为50的⊙O中，弦AB的长为50，（1）求∠AOB的度数；（2）求点O到AB的距离．21．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点的坐标；（2）请在图中画出△ABC绕点O顺时针旋转180°后的图形．22．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？23．某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为x元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为y元（1）涨价后每本复习资料的利润为元，平均每天可销售本．（2）求y与x的函数关系式；（3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？24．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB＝4，AP＝时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A，C重合），求证：2PB2＝PA2+PC225．如图，已知顶点为C（0，﹣6）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，且OC＝OB．（1）求点B的坐标；（2）求二次函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）作直线CB，问抛物线y＝ax2+b（a≠0）上是否存在点M，使得∠MCB＝15°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y＝x+1，其“明德点”为（1，2）．（1）①判断：函数y＝2x+3“明德函数”（填“是”或“不是”）；②函数y＝x2的图象上的明德点是；（2）若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．

2023-2024学年上学期期中模拟考试九年级数学（人教版21-24章）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）第Ⅰ卷选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。1．将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（）A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、1【答案】A【解析】解：∵3x2﹣1＝2x，∴3x2﹣2x﹣1＝0，∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣2，故选：A．2．抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣3，5） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）【答案】B【解析】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（3，5）．故选：B．3．一元二次方程x2+x﹣2＝0的解为x1、x2，则x1•x2＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】D【解析】解：根据题意得x1•x2＝＝﹣2．故选：D．4．在如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∠FAB＝20°，旋转角的度数是（）A．110° B．90° C．70° D．20°【答案】B【解析】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∴旋转角为∠DAB，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，故选：B．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，则OD长为（）A．3 B． C． D．2【答案】D【解析】解：∵CD⊥AB，AB是直径，∴＝，∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×1＝2．故选：D．6．一元二次方程5x2﹣3x＝x+1的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断【答案】A【解析】解：将原方程化成一般形式5x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：A．7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182【答案】B【解析】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．8．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为﹣3【答案】D【解析】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，故选：D．9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M；由题意得：∠BAB′＝60°，BA＝B′A，∴△ABB′为等边三角形，∴∠ABB′＝60°，AB＝B′B；在△ABC′与△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠MBB′＝∠MBA＝30°，∴BM⊥AB′，且AM＝B′M；由题意得：AB2＝4，∴AB′＝AB＝2，AM＝1，∴C′M＝AB′＝1；由勾股定理得：BM＝＝＝，∴C′B＝﹣1，故选：C．10．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）在函数y＝x2﹣2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【答案】C【解析】解：∵y＝x2﹣2x+m，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵1﹣（﹣3）＞1﹣（﹣1）＞1﹣0，∴y1＞y2＞y3，故选：C．11．已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴正半轴．故选：B．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（）A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣3，x2＝5【答案】B【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是m（m＜﹣1），∴方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）的另一个根为2﹣m，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，∵关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，∴这两个整数根是0或2，故选：B．第Ⅱ卷填空题：本题共6小题，共18分。13．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为（﹣3，5）．【答案】（﹣3，5）．【解析】解：y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为（﹣3，5）．故答案为：（﹣3，5）．14．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是120°．【答案】见试题解答内容【解析】解：连接OD，∵BD切⊙O于D，∴∠ODB＝90°，∵∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠A＝∠DOB＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案为：120°．15．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围k≥﹣且k≠0．【答案】见试题解答内容【解析】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，∴，∴k≥﹣且k≠0．故答案为k≥﹣且k≠0．16．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为3.5米．【答案】3.5．【解析】解：建直角坐标系，如图：根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．将B、C的坐标代入y＝ax2+c，得：，解得：a＝﹣，c＝6．∴抛物线的表达式是y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）；在y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）中，令x＝5得y＝﹣×52+6＝4.5，∴支柱MN的长度是8﹣4.5＝3.5（米）；故答案为：3.5．17．如图，四边形内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝46°，则∠A的度数为46°．【答案】46°．【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE＝46°．故答案为：46°．18.如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是BC的中点，F是直线AB上一动点，线段DF绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，当点F运动时，CE的最小值是3+．【答案】3+．【解析】解：将△CDE绕点D顺时针旋转90°得到△C'DF，过C'作AB垂线交AB延长线于G，过D作DM⊥AB于M，作DN⊥C'G于N，在△ABC是等边三角形中，AB＝4，D是BC的中点，由旋转性质可得，CD＝C'D＝2，CE＝C'F，∠C'DB＝90°，∵F是直线AB上一动点，∴当点F运动时，C'F的最小值是C'G，∵∠DMG＝∠MGN＝∠GND＝90°，∴四边形DMGN为矩形，∴DM＝NG，DN∥MG，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠MDB＝30°，∠BDN＝60°，即∠C'DN＝30°，∴MB＝＝，C'N＝C'D＝，∴DM＝＝3，∴C'G＝C'N+NG＝3+．故答案为：3+．三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题6分，21-23题每题8分，24-26题每题10分。19．解方程：（Ⅰ）x2+x﹣12＝0；（Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．【答案】（Ⅰ）x1＝﹣4，x2＝3；（Ⅱ）x1＝1，x2＝．【解析】解：（Ⅰ）（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣4，x2＝3；（Ⅱ）5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（5x﹣2）＝0，x﹣1＝0或5x﹣2＝0，所以x1＝1，x2＝．20．如图，在半径为50的⊙O中，弦AB的长为50，（1）求∠AOB的度数；（2）求点O到AB的距离．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）∵OA＝OB＝50，AB＝50，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°；（2）过点O作OC⊥AB于点C，则AC＝BC＝AB＝25，在Rt△OAC中，OC＝＝25．即点O到AB的距离为25．21．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点的坐标；（2）请在图中画出△ABC绕点O顺时针旋转180°后的图形．【答案】（1）作图见解析，A′（4，﹣2），B′（4，0），C′（1，1）．（2）作图见解析．【解析】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求，A′（4，﹣2），B′（4，0），C′（1，1）；（2）如图，△A″B″C″即为所求．22．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？【答案】见试题解答内容【解析】解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78，整理得：（x﹣2）（x﹣33）＝0，解得x＝2或x＝33舍去），答：通道应设计成2米．23．某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为x元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为y元（1）涨价后每本复习资料的利润为（x﹣40）元，平均每天可销售（240﹣3x）本．（2）求y与x的函数关系式；（3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）涨价后每本复习资料的利润为（x﹣40）元，平均每天可销售90﹣3（x﹣50）＝（240﹣3x）本．故答案为：（x﹣40），（240﹣3x）；（2）根据题意得：y＝（﹣3x+240）（x﹣40）＝﹣3x2+360x﹣9600；（3）∵a＝﹣3＜0，y＝（﹣3x+240）（x﹣40）＝﹣3（x﹣60）2+1200；∴当x＝60时，y有最大值1200元．24．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB＝4，AP＝时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A，C重合），求证：2PB2＝PA2+PC2【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠ACB＝45°，∵△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．∴△ABP≌△CBQ，∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，∴∠PCQ＝∠ACB+∠BCQ＝45°+45°＝90°；（2）在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝4，∴AC＝4，∵AP＝，∴PC＝AC﹣AP＝4﹣＝3，由（1）知，△ABP≌△CBQ，∴CQ＝AP＝，由（1）知，∠PCQ＝90°，根据勾股定理得，PQ＝＝＝2；（3）证明：由（1）知，△ABP≌△CBQ，∴∠ABP＝∠CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ∴∠CBQ+∠PBC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，∴PQ＝PB，∵AP＝CQ，在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝PC2+CQ2＝PA2+PC2∴2PB2＝PA2+PC2．25．如图，已知顶点为C（0，﹣6）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，且OC＝OB．（1）求点B的坐标；（2）求二次函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）作直线CB，问抛物线y＝ax2+b（a≠0）上是否存在点M，使得∠MCB＝15°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）∵C（0，﹣6），∴OC＝6，∵OC＝OB，∴OB＝6，∴点B的坐标为（6，0）；（2）∵抛物线y＝ax2+b过点B（6，0），点C（0，﹣6），∴，解得