专项24-弧长与扇形的面积-重难点题型

弧长与扇形的面积-重难点题型【知识点1弧长与扇形的面积】圆的周长圆的弧长圆的面积扇形面积为圆的半径；为弧所对的圆心角的度数；为扇形的弧长【题型1弧长的计算】【例1】（庐阳区校级模拟）如图，▱ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则AE的长为（）A．π9 B．7π18 C．7π9【变式1-1】（毕节市）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，AB，CD所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘AB的长为（）A．8πm B．4πm C．323πm D．163【变式1-2】（余姚市一模）如图，四边形ABCD的顶点B，C，D都在⊙A上，AD∥BC，∠BAD＝140°，AC＝3，则BC的弧长为（）A．53π B．52π C．32π 【变式1-3】（西湖区期末）如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，若AD＝33，则CF的长为（）A．36π8 B．36π4【题型2弧长计算中的最值问题】【例2】（安阳二模）如图，半圆O的直径AB＝2cm，AC=2BC，点E是BC上一个动点，弦DE∥AB，OF⊥AB交DE于点F，OH＝EF，则图中阴影部分周长的最大值为cm【变式2-1】（辽宁模拟）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．【变式2-2】（邓州市一模）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，过点O作OC⊥AB交⊙O于点C，∠CAD＝30°，点P是直径AB上的动点，求PC，PD，CD所围成的图形周长最小值为．【变式2-3】（诸城市二模）如图，以BC为直径作圆O，A，D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为．【题型3扇形面积的计算】【例3】（东营）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为．【变式3-1】（宜昌）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为平方厘米．（圆周率用π表示）【变式3-2】（邵阳县模拟）如图，半圆的直径AB长为6cm，O是圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若∠ADC＝108°，则扇形OAC的面积为．（结果保留π．）【变式3-3】（霍邱县一模）如图，从一块半径是13cm的圆形铁皮（⊙O面）上剪出一个圆心角（∠BAC）为60°的扇形BAC，点B和点C在⊙O的圆周上，若OA＝2cm，则所剪出扇形的面积等于cm2．【题型4求不规则图形阴影部分的面积】【例4】（南关区校级二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为cm2．【变式4-1】（洛阳一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E，则阴影部分的面积为．【变式4-2】（河南模拟）如图1，是一枚残缺的古代钱币，如图2，经测量发现，钱币完好部分的弧长为3π，其内部正方形ABCD的边长为1．已知正方形ABCD的中心与⊙O的圆心重合，且点E，F分别是边BC，CD的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为．【变式4-3】（卫辉市二模）已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝4，若以点A为圆心，AO长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，则图中阴影部分的面积为．

弧长与扇形的面积-重难点题型（解析版）【知识点1弧长与扇形的面积】圆的周长圆的弧长圆的面积扇形面积为圆的半径；为弧所对的圆心角的度数；为扇形的弧长【题型1弧长的计算】【例1】（庐阳区校级模拟）如图，▱ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则AE的长为（）A．π9 B．7π18 C．7π9【分析】根据平行线的性质，可以得到∠B的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角与内角的关系，可以得到∠AOB的度数，再根据弧长公式l=nπr180，即可计算出【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠C＝110°，∴∠B＝70°，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∴∠OEB＝70°，∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，∵AB＝2，AB为⊙O的直径，∴OA＝OB＝OE＝1，∴AE的长为：140π×1180故选：C．【变式1-1】（毕节市）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，AB，CD所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘AB的长为（）A．8πm B．4πm C．323πm D．163【分析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：∵OC＝12m，AC＝4m，∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），∵∠AOB＝120°，∴弯道外边缘AB的长为：120⋅π×16180=32π故选：C．【变式1-2】（余姚市一模）如图，四边形ABCD的顶点B，C，D都在⊙A上，AD∥BC，∠BAD＝140°，AC＝3，则BC的弧长为（）A．53π B．52π C．32π 【分析】求出∠BAC，利用弧长公式计算即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝140°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，∴BC的长=100⋅π⋅3180故选：A．【变式1-3】（西湖区期末）如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，若AD＝33，则CF的长为（）A．36π8 B．36π4【分析】连接AC，AF，根据正方形的性质得出∠DAC＝45°，AD＝DC＝33，∠ADC＝90°，求出A、D、F三点共线，A、E、C三点共线，求出∠FAC＝45°，再根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：连接AC，AF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，AD＝DC＝33，∠ADC＝90°，由勾股定理得：AC=AD2∵将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，∴A、D、F三点共线，A、E、C三点共线，∴∠FAC＝45°，∴CF的长是45π×36故选：B．【题型2弧长计算中的最值问题）】【例2】（安阳二模）如图，半圆O的直径AB＝2cm，AC=2BC，点E是BC上一个动点，弦DE∥AB，OF⊥AB交DE于点F，OH＝EF，则图中阴影部分周长的最大值为（π3+【分析】连接OE，可证四边形HOEF是平行四边形，则DF+AH+HF＝2cm，所以当E与C点重合时，AD弧的长最大，可求∠BOC＝60°，即可求AD弧的长=π3【解答】解：连接OE，∵DE∥AB，OH＝EF，∴四边形HOEF是平行四边形，∴HF＝OE，∵HO＝EF，∴DF+AH＝AO，∴DF+AH+HF＝AO+OE＝AB，∵AB＝2cm，∴DF+AH+HF＝2cm，∵点E是BC上一个动点，∴当E与C点重合时，AD弧的长最大，此时阴影部分周长最大，∵AC=2BC∴∠BOC＝60°，∴AD弧的长=60π×1180∴阴影部分周长的最大值为（π3+2）故答案为：π3【变式2-1】（辽宁模拟）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为22+π【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′=OC2∴CD的长l=30π×2∴阴影部分周长的最小值为22+故答案为：22+【变式2-2】（邓州市一模）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，过点O作OC⊥AB交⊙O于点C，∠CAD＝30°，点P是直径AB上的动点，求PC，PD，CD所围成的图形周长最小值为53+5π【分析】PC，PD，CD所围成的图形周长是PC+PD+CD．由于∠CAD＝30°，连接OD，根据圆周角定理可得∠COD＝60°，那么弧CD的长为定值，所以PC+PD取最小值时PC，PD，CD所围成的图形周长最小．作点C关于AB的对应点C′，连接DC′交AB于P，此时PC+PD的值最小，最小值为DC′的长，解直角△DCC【解答】解：如图，连接OD．∵∠CAD＝30°，连接OD，根据圆周角定理可∴∠COD＝60°，又AB是⊙O的直径，且AB＝10，∴CD=作点C关于AB的对应点C′，连接DC′交AB于P，此时PC+PD的值最小，最小值为DC′的长．连接CD，则∠CDC′＝90°，∵∠C′＝∠CAD＝30°，∴CD=12CC′＝5，DC′=3CD∴PC，PD，CD所围成的图形周长最小值为53+故答案为：53+【变式2-3】（诸城市二模）如图，以BC为直径作圆O，A，D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为3+1【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为AC+CD，求出AC的长即可．【解答】解：连接AC，根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为AC，∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∴AB=∴∠ABC＝2∠ACB，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，∴AC=3•AB=所以阴影部分周长的最小值为AC+CD=3故答案为：3+【题型3扇形面积的计算】【例3】（东营）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为4π9【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据三角形的外角的性质求出∠BEF，根据扇形面积公式计算．【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝20°，又∵E为BC的中点，∴BE＝EC=12∵BE＝EF，∴EF＝EC＝2，∴∠EFC＝∠ACB＝20°，∴∠BEF＝40°，∴扇形BEF的面积=40π×故答案为：4π9【变式3-1】（宜昌）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为（2π﹣23）平方厘米．（圆周率用π表示）【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD=3BD=∴△ABC的面积为12BC•AD=3（厘米S扇形BAC=60π×22360∴莱洛三角形的面积S＝3×23π﹣2×3=（2π﹣2故答案为：（2π﹣23）．【变式3-2】（邵阳县模拟）如图，半圆的直径AB长为6cm，O是圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若∠ADC＝108°，则扇形OAC的面积为185π．（结果保留π【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠ABC＝72°，由OB＝OC得出∠OCB＝∠OBC＝72°，从而求得∠AOC＝144°，然后根据扇形面积公式即可求得．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC＝108°，∴∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝72°，∴∠AOC＝144°，∴扇形OAC的面积为：144π×32故答案为185π【变式3-3】（霍邱县一模）如图，从一块半径是13cm的圆形铁皮（⊙O面）上剪出一个圆心角（∠BAC）为60°的扇形BAC，点B和点C在⊙O的圆周上，若OA＝2cm，则所剪出扇形的面积等于92πcm2【分析】】连接OB，过点O作OH⊥AB于H，解直角三角形求得AB的长，然后利用扇形的公式计算即可．【解答】解：连接OB，过点O作OH⊥AB于H．由对称性可知，∠OAH＝30°，∵∠AHO＝90°，AO＝2cm，∴OH=12OA＝1（cm），AH=3OH=∴BH=OB2−OH∴AB＝33（cm），∴所剪出扇形的面积为：60π⋅(33)2360=故答案为92π【题型4求不规则图形阴影部分的面积】【例4】（南关区校级二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为10003πcm2【分析】根据扇形的面积公式，利用扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE进行计算．【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，∴AD＝10cm，∵∠BAC＝150°，∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE=150×π×3=10003π（cm故答案为10003π【变式4-1】（洛阳一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E，则阴影部分的面积为512π−3【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可求得阴影部分的面积．【解答】解：连接OE，∵∠B