专项24-弧、弦、角、距的关系-重难点题型

弧、弦、角、距的关系-重难点题型【知识点1弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

【题型1弧、弦、角、距的概念】【例1】（浦东新区模拟）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（西林县期末）下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等【变式1-2】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．如图，AB、CD是⊙O的两条弦①若AB＝CD，则有＝，＝②若弧AB＝弧CD，则有＝，＝③若∠AOB＝∠COD，则有＝，＝．【变式1-3】如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则：①AB＝CD；②弧AB等于弧CD；③PO＝PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB＝PD；其中结论正确的是（填序号）【题型2由弧、弦、角、距的关系求角度】【例2】（新化县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是BE的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40° B．60° C．80° D．120°【变式2-1】（项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若AD=150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则BCA．25° B．40° C．50° D．60°【变式2-2】如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（）A．125° B．120° C．130° D．115°【变式2-3】（下城区一模）如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝．【题型3由弧、弦、角、距的关系求线段】【例3】（思明区校级期中）如图，在⊙O中，若AB=CD，且AD＝3，求【变式3-1】（滨海新区期中）如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（）A．1 B．2 C．3 D．2【变式3-2】（青浦区二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝23，∠AMC＝120°，那么OM的长为．【变式3-3】如图，在半径为4的⊙O中，AB和CD度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为．【题型4弧、弦、角、距中的比较问题】【例4】（莘县期中）如图，在同圆中，弧AB等于弧CD的2倍，试判断AB与2CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定【变式4-1】（鼓楼区校级月考）如图，在⊙O中，AC=2ABA．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB【变式4-2】（睢宁县校级月考）如图所示，AB是⊙O直径，CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，则下列结论正确的是（）A．AC=CD=DB B．AC=DB【变式4-3】（顺义区期末）如图，在⊙O中，若AB=BC=CD，则AC与2CD的大小关系是：AC【题型5弧、弦、角、距中的证明问题】【例5】（秦淮区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．【变式5-1】（武汉模拟）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．【变式5-2】（硚口区模拟）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．【变式5-3】（江都区月考）已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．求证：AC＝BD．【题型6弧、弦、角、距中的综合问题】【例6】（海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（）A．25 B．253 C．2534 【变式6-1】如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND，②AM=MN=NB，③四边形MCDN是正方形，④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式6-2】（长沙县月考）已知锐角∠POQ，如图，在射线OP上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作MN，交射线OQ于点B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，交MN于点E，F，连接OE，EF．（1）证明：∠EAO＝∠BAO；（2）若OE＝EF．求∠POQ的度数．【变式6-3】（海淀区期末）如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．

弧、弦、角、距的关系-重难点题型（解析版）【知识点1弧、弦、角、矩的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

【题型1弧、弦、角、矩的概念】【例1】（浦东新区模拟）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答过程】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C．【变式1-1】（西林县期末）下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等【解题思路】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．【解答过程】解：A．如图，弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；C．如图，∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；D．如图，弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；故选：B．【变式1-2】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．如图，AB、CD是⊙O的两条弦①若AB＝CD，则有＝，＝②若弧AB＝弧CD，则有＝，＝③若∠AOB＝∠COD，则有＝，＝．【解题思路】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．再将文字语言在转化成符号语言即可．【解答过程】解：①若AB＝CD，则有AB=CD，∠AOB＝∠②若AB=CD，则有AB＝CD，∠AOB＝∠③若∠AOB＝∠COD，则有AB=CD，AB＝【变式1-3】如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则：①AB＝CD；②弧AB等于弧CD；③PO＝PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB＝PD；其中结论正确的是（填序号）【解题思路】利用“弧、弦、弦心距之间的关系”再细心一点，即可找到全部正确答案．【解答过程】解：PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则OE＝OF，即弦AB，CD的弦心距相等，因而AB＝CD，弧AB等于弧CD，则弧EG等于弧DG，则弧BG等于弧DG；故①、②、④正确；易证△PEO≌△PFO，则PE＝PF，根据AB＝CD，得到BE＝DF，则PB＝PD，故⑤正确．【题型2由弧、弦、角、矩的关系求角度】【例2】（新化县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是BE的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40° B．60° C．80° D．120°【解题思路】先求出∠BOE＝120°，根据点C、D是BE的三等分点求出BD的度数是80°，再求出答案即可．【解答过程】解：∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，∴BE的度数是120°，∵点C、D是BE的三等分点，∴BD的度数是23∴∠BOD＝80°，故选：C．【变式2-1】（项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若AD=150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则BCA．25° B．40° C．50° D．60°【解题思路】连接OB，OC，由半径相等得到△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形，根据∠A＝75°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据AD的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出BC的度数．【解答过程】解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝75°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵AD=∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，则BC的度数为60°．故选：D．【变式2-2】如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（）A．125° B．120° C．130° D．115°【解题思路】过点O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，根据心角、弧、弦的关系定理得到OD＝OE＝OF，根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答过程】解：过点O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，由题意得，HG＝PQ＝MN，∴OD＝OE＝OF，∵OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12×（∠ABC∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，故选：C．【变式2-3】（下城区一模）如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝．【解题思路】首先连接AO，BO，然后根据等弦对等圆心角得到∠BOC＝∠AOB，再根据三角形内角和得到∠OBA＝∠OBC，再由∠ABC＝40°，OB＝OC，即可得到结果．【解答过程】解：如图，连接AO，BO，∴OA＝OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∠OAB＝∠OBA，∵AB＝BC，∴∠BOC＝∠AOB，∴∠OBA=12（180°﹣∠AOB）=12（180°﹣∠∵∠ABC＝40°，OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝20°．故答案为：20°．【题型3由弧、弦、角、矩的关系求线段】【例3】（思明区校级期中）如图，在⊙O中，若AB=CD，且AD＝3，求【解题思路】根据AB=CD，得到BC=AD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到【解答过程】解：∵AB=∴AB−AC=∴CB＝AD＝3．【变式3-1】（滨海新区期中）如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（）A．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】连接OB、OB′，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB′＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．【解答过程】解：连接OB、OB′，∵点A是半圆上一个三等分点，∴∠AON＝60°，∵点B是AN的中点，∴∠BON＝30°，∵点B'是点B关于MN的对称点，∴∠B′ON＝30°，∴∠AOB′＝90°，∴AB′=1故选：B．【变式3-2】（青浦区二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝23，∠AMC＝120°，那么OM的长为．【解题思路】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．【解答过程】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，则AE＝BE=12AB=3，CF＝DF=在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE=3∴OE=O∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF=12∠∴OM=OE故答案为：23【变式3-3】如图，在半径为4的⊙O中，AB和CD度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为．【解题思路】连接OA、OB、OC、OD，在CD上取一点E，使得CE＝OC，连接OE，构造三个等腰三角形△OAB，△OCD与△OCE；证明△COE≌△OAB，则有OE＝AB；利用等腰三角形性质证明DE＝OE，因此CD﹣AB＝CD﹣DE＝CE＝4．【解答过程】解：如图，连接OA、OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．在CD上取一点E，使得CE＝OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．在△COE与△OAB中，∵CO=OA=4∠OCE=∠AOB=36°∴△COE≌△OAB（SAS），∴OE＝AB．∵∠EOD＝∠OEC﹣∠ODC＝72°﹣36°＝36°，∴∠EOD＝∠ODE，∴DE＝OE，∴CD﹣AB＝CD﹣OE＝CD﹣DE＝CE＝4．故答案为：4．【题型4弧、弦、角、矩中的比较问题】【例4】（莘县期中）如图，在同圆中，弧AB等于弧CD的2倍，试判断AB与2CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定【解题思路】取AB的中点E，连接AE、BE，如图，易得CD=AE=BE，利用圆心角、弧、弦的关系得到CD＝AE＝BE，然后根据三角形三边的关系可得到【解答过程】解：取AB的中点E，连接AE、BE，如图，∵弧AB等于弧CD的2倍，而AE=∴CD=∴CD＝AE＝BE，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故选：B．【变式4-1】（鼓楼区校级月考）如图，在⊙O中，AC=2ABA．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB【解题思路】如图连接BC，首先证明AB＝BC，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答过程】解：如图．连接BC．∵AC=2AB∴AB=∴AB＝BC，∴AB+BC＞AC，∴2AB＞AC，故选：C．【变式4-2】（睢宁县校级月考）如图所示，AB是⊙O直径，CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，则下列结论正确的是（）A．AC=CD=DB B．AC=DB【解题思路】连接AC，OC，OD，BD，根据CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，得到AC＝OC，BD＝OD，推出△AOC，△BOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC＝∠BOD＝60°，求得∠COD＝60°，即可得到结论．【解答过程】解：连接AC，OC，OD，BD，∵CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，∴AC＝OC，BD＝OD，∵OC＝OD＝OA＝OB，∴△AOC，△BOD是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOD＝60°，∵AB是⊙O直径，∴∠COD＝60°，∴AC=故选：A．【变式4-3】（顺义区期末）如图，在⊙O中，若AB=BC=CD，则AC与2CD的大小关系是：AC【解题思路】如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．【解答过程】解：如图，连接AB、BC，在⊙O中，若AB=∴AB＝BC＝CD，在△ABC中，AB+BC＞AC．∴AC＜2CD．故答案是：＜．【题型5弧、弦、角、矩中的证明问题】【例5】（秦淮区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．【解题思路】连接BD，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．【解答过程】证明：连接BD．∵AB＝CD，∴AB∴AB−AC=∴∠B＝∠D，∴PB＝PD．【变式5-1】（武汉模拟）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．【解题思路】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到AB=CD，结合图形得到AC=BD，进而得到∠【解答过程】证明：∵AB＝CD，∴AB=∴AB−CB=∴∠C＝∠B，∴CE＝BE．【变式5-2】（硚口区模拟）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．【解题思路】（1）由AB＝CD得到AB=CD，则∴（2）根据圆周角定理，由AC=BD得到∠ADC＝∠DAB，则EA＝ED，然后利用AB＝CD得到CE＝【解答过程】证明：（1）∵AB＝CD，∴AB=即AD+∴AC=∴AC＝BD；（2）∵AC=∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED，∵AB＝CD，即AE+BE＝CE+DE，∴CE＝BE．【变式5-3】（江都区月考）已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．求证：AC＝BD．【解题思路】连接OC、OD，根据已知条件，易证△OCM≌△ODN，根据全等三角形的性质可知，∠AOC＝∠BOD，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可知，AC＝BD．【解答过程】证明：连接OC、OD，∵AB是⊙O的直径，∴AO＝BO，∵M，N分别为AO、BO的中点，∴OM＝ON，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴△OCM与△ODN都是直角三角形，又∵OC＝OD，∴△OCM≌△ODN（HL），∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD．【题型6弧、弦、角、矩中的综合问题】【例6】（海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（）A．25 B．253 C．2534 【解题思路】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．【解答过程】解：连OC，如图，∵C是AB的中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴S四边形AOBC＝2×1故选：D．【变式6-1】如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND，②AM=MN=NB，③四边形MCDN是正方形，④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】连接OM、ON，如图，利用OC＝OD=12OM=12ON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断AM=MN=BN；通过证明【解答过程】解：连接OM、ON，如图，∵MC⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN