24.7 向量的线性运算（第2课时）同步练习

24.7向量的线性运算（第2课时）【夯实基础】一、填空题1．（2021··九年级专题练习）向量在方向上的分量分别则＝_______2．（2022·上海嘉定·二模）如图，点D，E，F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，，，用与的线性组合表示_____．3．（2021·上海市实验学校西校九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且EFBD，AD＝3AF，设AB＝，BC＝，则向量FE关于、的分解式是FE＝___．4．（2021·上海奉贤·三模）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，记，，那么＝__________________（用向量、表示）．5．（2021·上海嘉定·二模）如图，中，D为边AC的中点，设向量，向量，那么向量用向量，可表示为__________．6．（2021·上海·二模）如图中，点在上，且．设，，那么______（结果用、表示）．7．（2021·上海市实验学校二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F，如果，那么（用含的式子表示）．8．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，已知等腰梯形中，，如果，那么________．9．（2021·上海·九年级专题练习）已知△中，是中线，点是△的重心，，如果用向量表示向量，那么__________．10．（2020·上海松江·九年级阶段练习）如图，已知在中，E是边的中点，与对角线相交于点F．如果，那么_______（用含的式子表示）．11．（2020·上海交大附中九年级期中）如图，梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，设，那么__（用表示）二、解答题12．（2022·上海虹口·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使，联结AE交DC于点F，设，．(1)用向量、表示；(2)求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）13．（2022·上海长宁·九年级期末）如图，在梯形中，AB//CD，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若．（1）用表示；（2）求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）14．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图．四边形ABCD是平行四边形：点E是边AD的中点．AC、BE相交于点O．设，．（1）试用表示；（写出必要步骤）（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）15．（2021·上海市南洋模范初级中学九年级期中）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设，．（1）求向量；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．16．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD中，点E、F分别是边DC、AB的中点，AE、CF与对角线BD分别交于点G、H，设，（1）试用、分别表示向量；（2）作出向量分别在、方向上的分向量．17．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）如图，在梯形中，，，，．（1）______（用含、的式子表示）．（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【能力提升】一、单选题1．（2021·上海市文来中学九年级期中）下列正确的有（

）（1）（2）为单位向量，则（3）平面内向量、，总存在实数m使得向量（4）若，，，则，就是在、方向上的分向量A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题2．（2021·上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知在中，设，，若、分别为、的中点，那么用、的线性组合表示为______．3．（2021·上海浦东新·九年级期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，那么向量关于、的分解式为______．4．（2022·上海闵行·九年级期末）如图，是的中线，交于点，且．(1)直接写出向量关于的分解式，______(2)在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）5．（2022·上海金山·九年级期末）如图，已知：四边形ABCD中，点、分别在边BC、CD上，，设，．求向量关于、的分解式．6．（2022·上海崇明·九年级期末）如图，在中，点F为的重心，联结AF并延长交BC于点D，联结BF并延长交AC于点E．(1)求的值；(2)如果，，用，表示和．7．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）已知：线段DE分别交△ABC的边BA、CA的延长线于点D、E，且，△ABC的周长是6cm，（1）求△ADE的周长；（2）如果，求作：．8．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设＝，＝，用、的线性组合表示向量．9．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，CE交BD点E，BF＝15．（1）求DF的长；（2）如果＝，＝，用、表示向量．10．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DEBC，DFAC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．（1）求的值；（2）联结EF，设，，用含的式子表示．11．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如图在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2BD，已知，．（1）用向量分别表示向量、；（2）作出向量分别在方向上的分向量（不要求写作法，写出结论）．12．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）已知：如图，中，，，，点、分别在边、上，且，．（1）求的正切值；（2）如果设，，试用、的线性组合表示；（3）求作在、方向上的分向量．13．（2021·上海·九年级期中）如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且，BF、CD的延长线交于点G，设，．（1）用向量、表示向量、；（2）求作关于向量、的分向量．14．（2021·上海松江·九年级阶段练习）如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．（1）求证：FG∥AB；（2）设＝，＝，请用向量，表示．15．（2021·上海·九年级期末）如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点．（1）如果，，用、表示向量；（2）当，，时，求的长．16．（2021·上海市罗星中学九年级期中）如图，一个的网格．其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点．（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与相似？请说明理由；（2）设a，，写出向量关于a、b的分解式．17．（2021·上海·九年级期末）如图，已知中，，，，．（1）求线段的长；（2）设，．①请直接写出向量关于、的分解式，________；②连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】18．（2022·上海青浦·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF=3DF．(1)求AE：ED的值；(2)如果，，试用、表示向量．19．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．（1）求GE的长；（2）若＝，＝，用、表示；（3）在图中画出．（不需要写画法，但需要结论）20．（2021··九年级专题练习）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G．（1）求FG的长；（2）设，，用、的线性组合表示．

24.7向量的线性运算（第2课时）（解析版）【夯实基础】一、填空题1．（2021··九年级专题练习）向量在方向上的分量分别则＝_______【答案】【分析】根据向量的分量的概念及向量分解式的写法即可得到答案．【详解】∵向量在，方向上的分量分别，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了向量的线性运算，掌握向量分量的定义及向量分解式的写法是解题的关键．2．（2022·上海嘉定·二模）如图，点D，E，F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，，，用与的线性组合表示_____．【答案】######【分析】根据点D，E分别是△ABC边AB，BC上的中点，得到DE是△ABC的中位线，则＝，再根据向量的加法运算法则求出，即可得到答案．【详解】解：∵点D，E分别是△ABC边AB，BC上的中点，∴DE是△ABC的中位线∴＝∵，∴＋∴故答案为：．【点睛】此题考查了三角形的中位线定理、向量的加法法则等知识，利用三角形的中位线定理得到＝是解题的关键．3．（2021·上海市实验学校西校九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且EFBD，AD＝3AF，设AB＝，BC＝，则向量FE关于、的分解式是FE＝___．【答案】【分析】依题意先证明，根据AD＝3AF，可得，，进而根据即可求得．【详解】AB＝，BC＝，四边形是矩形，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平面向量三角形法则，掌握以上知识是解题的关键．4．（2021·上海奉贤·三模）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，记，，那么＝__________________（用向量、表示）．【答案】【分析】根据正六边形性质，得为等边三角形，根据平行线性质，得；结合向量性质，得，再根据向量性质计算，即可得到答案．【详解】连接OE，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，∴∴为等边三角形∴∴∴∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形、等边三角形、平行线、向量的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、向量的性质，从而完成求解．5．（2021·上海嘉定·二模）如图，中，D为边AC的中点，设向量，向量，那么向量用向量，可表示为__________．【答案】【分析】利用三角形法则求出，可得结论．【详解】解：，，，，故答案为：．【点睛】本题考查三角形法则，解题的关键是求出，属于中考常考题型．6．（2021·上海·二模）如图中，点在上，且．设，，那么______（结果用、表示）．【答案】【分析】首先利用三角形法则求得，则；然后再在△ABD中，利用三角形法则求得．【详解】解：∵，，∴=，∵CD＝2BD，∴∴故答案为：．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，掌握三角形法则的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．7．（2021·上海市实验学校二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F，如果，那么（用含的式子表示）．【答案】【分析】利用平行四边形的性质可先求出DF:EF的值，从而得到DF:DE，然后用三角形法则表示出，即可得到【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB，∵E是AB的中点，∴DC:AE=AB:AE=1:2，∴DF:EF=DC:AE=2:1，∴DF:DE=，∵，∴故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的知识，结合平行四边形性质，得到相关的边关系式解题的关键．8．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，已知等腰梯形中，，如果，那么________．【答案】【分析】利用平面向量求和的三角形法则，即可求解．【详解】解：∵AD∥BC，BC＝3AD，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量，梯形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2021·上海·九年级专题练习）已知△中，是中线，点是△的重心，，如果用向量表示向量，那么__________．【答案】【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍用表示出，然后表示出向量即可．【详解】如图，∵是中线，点是△的重心，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量、三角形的重心、线段的和差，解题的关键是找出与的关系，并注意向量的方向．10．（2020·上海松江·九年级阶段练习）如图，已知在中，E是边的中点，与对角线相交于点F．如果，那么_______（用含的式子表示）．【答案】【分析】先求出DF：EF的值，从而可得DF：DE，表示出，即可得出答案．【详解】解：∵E是边的中点，∴AE=AB∴，又，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系，难度一般．11．（2020·上海交大附中九年级期中）如图，梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，设，那么__（用表示）【答案】【分析】根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG是△ABD的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得，根据向量的定义可以得到．【详解】∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×4=2∴FG=EF−EG=10−2=8∴FG=2AD.∵，∴，故答案是：．【点睛】本题考查平面向量，梯形与三角形的中位线，理解概念且准确推理计算是解题关键．二、解答题12．（2022·上海虹口·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使，联结AE交DC于点F，设，．(1)用向量、表示；(2)求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）【答案】(1)(2)向量、是向量分别在、方向上的分向量．【分析】（1）连接AC，证四边形ACED是平行四边形，得出DE∥AC，根据平行四边形法则求解即可；（2）过点F作FM∥AB交AB于M，根据平行四边形法则即可求得答案．(1)解：连接AC，∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥CB，AD=CB，∵，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE∥AC，；(2)解：过点F作FM∥AB交AB于M，则向量、是向量分别在、方向上的分向量．【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．13．（2022·上海长宁·九年级期末）如图，在梯形中，AB//CD，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若．（1）用表示；（2）求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【答案】（1）=，；（2）见详解．【分析】（1）利用向量的表示方法，表示出，再由=即可求出，利用平行线段成比例，求出AF=，即可求出；（2）利用向量中分向量的画法画图即可．【详解】解：（1）∵，，∴，∵=，，∴=，∵AB//CD，，DE=EC，∴，∴AF=∴．（２）在方向上的分向量如图所示，即为所求；【点睛】本题主要考查图形中向量的表示方法，以及分向量在平行四边形中的画法，熟练掌握向量的基本应用是解题的关键，初中的向量问题只在上海地区出现，其他地方在高中才会学到，需要注意．14．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图．四边形ABCD是平行四边形：点E是边AD的中点．AC、BE相交于点O．设，．（1）试用表示；（写出必要步骤）（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】（1）；（2）图见详解，【分析】（1）首先证明，进而问题可求解；（2）分别过点O作OM∥AD，ON∥AB，然后证明，进而问题可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点，∴，∴，∴，∴；（2）如图所示，在、上的分向量分别为和，∵AE∥BC，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟练掌握向量的线性运算是解题的关键．15．（2021·上海市南洋模范初级中学九年级期中）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设，．（1）求向量；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案】（1）-；（2）见解析【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量；（2）首先平移向量，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．【详解】解：（1）∵=，=，∴=-=-，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴-；（2）作图：结论：、是向量分别在、方向上的分向量．．【点睛】本题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．16．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD中，点E、F分别是边DC、AB的中点，AE、CF与对角线BD分别交于点G、H，设，（1）试用、分别表示向量；（2）作出向量分别在、方向上的分向量．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）先证明，进而利用三角形法则求得出，进而求得，根据即可求得；（2）利用平行四边形法则，即可作出向量分别在、方向上的分向量【详解】（1）四边形是平行四边形，四边形是平行四边形同理可得，；（2）如图，分别是在、方向上的分向量【点睛】本题考查了平面向量的知识，掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解题的关键．17．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）如图，在梯形中，，，，．（1）______（用含、的式子表示）．（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）根据向量加法法则计算；（2）根据平行四边形法则即可表示．【详解】（1）；（2）如图，取的中点，则，即为向量分别在、方向上的分向量．．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，及一个向量在另一向量方向的分量的定理，熟练掌握基本定理及灵活运算是解题关键．【能力提升】一、单选题1．（2021·上海市文来中学九年级期中）下列正确的有（

）（1）（2）为单位向量，则（3）平面内向量、，总存在实数m使得向量（4）若，，，则，就是在、方向上的分向量A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据向量的运算法则和性质逐一判断即可．【详解】∵，∴结论(1)不符合题意；∵为单位向量，∴∴结论(2)不符合题意；∵向量、是平行向量时，总存在实数m使得向量∴结论(3)不符合题意；∵若，，，则，就是在、方向上的分向量，∴结论(4)符合题意；故选B．【点睛】本题考查了向量的性质，平行向量的性质，向量的运算，熟练掌握向量的性质是解题的关键．二、填空题2．（2021·上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知在中，设，，若、分别为、的中点，那么用、的线性组合表示为______．【答案】【分析】由题意利用三角形法则求得，然后由三角形中位线定理得到，进而结合平面向量的性质进行解答．【详解】解：如图，在中，设，，．又、分别为、的中点，．．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量和三角形中位线定理．由三角形法则求得是解题的关键．3．（2021·上海浦东新·九年级期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，那么向量关于、的分解式为______．【答案】【分析】根据计算即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解决本题的关键．三、解答题4．（2022·上海闵行·九年级期末）如图，是的中线，交于点，且．(1)直接写出向量关于的分解式，______(2)在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）根据三角形中线性质和重心性质可得BD=BC，AG=AD，由求解即可；（2）过点G分别作AB、BC的平行线，分别交BC、AB于H、F，作向量、即可．(1)解：∵是的中线，交于点，∴BD=BC，AG=AD，∵，∴=，∴，故答案为：；(2)解：如图所示，、是向量在向量和方向上的分向量．【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形的中线性质、三角形的重心性质、尺规作图-作平行线，熟练掌握向量的线性运算，会作出一个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量是解答的关键．5．（2022·上海金山·九年级期末）如图，已知：四边形ABCD中，点、分别在边BC、CD上，，设，．求向量关于、的分解式．【答案】【分析】连接BD，先证明，由可得向量关于、的分解式．【详解】解：连接BD．∵，∴，，∴，∵，，∴，∴．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．6．（2022·上海崇明·九年级期末）如图，在中，点F为的重心，联结AF并延长交BC于点D，联结BF并延长交AC于点E．(1)求的值；(2)如果，，用，表示和．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据重心是三角形三边中线的交点即可得到DE是△ABC的中位线，则，DE∥AB，即可证明△ABF∽△DEF，得到；（2）先求出，再由，即可求出；由△ABF∽△DEF，得到，可以推出，则．(1)解：∵F是三角形ABC的重心，∴D、E分别是BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴，DE∥AB，∴△ABF∽△DEF，∴；(2)解：∵F是△ABC的重心，∴D、E分别是BC、AC的中点，∵，，∴，∴，∵△ABF∽△DEF，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，向量的线性运算等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．7．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）已知：线段DE分别交△ABC的边BA、CA的延长线于点D、E，且，△ABC的周长是6cm，（1）求△ADE的周长；（2）如果，求作：．【答案】（1）4cm；（2）见解析【分析】（1）先证明△CAB∽△EAD，得到，则，，，再由△ABC的周长为6cm，得到AB+AC+BC=6cm，最后根据△ADE的周长=求解即可；（2）先根据向量的加减计算法则化简得到结果为，即，然后作线段AC的垂直平分线，找到线段AC的中点F，则向量即为所求．【详解】解：（1）∵∠CAB=∠EAD，，∴△CAB∽△EAD，∴，∴，，，∵△ABC的周长为6cm，∴AB+AC+BC=6cm，∴△ADE的周长=；（2），∵，，∴，如图所示，分别以A、C为圆心，以大于AC长的一半为半径画弧，二者交于M、N，连接MN交AC于F，作向量，然后作向量，则向量即为所求．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的计算和作图，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件，向量的加减计算法则．8．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设＝，＝，用、的线性组合表示向量．【答案】．【分析】直接利用向量的线性运算即可．【详解】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴．∵点E、F分别是AD、AC的中点，∴，∴．【点睛】本题考查了向量的线性运算，解题的关键是学会利用三角形法则．9．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，CE交BD点E，BF＝15．（1）求DF的长；（2）如果＝，＝，用、表示向量．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理及推论求解即可；（2）利用三角形法则求出，可得结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∵AD∥BC∴（平行线分线段成比例定理的推论），∴∴DF＝；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴，∵，＝∴∴，∴，∵，∴CF＝CE，∴．【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理及推论等知识，解题的关键是掌握三角形法则求平面向量．10．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DEBC，DFAC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．（1）求的值；（2）联结EF，设，，用含的式子表示．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由可知，根据可知，再由可得；（2）由可知，据此可得，同理可知，根据平行四边形法则可得答案．【详解】解：（1）∵∴∵∴又∵∴；（2）∵，∴，∵，与方向相反，∴，同理可得：，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，比例的性质以及向量的线性运算，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理以及向量的运算．11．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如图在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2BD，已知，．（1）用向量分别表示向量、；（2）作出向量分别在方向上的分向量（不要求写作法，写出结论）．【答案】（1）=，；（2）见解析【分析】（1）由题意可得，由三角形相似可得，，从而可得，，再根据即可求得结果；（2）由DE∥BC，作DM∥AC交BC于点M，从而四边形DMCE是平行四边形，则向量、即为所求作向量．【详解】（1）∵∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴即AE=2CE∴，∴，∴∴=，.（2）作DM∥AC交BC于点M∵DE∥BC，∴四边形DMCE是平行四边形∴向量、即为所求作向量．【点睛】本题考查了向量的加减运算，相似三角形的判定与性质，作向量的分量等知识，灵活运用向量加减法的三角形法则是问题的关键．12．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）已知：如图，中，，，，点、分别在边、上，且，．（1）求的正切值；（2）如果设，，试用、的线性组合表示；（3）求作在、方向上的分向量．【答案】（1）；（2）；（3）画图见解析；【分析】（1）因为，，所以．则．再根据平行线分线段正比例出、，根据即可解决问题；（2）根据，只要求出、即可解决问题；（3）构造四边形是平行四边形，可得，继而求得答案．【详解】解：（1），，，又已知，．即，∴，∴，，∴设，，则，∴，∴，，∵，∴，，，，，，，，在中，，即；（2），，，，，，，；（3）如图，过点作，且截取，连接，即，∴四边形为平行四边形，∴向量在、方向上的分向量为：，．【点睛】本题考查平面向量、平行四边形法则、锐角三角函数、平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．13．（2021·上海·九年级期中）如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且，BF、CD的延长线交于点G，设，．（1）用向量、表示向量、；（2）求作关于向量、的分向量．【答案】（1），；（2）作图见解析．【分析】（1），可求得，则有，再根据，得，则，据此求解即可（2）过点作交于点，则有，即点为所求．【详解】解：（1）∵，∴∴，∴∴∵∴∴（2）过点作交于点，则有：，∴点为所求．【点睛】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟悉想性质，特别是向量额的运算是解题的关键．14．（2021·上海松江·九年级阶段练习）如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．（1）求证：FG∥AB；（2）设＝，＝，请用向量，表示．【答案】（1）证明见详解；（2）．【分析】（1）由AD＝DE＝EB，可得AE=2BE，BD=2AD，由DF∥BC，，由GE∥AC，可得，可得，∠FCG=∠ACB，可证△FCG∽△ACB即可；（2）由△FCG∽△ACB，可得，由＝，＝可得，由向量的模之间关系可得，GF∥BA；利用平行向量关系．【详解】（1）证明：∵AD＝DE＝EB，∴AE=AD+ED=2AD=2BE，BD=DE+EB=2BE=2AD，∵DF∥BC，∴，∵GE∥AC，，∴，∴，∴，∠FCG=∠ACB，∴△FCG∽△ACB，∴∠FGC=∠B，∴FG∥AB；（2）解：∵△FCG∽△ACB，∴，∴∵＝，＝，∴∵，GF∥BA；∴．【点睛】本题考查平行线截线段成比例，相似三角形的判定与性质，向量的模，平行向量，和与差向量，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．15．（2021·上海·九年级期末）如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点．（1）如果，，用、表示向量；（2）当，，时，求的长．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由G是重心，可得，，因为，可得，进而求出；（2）根据G是重心，求出DG=3，因为△AGD是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD=，由AD=DC，DC=3DE求出DE=，相加即可．【详解】解：（1）∵，∵点G是Rt△ABC的重心，∴AD＝AC，∵，，∴，∴∴，．（2）∵G是三角形的重心，∴BG=2GD，AD=DC，∵BG=6，∴GD=3，∵，，∴AG=GD=3，∴，∵，∴，∴DE=，∴AE=AD+DE=【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键．16．（2021·上海市罗星中学九年级期中）如图，一个的网格．其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点．（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与相似？请说明理由；（2）设a，，写出向量关于a、b的分解式．【答案】（1）点N和点A、B所构成的三角形与相似，理由见解析；（2）【分析】（1）设网格中小正方形的边长为a，利用勾股定理求出各边的长度，然后分类讨论，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断即可；（2）延长AB至E，使BE=AB，根据向量加法的三角形法则计算即可．【详解】解：（1）点N和点A、B所构成的三角形与相似，理由如下：设网格中小正方形的边长为a，则BC=a，AB=，AC=，其中BC＜AB＜AC如下图所示，连接BM、AM则BM=，AM=，其中AB＜BM＜AM∴，∴≠∴和不相似；如下图所示，连接AN则BN=2a，AN=，其中AB＜BN＜AN∴，，，∴＝=∴∽；如下图所示，连接BP则BP=，AP=3，其中AB＜BP＜AP∴，∴≠∴和不相似；如下图所示，连接BQ、AQ则BQ=，AQ=，其中AB＜BQ＜AQ∴，∴≠∴和不相似；综上：点N和点A、B所构成的三角形与相似；（2）延长AB至E，使BE=AB，根据正方形的性质可知，点E正好落在格点上，如下图所示∴，∴=＋=．【点睛】此题考查的是勾股定理与网格问题、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法则是解题关键．17．（2021·上海·九年级期末）如图，已知中，