24.2.2 黄金分割 同步练习

24.2.2黄金分割【夯实基础】一．选择题（共4小题）1．（2021秋•金山区期末）如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1 B．﹣1 C． D．2．（2020秋•青浦区期末）已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，那么线段AP的长度等于（）A． B． C． D．3．（2020秋•长宁区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）4．（2020秋•静安区期中）达•芬奇的蒙娜丽莎举世闻名，“黄金分割”在该作品中随处可见，它体现出部分与部分及部分与整体之间协调一致性的完美．其中的“黄金分割数”为（）A． B． C． D．二．填空题（共7小题）5．（2021秋•松江区月考）已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝10cm，AP＞BP，那么AP＝．6．（2021秋•长宁区校级期中）已知线段AB的长度为4厘米，点P是AB的黄金分割点，PA＞PB，线段PA的长是厘米．7．（2021秋•松江区校级期中）已知线段MN＝4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，则MP＝．8．（2021秋•长宁区期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AC＞BC，BC＝2，则AC＝．9．（2021秋•崇明区期末）已知线段AB＝8cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长为cm．10．（2021秋•宝山区期末）如果的值是黄金分割数，那么的值为．11．（2021秋•普陀区期末）某芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，腰部就成为整个身形的黄金分割点，给观众带来美感，如图，如果她踮起脚尖起舞时，那么她的腰部以下高度a与身形b之间的比值等于．【能力提升】1.已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长．2.（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长；（2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值．3.如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长．4.如图，在矩形中截取正方形，已知是和的比例中项，，求的长．5.舞台的形状是一个矩形，宽为米，如果主持人站立的位置是宽的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走 米．6.点是线段的黄金分割点，求的值．7.如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上．（1）求线段、的长；（2）求证：；（3）请指出图中的黄金分割点．

24.2.2黄金分割（解析版）【夯实基础】一．选择题（共4小题）1．（2021秋•金山区期末）如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1 B．﹣1 C． D．【分析】由黄金分割的定义得＝，即可得出答案．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．2．（2020秋•青浦区期末）已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，那么线段AP的长度等于（）A． B． C． D．【分析】直接根据黄金分割的定义求出AP的长即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，∴AP＝AB＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．3．（2020秋•长宁区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故选：B．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．4．（2020秋•静安区期中）达•芬奇的蒙娜丽莎举世闻名，“黄金分割”在该作品中随处可见，它体现出部分与部分及部分与整体之间协调一致性的完美．其中的“黄金分割数”为（）A． B． C． D．【分析】直接利用黄金分割的定义求解．【解答】解：较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．二．填空题（共7小题）5．（2021秋•松江区月考）已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝10cm，AP＞BP，那么AP＝（5﹣5）cm．【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝10cm，AP＞BP，∴AP＝×10＝（5﹣5）cm．故答案为：（5﹣5）cm．【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．6．（2021秋•长宁区校级期中）已知线段AB的长度为4厘米，点P是AB的黄金分割点，PA＞PB，线段PA的长是（2﹣2）厘米．【分析】直接运用黄金分割的比值进行计算即可．【解答】解：∵线段AB＝4cm，点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），∴PA＝AB＝×4＝（2﹣2）cm，故答案为：（2﹣2）．【点评】本题考查了黄金分割：点P把线段AB分成两条线段AP和BP（PA＞PB），且使AP是AB和BP的比例中项（即AB：PA＝PA：PB），叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．其中PA＝AB≈0.618AB．7．（2021秋•松江区校级期中）已知线段MN＝4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，则MP＝．【分析】由黄金分割的定义可得MP＝MN，代入计算可求解．【解答】解：∵MN＝4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝．故答案为．【点评】本题主要考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．8．（2021秋•长宁区期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AC＞BC，BC＝2，则AC＝+1．【分析】先根据黄金比值为求出AB与AC的关系，再列式计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，BC＝2，∴AC＝AB，∵AB﹣AC＝BC，∴AB﹣AB＝2，解得：AB＝3+，则AC＝AB﹣BC＝+1，故答案为：+1．【点评】本题考查的是黄金分割，熟记黄金比值为是解题的关键．9．（2021秋•崇明区期末）已知线段AB＝8cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长为（4﹣4）cm．【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，把AB＝8cm代入计算即可得到答案．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝8cm，∴AC＝AB＝×8cm＝（4﹣4）cm，故答案为：（4﹣4）．【点评】本题考查了黄金分割的有关计算，掌握黄金分割的定义是解决本题的关键．10．（2021秋•宝山区期末）如果的值是黄金分割数，那么的值为．【分析】由黄金分割的定义得＝，则2x＝（+1）y，即可得出答案．【解答】解：∵的值是黄金分割数，∴＝，∴2x﹣2y＝（﹣1）y，∴2x＝（+1）y，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割值是解题的关键．11．（2021秋•普陀区期末）某芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，腰部就成为整个身形的黄金分割点，给观众带来美感，如图，如果她踮起脚尖起舞时，那么她的腰部以下高度a与身形b之间的比值等于．【分析】由黄金分割的定义即可得出答案．【解答】解：∵某芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，腰部就成为整个身形的黄金分割点，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是熟记黄金分割的比值．【能力提升】1.已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长．【答案】．【解析】根据题意，即有，解得，点是黄金分割点．【总结】考查黄金分割点的定义．2.（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长；（2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根据黄金分割点定义，且，可知，此时；线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和，故或．【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个．3.如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长．【答案】．【解析】根据黄金分割点定义，知，故，，得．【总结】考查线段的黄金分割点有两个． 4.如图，在矩形中截取正方形，已知是和的比例中项，，求的长．【答案】2．【解析】由，即，可得，代入即得．【总结】考查黄金比的综合应用．5.舞台的形状是一个矩形，宽为米，如果主持人站立的位置是宽的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走 米．【答案】或．【解析】注意线段的黄金分割点有两个，黄金比为，主持人需走的路程为；另一个比例则为，主持人需走的路程为．【总结】注意线段的黄金分割点有两个，与黄金比是不同的含义．6.点是线段的黄金分割点，求的值．【答案】或．【解析】根据黄金分割点的定义，，即，两边同时除以，可解得=；或，类似的可得=．【总结】注意线段的黄金分割点有两个．7.如图，以长为的线段为