23.2 解直角三角形及其应用 同步练习

第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用基础过关全练知识点1解直角三角形1.(2023安徽合肥五十中期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，已知b及∠B，则斜边长为()A.bsinB B.bsinB C.bcosB 2.如图，在△ABC中，AB=3，sinB=23，∠C=45°，则AC的长为.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形.(1)b=23，c=4；(2)∠A=30°，b=83；(3)c=8，∠A=45°.4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E.若AD=10，sin∠ADC=45，求AC的长和tanB的值知识点2测量问题5.如图，在中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方500米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.求潜艇C的下潜深度.(结果保留整数)(sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)6.(2020安徽中考)如图，山顶上有一个信号塔AC，已知AC=15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°，塔顶A的仰角∠ABD=42.0°，求山CD的高(点A，C，D在同一条竖直线上).(参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90)7.为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，如图，测量方案与数据如下表：课题测量河流的宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点B，C在点A的正东方向点B，D在点A的正东方向点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向测量数据BC=60m，∠ABH=70°，∠ACH=35°BD=20m，∠ABH=70°，∠BCD=35°BC=101m，∠ABH=70°，∠ACH=35°(1)哪个小组的数据无法计算出河宽?(2)请选择其中一个方案用其数据求出河宽(精确到0.1m)；(参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70)(3)计算的结果和实际河宽有误差，请提出一条减小误差的合理化建议.知识点3方向角问题8.如图，琪琪开车从A地出发，沿着北偏东60°方向行驶，到达O地后沿着南偏西40°方向行驶来到B地，且B地恰好位于A地正东方向，则下列说法正确的是()A.O地在B地的北偏东50°方向上 B.∠AOB=30°C.A地在O地的南偏西60°方向上 D.sin∠BAO=39.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海进行常态化巡航.如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上.(1)AB=海里，∠APB=度；

(2)已知在灯塔P的周围35海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全?请说明理由.(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)知识点4坡度、坡角问题10.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶3，堤高BC=6m，则坡面AB的长是()A.23m B.6m C.63m D.12m11.如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度=1∶1.5，那么路基的下底宽BC是米.

12.如图所示的是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜坡，A，D两点在地面上，已知AD=40m，设计桥高为4m，设计斜坡的坡度为1∶2.4.点A左侧25m的点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区.(1)求主跨桥与桥两侧斜坡的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜坡的坡度要减小到1∶4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变(如图).另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜坡上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在A'P上，且不能影响到古树的圆形保护区.已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行.表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1∶201∶161∶121∶101∶8最大高度(m)1.200.900.750.600.30水平长度(m)24.0014.409.006.002.40能力提升全练13.(2023安徽怀远期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，DE⊥AB于点E，若BD=5，cosB=45，求AC的长14.(2022安徽中考)如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上.求A，B两点间的距离.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)15.(2021安徽中考)学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件.零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC=90°，∠BAD=53°，AB=10cm，BC=6cm.求零件的截面面积.参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60.16.(2018安徽中考)为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米?(平面镜大小忽略不计)(结果保留整数.参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)素养探究全练17.线上教学期间，很多同学采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动.如图，当张角∠AOB=150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC=11cm，此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角∠A'OB=108°时(点A'是A的对应点)，用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D.(结果精确到1cm，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)18.知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.∵sinA=ac，sinB=b∴c=asinA，c=∴asinA=(1)拓展探究：如图2，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.请探究asinA，bsin(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC=60m，∠A=75°，∠C=60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离.

第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用答案全解全析基础过关全练1.B∵∠C=90°，sinB=bc，cosB=ac，∴c=bsin2.22解析过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AB=3，sinB=ADAB=2∴AD=AB·sinB=3×23∵在Rt△ADC中，∠C=45°，∴AC=ADsin45°=2223.解析(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，b=23，c=4，∴a=c2−b2=42−(23)2=2∴∠A=30°，∴∠B=90°-30°=60°.（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°.∵tanA=ab=33，b=8∴a83=33，∴a=8.∵sinB=bc=32，b=83，∴83(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=90°-∠A=45°=∠A，∴a=b.∵sinA=ac=22，c=8，∴a8=22，∴a=42，∴4.解析在Rt△ACD中，AD=10，sin∠ADC=45∴AC=AD·sin∠ADC=10×45∴CD=AD2−∵直线DE是AB的垂直平分线，∴DB=DA=10，∴BC=CD+DB=16，在Rt△ABC中，tanB=ACBC=816=∴AC的长为8，tanB的值为125.解析过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D(图略)，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x米，则BD=BA+AD=(500+x)米，在Rt△ACD中，CD=ADtan∠ACD=xtan30°=在Rt△BCD中，BD=CD·tan68°=3x·tan68°(米)，∴500+x=3x·tan68°，解得x=5003·tan68°−1∴潜艇C的下潜深度为154米.6.解析在Rt△ABD中，tan∠ABD=tan42.0°=ADBD∴AD=tan42.0°·BD≈0.9BD，在Rt△BCD中，tan∠CBD=tan36.9°=CDBD∴CD=tan36.9°·BD≈0.75BD，∵AC=AD-CD，∴15=0.15BD，∴BD=100米，∴CD=0.75BD=75米.答：山CD的高为75米.7.解析(1)第二小组的数据无法计算出河宽.(2)选择第一小组.∵∠ABH=∠ACH+∠BHC，∠ABH=70°，∠ACH=35°，∴∠BHC=35°=∠BCH，∴BH=BC=60m，∴AH=BH·sin70°≈60×0.94=56.4(m).选择第三小组.设AH=xm，则CA=AHtan35°≈x0.70m，AB=AHtan70°∵CA+AB=CB，∴x0.70+x2.75=101，解得x≈56.答：河宽约为56.4m.(3)减小误差的合理化建议：为了减小误差可以多次测量取平均值.8.C如图，过O作OC⊥直线AB于C，作BD∥AE，∴OC∥BD，OC∥AE，∴∠DBO=∠BOC=40°，∴O地在B地的北偏东40°方向上，故A错误；∵OC∥AE，∴∠AOC=∠EAO=60°，∴A地在O地的南偏西60°方向上，故C正确；∵∠AOC=60°，∠BOC=40°，∴∠AOB=20°，故B错误；∵∠EAC=90°，∠EAO=60°，∴∠BAO=30°，∴sin∠BAO=12，故D错误解析(1)AB=60×12=30(海里).由题意得∠PAB∠ABP=90°+45°=135°，∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-30°-135°=15°.(2)海监船继续向正东方向航行安全，理由如下：过P作PH⊥直线AB于H，如图：易得△PBH是等腰直角三角形，∴BH=PH，设BH=PH=x海里，在Rt△APH中，tan∠PAB=tan30°=PHAH=33，即xx+30=33，解得x∴海监船继续向正东方向航行安全.10.D∵迎水坡AB的坡度是1∶3，∴BC∶AC=1∶3，∵BC=6m，∴AC=63m，∴AB=BC2+A11.6解析过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD为矩形，∴EF=AD=3米，AE=DF=1米.∵斜坡AB的坡度=1∶1.5，∴BE=1.5米.∵四边形ABCD为等腰梯形，∴FC=BE=1.5米，∴BC=BE+EF+FC=1.5+3+1.5=6(米).12.解析(1)如图，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，由题意得BE=CF=4m，∵斜坡AB的坡度为1∶2.4，即BEAE=1∴AE=4×2.4=9.6(m)，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE=DF=9.6m，∴AB=CD=AE2+BE易知BC=EF，则BC=EF=AD-AE-DF=20.8(m)，∴主跨桥与桥两侧斜坡的长度之和为AB+BC+CD=10.4+20.8+10.4=41.6(m).答：主跨桥与桥两侧斜坡的长度之和为41.6m.(2)连接BB'、CC'，易知B'、B、E三点共线，C'、C、F三点共线，过点N作NG⊥AP于点G，∵斜坡A'B'的坡度为1∶4，B'E=5m，NG=0.9m，∴A'E=4B'E=5×4=20(m)，A'G=4NG=4×0.9=3.6(m)，∴AA'=20-9.6=10.4(m)，∴AG=10.4-3.6=6.8(m)，∴点M到点G的最大距离为25-6.8-3=15.2(m)，∵15.2>14.4，∴轮椅坡道的设计可行.能力提升全练13.解析在Rt△BDE中，cosB=BEBD=45，BD=5，∴∴DE=BD2−∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=3，∴BC=5+3=8，∵cosB=45，∴8AB=∴AB=10，∴AC=102−14.解析如图，∵CE∥AD，∴∠A=∠ECA=37°，∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°，∴∠ABD=90°，易知∠BDC=90°-53°=37°，在Rt△BCD中，CD=90米，cos∠BDC=BDCD∴BD=CD·cos37°≈90×0.80=72(米)，在Rt△ABD中，∠A=37°，BD=72米，tanA=BDAB∴AB=BDtan37°≈720.75答：A，B两点间的距离约为96米.15.解析∵四边形AEFD为矩形，∴AD∥EF，∠E=∠F=90°，∵∠BAD=53°，∴∠EBA=∠BAD=53°，在Rt△ABE中，∠E=90°，AB=10，∠EBA=53°，sin∠EBA=AEAB，cos∠EBA=BE∴AE=AB·sin53°≈10×0.80=8，BE=AB·cos53°≈10×0.60=6，∵∠ABC=90°，∴∠FBC=90°-∠EBA=37°，∴∠BCF=90°-∠FBC=53°，在Rt△BCF中，∠F=90°，BC=6，sin∠BCF=BFBC，cos∠BCF=FC∴BF=BC·sin53°≈6×0.80=245，FC=BC·cos53°≈6×0.60=18∴EF=6+245=545，∴S四边形EFDA=AE·EF=8×545S△ABE=12·AE·BE=1S△BCF=12·BF·CF=12×245×18∴截面的面积=S四边形EFDA-S△ABE-S△BCF=4325-24-21625=531925(cm16.解析由题意易得，在Rt△DEF中，∠FDE=90°，∠FED=45°，∴DE=DF=1.8