23.4 中位线 同步练习

第23章图形的相似23.4中位线基础过关全练知识点1三角形的中位线1.(2023山西省实验中学期末)如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为()A.4 B.5 C.8 D.102.(2023四川眉山仁寿一中月考)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，S四边形BCED=15，则S△ABC=()A.30 B.25 C.22.5 D.203.如图，要测量池塘岸边相对两点A、B间的距离，现做如下操作：延长BA到点M，延长AB到点N.连结DM并延长到点E，使DM=ME；连结DN并延长到点F，使DN=NF，连结EF.测量得知AM=7m，BN=4m，EF=52m，则A、B两点间的距离为m.

4.(2022吉林长春东北师大附中净月实验学校期中)如图所示，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，DC=AC=10，且ADBD=32，作∠ACB的平分线CF交AD于点F，CF=8，E是AB的中点，连结EF，则EF的长为5.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点.延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F.(1)求证：∠AEN=∠F；(2)若∠A+∠ABC=122°，求∠F的大小.知识点2三角形的重心6.(2023福建泉州晋江一中期中)如图，G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E两点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为()A.6 B.8 C.9 D.187.(2022上海黄浦期末)如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，如果△AOE的面积是4，那么四边形OECD的面积是.

能力提升全练8.(2022浙江丽水中考)如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是()A.28 B.14 C.10 D.79.(2022河南开封兰考模拟)如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A'、B'、C'分别为EF、EG、GF的中点，如果△ABC、△EFG、△A'B'C'分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是()A.64×12n B.64×12n−1 C.32×[变式](2023河北石家庄高邑期末)如图，依次连结第一个矩形各边中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第2023个矩形的面积为.

10.(2023吉林长春净月模拟)在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连结DE，DF，EF，请你添加一个条件：，使△BED与△FDE全等.

11.(2022湖北荆门中考)如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG∶GD=BG∶GE=CG∶GF=2∶1.已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为.

12.(2022河南南阳模拟)如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连结EF、FG、GH、HE.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部、在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3，则其中四边形EFGH还是平行四边形吗?选择其中之一说明理由.图1 图2 图3素养探究全练13.(2023吉林长春榆树期末)[教材呈现]下面是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.[猜想]如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点.根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE=12对此，我们可以用演绎推理给出证明.证明：在△ABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴ADAB=AEAC=请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程. 图① 图②[结论应用]如图②，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD.(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若△ADE的面积为12，则四边形DEFG的面积为.

第23章图形的相似23.4中位线答案全解全析基础过关全练1.B∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴FD、FE、DE为△ABC的中位线，∴DF=12AC，FE=12AB，DE=1∴DF+FE+DE=12AC+12AB+12BC=12(AB+AC+CB2.D∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC∴S△ADE∶S四边形BCED=1∶3，即S△ADE∶15=1∶3，∴S△ADE=5，∴S△ABC=5+15=20.3.15解析∵DM=ME，DN=NF，∴MN是△DEF的中位线，∴MN=12EF=12∵AM=7m，BN=4m，∴AB=26-7-4=15m，故A、B两点间的距离为15m.4.4解析∵DC=AC=10，CF平分∠ACB，∴F为AD的中点，CF⊥AD，∴∠CFD=90°，∵DC=10，CF=8，∴DF=CD2∴AD=2DF=12，∵ADBD=3∴BD=8，∵点E是AB的中点，点F为AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=12BD=45.解析(1)证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，∴PM∥BC，PM=12BC∴∠PMN=∠F，同理PN∥AD，PN=12AD∴∠PNM=∠AEN，∵AD=BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM，∴∠AEN=∠F.(2)∵PN∥AD，∴∠PNB=∠A，∵∠DPN是△PNB的一个外角，∴∠DPN=∠PNB+∠ABD=∠A+∠ABD，∵PM∥BC，∴∠F=∠PMN，∠MPD=∠DBC，∴∠MPN=∠DPN+∠MPD=∠A+∠ABD+∠DBC=∠A+∠ABC=122°，∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM=12×(180°-122°)=29°∴∠F=∠PMN=29°.6.C如图，连结AG并延长，交BC于H，∵G为△ABC的重心，∴AG=2GH，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，ADAB=AGAH=∴△ADE与△ABC的面积之比为49∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为9.7.8解析∵在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴AO∶OD=2∶1，BO∶OE=2∶1，∵△AOE的面积是4，∴△AOB的面积=2×△AOE的面积=8，∴△BOD的面积=12×△AOB的面积=4∴△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12，∴△ADC的面积=△ABD的面积=12，∴四边形OECD的面积=△ADC的面积-△AOE的面积=12-4=8.能力提升全练8.B∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴DE=BF=12AB=3，EF=BD=12BC∴四边形BDEF的周长为2×(3+4)=14.9.B∵E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴EF=12BC，EG=12AC，FG=1∴△EFG的周长为64×12，同理可得△A'B'C'的周长为64×122，……，则第n[变式]1解析已知第一个矩形的面积为1，第二个矩形的面积为122×2−2=14，第三个矩形的面积为122×3−2=116，……，故第n个矩形的面积为122n10.答案不唯一，如D是BC的中点解析答案不唯一.∵E，F分别是边AB，AC的中点，∴EF∥BC，当E，D分别是边AB，BC的中点时，ED∥AC，∴四边形BEFD是平行四边形，∴△BED≌△FDE.11.18解析∵CG∶GF=2∶1，△AFG的面积为3，∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6=9，∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积=△BCF的面积，∴△ABC的面积为9+9=18.12.解析(1)证明：如图1，连结AC，∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△DAC的中位线，∴EF∥AC，EF=12AC，HG∥AC，HG=12∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形.(2)四边形EFGH还是平行四边形，以题图2为例，理由如下：如图2，连结AC.在△BAC中，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=12在△DAC中，∵H、G分别为AD、CD的中点，∴HG∥AC，HG=12AC∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形.图1 图2素养探究全练13.解析[猜想]证明：在△ABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴ADAB=AEAC=∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，DEBC=ADAB=∴DE∥BC，且DE=12[结论应用](1)证明：∵BD、CE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=12BC.∵F、G分别是BO、CO的中点∴FG是△BCO的