安徽省合肥市某中学2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题（含答案解析）

安徽省合肥市滨湖寿春中学2023-2024学年九年级上学期期末

考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

第B尔心形线

斐波那赞蟠旋线

科金曲线

2.抛物线>=。-2）2-1的顶点坐标是（）

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(2,1)D.(2,-1)

3.若二次函数y=f+3的图象经过点（3,%）,则必与力的大小关系为（）

A.B.%>%c.yt<y2D.无法确定

4.在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与

全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高度为4m,那么它的

下部应设计的高度为（）m.

A.275-3B.275-2C.75-1D.^5-0.5

23

5.如图，已知A是双曲线>=—（%>0）上一点，过点A作45〃1轴，交双曲线歹=-一（x<0）

于点3,贝IJV/O5的面积为（）

试卷第1页，共6页

A.1B.2C.2.5D.5

下列结论错误的是（）

B.sinC=N^~

A.sinB=—C.tanB=—D.cosB-2#

3525

那么函数片/+Q+C的图像是（)

8.如图，的斜边与半圆的直径重合放置，=90。，点M为45上任意一

点，连接CM交半圆于N点，连接BN,若N4BC=35。，则/5NC的度数为（）

A.60°B.55°C.50°D.30°

试卷第2页，共6页

9.如图，在中，ZABC=90°,45=4,BC=3,F为BC上一点,连接4尸，M

为线段Z尸上一点，作MNLAB,作HM〃AB,若HM=2MN,则8尸的长为（）

B.1C.1.2D.1.5

10.如图，在四边形ZCAE1中，AB、CE交于点。，。在CE上且——二——，ZEAB=ZCAD,

AEAB

则以下结论不一定成立的是（)

A./OCB=/CAD

B.AD=CD

C.AOBO=COEO

D.S丛AOE'S^BOC~S^BOE'^/\AOC

二、填空题

x—V

11.如果X：＞=5:3,那么---=.

y

12.如图，一朵小花到照相机镜头的距离45为15cm,镜头到传感器的距离为10cm.若

小花高3cm,则小花在传感器上的高度为

影

像

传

感

器

13.如图，尸是圆。的直径45上一点，9与圆。相切于点连接/尸=30。，

若PM=2日则4M的长为

试卷第3页，共6页

14.若二次函数y=/-2x+m的图像经过N(-1,O),直线/经过2(-4,-4),C(3,〃)两点.

(1)m=；

(2)当04x44时，直线/与y=x?-2x+川的图像只有一个交点，则〃的取值范围_____

三、解答题

15.计算：(兀-3)°+(应)-Jsin45。.

16.已知抛物线与x轴交于(1,0)、(5,0)两点，与V轴交点的纵坐标为5,求抛物线解析式.

17.如图所示，网格图中每个小正方形的边长为1,以△048的顶点O为坐标原点，A、B

两点都在格点上，小正方形一条边所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.

(1)将△ON8绕点。顺时针旋转90。，画出相应的图形ACM#；并写出4、片坐标;

⑵以点。为位似中心，在x轴的下方将V/08放大为原来的2倍，画出相应的图形△。4鸟；

并写出4、星坐标.

18.如图，。。的直径AB=10CM,弦长AC=6cm,NACB的平分线交。O于点D.

试卷第4页，共6页

D

(1)求BC的长.

(2)求AABD的面积.

19.如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山A处的位置向乙山8处拉一段缆绳.已知

甲山上A点到的垂直高度/C=100米；从。处往B处看的仰角为60。，乙山上3点到河

边。的距离AD=500米，从8处看A处的俯角为25。.(A、B、C、。在同一平面内，参

⑴求乙山8处到河边CO的垂直距离(结果保留根号)；

(2)求甲山与乙山所拉缆绳N8的长度(结果保留整数).

20.如图，一次函数V=的图象与反比例函数y=—的图象交于/(a,2),2(-2,6)两点.；

⑴求反比例函数的表达式；

⑵直接写出不等式X-1N%的解集.

X

21.如图，已知在V48c中，尸是BC上一点，连接/P使得NC4尸=N/3C.

试卷第5页，共6页

A

(1)求证：AC1=PCBC\

4

(2)若ZB=/C=5,sinZABC=-,求tanZAPC.

22.2023年12月31日，甘肃发生4.9级地震.某商场为了将利润捐献给灾区，特准备以26元

的价格购进一种商品，对外试销售过程中发现，这种商品每天的销量＞(件)与每件的售价

x(元)满足以下表格中的一次函数关系：

X(元)3040

y(件)366

(1)求〉关于尤的函数解析式；

(2)求商场卖这种商品每天的销售利润卬与每件的售价x间的函数关系式；

(3)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利

润为多少？

23.在RtZ\/BC中，ZCBA=90°,ABAC=45°,点M为线段BC上一动点.N在4C和

的垂直平分线上."N交/C于点O,如图1.

图1

⑴①若/M0c=75。，则=

②若NNMC=a,求NNAB(用含有a的式子表示);

(2)求证：ANAOsgAM；

(3)如图2：连接A®,交NC,于P,0两点，若AMNC恰好为等边三角形，求冬的

值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案DDCBCABBCB

1.D

【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形指的是延某条直线折叠，

两边的图形能够完全重合；将图形旋转180。，能够与原图形重合的图形叫做中心对称图形,

掌握定义是解题的关键.根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一•判断即可.

【详解】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

B.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；

故选：D.

2.D

【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的

关键.根据二次函数的性质即可求解.

【详解】解：••・抛物线y=a(xi)2+左的顶点坐标是仅㈤，

.­■抛物线y=(x-2)2-l的顶点坐标是(2,-1),

故选：D.

3.C

【分析】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数>=/+3的对称轴为y轴，以

及开口向上可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可.

【详解】解：•.•二次函数解析式为：J=X2+3,

...对称轴为>轴，

点(-1,乂)到对称轴的距离小于点(3①)到对称轴的距离，

V«=l>0,

•••%<为，故c正确.

故选：C.

4.B

答案第1页，共18页

【分析】本题主要考查了黄金分割，设它的下部应设计的高度为由，则雕像的上部为

4_丫Y

（4-x）m,根据题意得到==解方程即可得到答案.

x4

【详解】解：设它的下部应设计的高度为Q,则雕像的上部为（4-x）m,

由题意得，口4—Y=Y

x4

・•・X2+4X-16=0,

解得x=—2+2括或%=—2—2石（舍去），

它的下部应设计的高度为卜2+26卜n,

故选B.

5.C

【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，关键是表示出48两点的坐标.

首先根据42点所在位置设出42两点的坐标，再表示出OP=m,根据三角形面

m

积计算公式进而求解.

2

【详解】解：TA点在双曲线＞=—（x＞0）上一点，

x

・••设，加；

轴，B在双曲线y=-—。＜0）上，

X

1---，加），

则国403=；鬃50P-（碎m-|-=2.5,

22m2

故选：C.

6.A

【分析】本题考查网格中的锐角三角函数.利用勾股定理求出/2,/C,3C,勾股定理逆定

理，得到NA4C=90。，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可.

【详解】解：由图，可知：AB=A/22+22=2y/2,AC=^2+12=^,BC=^2+12=TcT，

...AB2+AC2=BC2,

：.ABAC=90°,

答案第2页，共18页

km八江=正…叱=必=拽…,"坐=拽，tan”*：,

BC5BC5BC5AB2

综上：只有选项A是错误的,

故选A.

7.B

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，能够判断直线

y=bx+a+c中6<0,a+c>0是解题的关键.

利用二次函数的图象判断6<0,。>0,c>0,a+c>0,据此即可得出结论.

【详解】解：,•,抛物线开口向上,

:.a>0,

:对称轴在y轴的右侧,

.卫>0,

2a

:.b<0,

:抛物线与歹轴交于正半轴,

c>0,

a>Q,c>0,

:.a+c>Q,

函数》=bx+a+c的图象经过第一、二、四象限,

故选：B.

8.B

【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键.

根据4402=90。，以点O为圆心的半圆。的直径和A3重合，可知点C在以点。为圆上，由

4BC=35。，得NCAB=55°,根据同弧所对的圆周角相等即可求解.

【详解】解：：N/CB=90。，以点O为圆心的半圆。的直径和NB重合，

...点C在以点。为圆心的圆上，

•/ZABC=35°,

：.NCA8=180°-35°-90°=55°,

,-CB=CB^

：.ABNC=ABAC=55°,

故选：B.

答案第3页，共18页

9.C

【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质和判定是解题的

关键.

4

设=x，则=延长JW交ZC于点。，证明从而得到/N二—ON,

3

再证明VOMHSVQM4,得至ij也=必，从而得出。M=3%,DN=-x,证明

DNAN22

YAM101°Y

NAMN^AFB,得出/-==.从而得出4N=—x,再根据x_丁\即可求解.

FB43----=------

BF4

【详解】解：・・,"M=27W,

设MN=x,贝ijEVf=2x,

如图，延长Ml/交4C于点。，

MNLAB

ZMNA=90°,

在和中,

/DAN=/CAB

ZDNA=ZCBA

:NADNsYACB,

ANDNANDN

：.——=——，即nn——=——

ABCB43

4

AN=-DN,

3

HM//AB,

ZDHM=ZDAN,

在/\DMH和ADNA中

ADHM=ADAN

ZHDM=ZADNf

答案第4页，共18页

.-.vDMHsVDNA,

DMMHnnDM2x

,,DNAN'DNAN'

4

QAN=-DN,

3

3

：.DM=-x,

2

35

:.DN=DM+MN=-x+x=-x,

22

在△4W和中

ZMNA=ZFBA

/MAN=ZFAB

：.VAMN^AFB，

MNAN0.xAN

：.---=——,即一=——

FBABFB4

..DM2x

•DN~AN"

3

—x

22x

5AN

—x

2

AN=—x,

3

10

——x

x

=3

BF4

3

：.BF=4x—=1,2,

10

故选：C.

10.B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角对等边.熟练掌握相似三角形的判定与

性质是解题的关键.

证明AE/BSAO/C,则=证明ABOESACOZ,则一=一,即

COAO

RCro

AOBO=COEO,可判断C的正误；由一二—，ZBOC=ZEOA,证明△80。/^月0,

EOAO4

贝=ZOCB=ZCAD,可判断A的正误；设A到C£上的高为4,8到CE上

的高为仁由-%一℃•%SABOE-SAAOC=-^OE-11,-06h,可得

答案第5页，共18页

S~O『SABOC=SABOE.S^OC，可判断D的正误；当乙4CD=/C4。时，AD=CD,由

ZACD,NC4。的大小关系不确定，可知/Z)=CD,不一定成立，可判断B的正误.

【详解】解：・・•把="，/EAB=/DAC,

AEAB

AEABS^DAC,

・・・ZEBA=ZDCA,

ABOE=ACOA,ZEBO=ZACO,

ABOES^COA，

RCFC

,即/O.8O=CO-EO,C成立，故不符合要求；

OCyACy

.BOCO

•・茄一茄’

XVNBOC=/EOA,

・•・ABOCSAEOA,

・•・ZOCB=ZOAE,

：・/OCB=/CAD,A成立，故不符合要求；

设A到CE上的高为〃-5到CE上的高为〃2，

：•S/\AOE.SABOC=]°E飞•瓦，S&BOE.AOC=~^°E・瓦—RCh,

••^/\AOE-^ASOC=^ABOE-^AAOC'D成"，故不符合要求；

当乙4CD=NC4D时，AD=CD,

1/ZACD,ACAD的大小关系不确定，

/.AD=CD,不一定成立，故B符合要求；

故选：B.

2

11.-

3

【分析】根据工？=5：3得到x=g>,把它代入后面的式子求出比值.

【详解】解：：x：y=5:3,

3x=5y,即％=,

5

—y—yc

x-y_3--_2.

y一y一§

答案第6页，共18页

2

故答案是：

【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质.

12.2cm

【分析】本题考查了相似三角形的应用.熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键.

根据小花的高度与长的比等于小花在传感器上的高度与长的比求解作答即可.

【详解】解：设小花在传感器上的高度为xcm,

3x

依题意得，

解得，x=2,

故答案为：2cm.

13.2G

【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切

线垂直于经过切点的半径；连接,根据切线性质得/(WP=90。，再根据直角三角形的

锐角互余得/尸。〃=60。，根据圆周角定理进而求得/。4/=30。，然后根据等腰三角形的判

定解答即可.

【详解】解：连接0〃,

PW与圆。相切于点

ZOMP=90°；

NP=30°,

ZPOM=60°；

：.ZOAM=-ZPOM=3cp,

2

ZP=ZOAM,

AM=PM；

PM=2班,

AM=2拒;

答案第7页，共18页

故答案为：26.

931、

14.-3——<n<——或〃=一4

48

【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的解析式求解等知识

点，解题的关键是数形结合.

（1）将4（一1,0）代入>=/一2%+次即可求解；

（2）结合图象分别求出直线/经过2（-4,-4）,。（0,-3）两点时，经过8（-4,-4）,（4,5）两点

时，经过8（-4,-4）,尸。，-4）两点时，〃的值即可解答.

【详解】解：（1）将代入y二川一2x+加得:0=1+2+m,

解得：加=—3,

故答案为：-3；

（2）由（1）得，二次函数解析式为2x-3,

令x=0,则尸-3,二次函数与〉轴交点坐标为。（0,-3）,

令1=4,贝！J>=5,

当直线/经过5（-4,-4）,。（0,-3）两点时，

设直线/的解析式为>=日-3,

将8（-4,-4）,代入得一4=-4左-3,解得：左=；,

故此时直线I的解析式为N=J尤-3,

4

9

令x=3,贝!]»二—:，

4

9q

即C（3,-：）,n=此时，直线/与了=x2-2x-3的图像有两个交点，

当直线/经过8（-4,-4）,£（4,5）两点时，

设直线/的解析式为>=心+占，

rL=2

将3（-4,-4）,£（4,5）代入得，解得：:，

D—n-Dj1

ib=—

[2

一

故此时直线I的解析式为>=J9%+：1，

o2

答案第8页，共18页

令x=3，则了=彳，

O

3131

即C'(3,?),"=?,此时，直线/与了=尤2-2%-3的图像只有一个交点，

,.>=(X-1)2-4,

顶点坐标为尸(1,-4),

根据图象可得，当直线,经过以-4,-4),尸(1,-4)两点时，直线/与y=x2-2x-3的图像只有

一个交点，

此时直线/的解析式为>=-4,

故C"(3,-4),n-=-4；

综上，根据图象可得：当0VxW4,直线/与产？-2%-3的图像只有一个交9点时?31

或"=一4,

Y/F\C"

931

故答案为：--<n<--^n=-4.

48

15.1

【分析】分别计算零指数累，负整数指数幕,特殊角的三角形函数值，然后进行加减运算即

可.

【详解】解：(7i-3)°+(V2)-1-sin45°

答案第9页，共18页

=1.

【点睛】本题考查了零指数幕，负整数指数幕，分母有理化，特殊角的三角形函数值等知识.熟

练掌握零指数塞，负整数指数累，分母有理化，特殊角的三角形函数值是解题的关键.

16.y=x2-6x+5

【分析】该题主要考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的图象和性质，解题的关键是

掌握待定系数法求解二次函数解析式.

根据抛物线与X轴的交点设二次函数的解析式为y=a(xT)(x-5),再代入(0,5)即可求解.

【详解】解：,••抛物线与x轴的交点是(1,0),(5,0),

可设二次函数的解析式为＞=-l)(x-5),

..•抛物线与〉轴交点的纵坐标为5,

...与N轴的交点是(0,5),

.•.5=。(0-1)x(0-5),解得：a=l.

•••二次函数的解析式为V=(x-1)(尤-5)

即：y=x2—6x+5.

17.⑴见解析，4(-3,2),巴(-1,-2)

(2)见解析,4(*6),52(4,2)

【分析】本题考查了旋转作图，作位似图形，点坐标等知识.熟练掌握旋转作图，作位似图

形是解题的关键.

(1)根据旋转的性质作图并作答即可；

(2)根据位似的性质作图并作答即可.

【详解】(1)解：由旋转的性质作图，如图I,A。/#即为所作，

答案第10页，共18页

图1

A4(-3,2)51(-1,-2)；

(2)解：由位似的性质作图，如图2,ZiOa当即为所作;

图2

.,-4H-6),4(4,2).

18.(1)BC=8cm；(2)Z\ABD的面积=25.

【分析】(1)根据圆周角定理可得/ACB=/ADB=90。，利用勾股定理求出BC的长即可.

(2)由CD平分NACB可得缸)=缸)，即可得出AD=BD,利用勾股定理可求出AD的长,

利用三角形面积公式即可得答案.

【详解】(1);AB是直径

答案第11页，共18页

，/ACB=NADB=90°

在RtZ\ABC中，AB2=AC2+BC2,AB=10cm,AC=6cm

.,.BC2=AB2-AC2=102-62=64

/.BC=V64=8(cm).

(2)；CD平分/ACB,

,而=M

/.AD=BD,

又•在Rt/XABD中，AD2+BD2=AB2

/.AD2+BD2=102

.".AD=BD==5V2(cm).

.♦.△ABD的面积=；x(5亚)2=25.

DI

c

【点睛】本题考查圆周角定理及对圆心角，圆周角，弧和弦的关系的理解，直径所对的圆周

角是直角；在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有

一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

19.(1)250A/3

(2)813

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

(1)过点8作8E，CD,垂足为E,根据已知可设BE=G左米，则。E=左米,然后在母ABDE

中，利用勾股定理进行计算即可解答；

(2)过点N作//J_2E,垂足为R根据题意可得：AF=CE,/C=EF=100米，BG//AF,

从而可得N/2G=/A4F=25。，再利用(1)的结论可得8尸=325米，然后在RtA48尸中，

利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答.

【详解】(1)如图，过点8作BELCD,垂足为E,

答案第12页，共18页

,/从D处往B处看的仰角为60。,

BFr-

：.tan/BDE=——=J3,

DE

:.设BE=®i米,则。E=左米，

在R3BDE中，BD=个DE。+BE。=百左/+F=2%（米）,

：AD=500米，

左=250,

：•BE=250拒米,

，乙山3处到河边CD的垂直距离为250>/3米；

由题意得：AF=CE,NC=M=100米，BG//AF,

：.NABG=ZBAF=25°,

BE=250GB425米，

BF=BE-EF^425-100=325（米），

RF325

在RtA/M中，AB=--------B—。813.（米），

sin25°0.4

甲山与乙山所拉缆绳N2的长度约为813米.

6

20.⑴片一

x

⑵-24x<0或x»3

【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，能用待定系数法求出函数的解析

式是解此题的关键..

（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得°、6值，进而利用待定系数法求解即可；

（2）根据图象，只需找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范

围即可求解.

答案第13页，共18页

【详解】(1)•••A(a,2),2(-2,6)在一次函数y=x-l的图象上,

「•a=3,b=—3,

.•.4(3,2),5(-2,-3),

・・•/(3,2)在反比例函数>='的图象上，

X

:.m=6,

反比例函数的表达式为y=9；

(2)解：观察图象，当-2Vx<0或X23时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，

*,•不等式的解集是-2Wx<0或x>3.

21.⑴见详解

24

⑵了

【分析】(1)证明△/BCsWc,根据相似三角形的性质即可证明；

(2)根据△/BCSAP/C和48=/C=5得出N4PC=NA4C,过点C作根据

4

sinZABC=y,AB^AC=5,在放中，结合勾股定理求出,根据

tanZAPC=tanABAC即可求解.

【详解】(1)证明：；NG4P=N4BC,ZC=ZC,

，AABCs&AC,

.ACBC

,•正一就‘

AC-=PC-BC；

(2)解：由(1)知△4BCSAP/C,

ZAPC=ZBAC,

过点C作CH，,

5

答案第14页，共18页

..//_CH_4

・.sin/4BC=---=一,

BC5

设C〃=4x,BC=5x,

则BH=1BC?-CH2=3x，AH=AB-BH=5-3x,

在QAZC”中，AC2=AH2+CH2,即52=(4x『+(5-3x)2,

解得：x=g或0(舍去),

247

：.CH=—,AH=—,

55

24

tanZAPC=tanNBAC=-：

AHT

【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次

方程等知识点，解题的关键是证明三角形相似.

22.(l)y=-3x+126

(2)W=-3X2+204X-3276

(3)每件商品的售价定为34元最合适，最大销售利润为192元

【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值.熟练掌握一次函

数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键.

(1)待定系数法求解析式即可；

(2)依题意得，w=-26)(-3%+126)=-3x2+204x-3276；

(3)由题意知，w=-3x2+204x-3276=-3(X-34)2+192,然后求解作答即可.

【详解】(1)解：设》关于x的函数解析式为

30左+6=36

将(30,36),(40,6)代入得,

4Qk+b=6

k=-3

解得,

6=126'

y=一3%+126；

(2)解：依题意得，w=(x-26)(-3x+126)=-3%2+204x-3276,

2

7.W=-3X+204X-3276;

(3)解：由题意知，w=-3x2+204.x-3276=-3(x-34)2+192,

答案第15页，共18页

"?a=-3<0,

当尤=34时，w的值最大，最大值为192,

二每件商品的售价定为34元最合适，最大销售利润为192元.

23.⑴①30；②a

⑵见解析

V|+l

2

【分析】（1）由题意知，ZBCA=45°,由N在NC和的垂直平分线上，可得

NC=NA=NM,则=ZNMA=ANAM,ZNCM=UNMC,Q）"NMC=75。,

可得NNCM=75。，则NAO=401—40=30。，ZNAC=30°；②同理①可得

ANAC=ANCA,ZNAB=ZNAC+ZCAB,求解作答即可；

（2）设2NMC=a,由（1）可知，ZNAC=ANCA=«-45=,贝l],由题意知，

ZCNM=180°-ZNMC-ZNCM=180°-2a,则Zz42Vo=Z^VC—NOW=90°,即

1Q0O_/4NO

ZANO=ZABM,由题意得，NNAM=ZNMA=-----------------=45°,由

2

ZNAO=ZNAM-ZOAM=45°-ZOAM,ZBAM=ABAC-AOAM=45°-Z.OAM,可得

ZNAO=ZBAM,进而结论得证；

（3）证明3N垂直平分NC,即P是NC的中点，NABN=NCBN=；NABC=45°,如图1,

作尸E〃C8交于E,则