2023届北京市高考数学一轮复习模拟卷（二）

2023届高考数学一轮复习收官卷（二）（北京卷）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.）

1.（2022•北京•高三阶段练习（文））己知集合。={尤3Vx＜2},A={-1,1},则"A=（）

A.（-3,-2,0}B.{-2,0}

C.{-3,0}D.{-2,-1,0,1）

2.（2022・北京•高三学业考试）对于正整数n,记不超过n的正奇数的个数为K（n）,如K⑴=1,则K（2022）=

（）

A.2022B.2020C.1011D.1010

3.（2022•北京四中高三期中）已知复数z满足（l+2i）z=2+i,则忖=（）

A.@B.1C.75D.5

5

4.（2022•北京・北师大实验中学高三期中）若等差数列{q}满足%+。8+%＞。，%+%0＜。，则当{凡}的前

”项和的最大时，〃的值为（）

A.7B.8C.9D.8或9

TT

5.（2022•北京・汇文中学高三期中）定义:角。与夕都是任意角，若满足9+0=5，则称。与。“广义互

余”.已知sina=],下列角夕中，可能与角a“广义互余”的是（）.

4

A.sin（3=B.cos（乃+£）=：C.tan/3=D.tanP=

6.（2022•北京市第二十二中学高三开学考试）如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个

倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为（）

7.（2022•北京密云.高三期中）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴

赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“（大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有

其他因数的自然数叫做素数），如36=5+31.在不超过36的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于

36的概率是（）

8.（2022•北京市育英学校高三开学考试）若不等式加+6无+c>o的解集为（二,，则+£<（）成

\1Jaa

立的一个必要不充分条件是（）

A.—<x<3B.—<x<0

22

C.-3<x<—D.—1<x<6

2

9.（2022.北京石景山.高三专题练习）已知各项都不相等的数列三｝｛〃=1,2,3...,2015）,圆

2221

Cl：x+y-4x-4y=0,0C2:x+y-2anx-2a2m6_ny=0,若圆C?平分圆G的周长，则｛。“｝的所有项的和

为（）

A.2014B.2015C.4028D.4030

10.（2022.北京一七一中高三期中）如图，在棱长为。（。>0）的正四面体A3CD中，点与、G、R分别

在棱AB、AC,AD上，且平面平面BCD,4为内一点，记三棱锥A-耳G2的体积为V,

AF）

设聚=X,对于函数v=/（x）,贝I（）

7

A.当x时，函数f（x）取到最大值

B.函数/（尤）在gj上是减函数

C.函数的图象关于直线x=g对称

D.存在％,使得（其中匕一sc。为四面体ABCD的体积）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）

11.（2022•北京市第一六一中学高三期中）已知二项式，+（〃eN*）展开式中含有常数项，则〃的最

小值为•

12.（2022•北京通州.高三期中）己知矩形ABCD,A5=3,AD=4.P为矩形ABC。所在平面内一点，E4=l,

PC=2A/6.则屈屈=.

13.（2022•北京一^t一中高三期中）如果双曲线的离心率e=^口，则称此双曲线为黄金双曲线.有以

2

22,2

下几个命题：①双曲线j-i是黄金双曲线；②双曲线/-葛一1是黄金双曲线；③在双曲线

。一与=1伍>0,6>0）中，B为左焦点，上为右顶点，8/（0,b）,若/乃8加=90。，则该双曲线是黄金双

ab

22

曲线；④在双曲线=-二=1m>0,b>0）中，过右焦点仍作实轴的垂线交双曲线于M,N两点，。为坐标

ab

原点，若/MON=120。,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为.

x—2xx>a,

14.（2022•北京市第五中学三模）已知函数/（x）=2]给出下列四个结论：

[-X-2x,x<a.

①存在实数4，使函数/（刈为奇函数；

②对任意实数。，函数/（x）既无最大值也无最小值；

③对任意实数。和％,函数丫=/（X）+3总存在零点；

④对于任意给定的正实数加，总存在实数。，使函数”无）在区间（-1,刈）上单调递减.其中所有正确结论的序

号是.

15.（2022.北京丰台.一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-AgGR中，M,N分别是棱A2的

中点，点尸在线段CM上运动，给出下列四个结论：

BC

①平面CMN截正方体ABCD-A耳GA所得的截面图形是五边形;

②直线BR到平面CMN的距离是变；

2

③存在点尸，使得/4犬口二90。；

④△PDA面积的最小值是九5.

6

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题（共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

16.（2022•北京J01中学三模）己知函数/（x）=cosx（2Hsinx+cosx）-sin2x.

（I）求函数的单调递增区间和最小正周期；

（II）若当xe0,1时，关于x的不等式“X”机,求实数机的取值范围.

请选择①和②中的一个条件，补全问题(II),并求解.其中，①有解；②恒成立.

17.(2022・北京•高三专题练习)如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形,

/ABC=120°,AB=l,BC=4,PA=y/15,M,N分别为8cpe的中点，PDLDC,PMYMD.

(D证明：ABYPM-,

(2)求直线AN与平面PD暇所成角的正弦值.

18.(2022•北京市第十中学高三期中)某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区造机抽取了400

名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据

按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：

/地区8地区

(1)从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率.

(2)从2地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X,求X的分

布列和数学期望.

(3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户

对该公司产品的评分的平均值为4,3地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为〃,，以及A2

两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为〃°,试比较〃。和乙詈的大小，并说明理由.

22

19.(2022・北京师范大学第三附属中学模拟预测)椭圆C：1+口=1(。＞。＞0)的右顶点为8(2,0),离心

ab~

率为3.

2

(1)求椭圆C的方程及短轴长；

(2)已知：过定点42,3)作直线/交椭圆C于。，E两点，过E作的平行线交直线于点孔设E尸中

点为G,直线与椭圆的另一点交点为若四边形尸为平行四边形，求G点坐标.

20.(2022•北京・北师大二附中三模)已知函数"x)=e'(l+〃dnx),其中加＞0,尸(x)为〃x)的导函数.

⑴当机=1,求在点(L〃l))处的切线方程；

(2)设函数刈尤)=/与，且恒成立.

e2

①求机的取值范围；

②设函数“X)的零点为％,广(X)的极小值点为玉，求证：

21.(2022•北京房山•一模)若无穷数列｛七｝满足如下两个条件，则称｛"“｝为无界数列：

①4>0(w=l,2,3..)

②对任意的正数5,都存在正整数N,使得4,>5.

⑴若。,=2〃+1,2=2+cos(〃)(n=l,2,3......),判断数列｛七｝,｛〃,｝是否是无界数列;

(2)若。“=2〃+1,是否存在正整数左，使得对于一切都有幺+生+…+&<"T成立？若存在，求

〃2。3an+\

出女的范围；若不存在说明理由；

⑶若数列｛%｝是单调递增的无界数列，求证：存在正整数机，使得幺+殁+...+9<〃2-1.

“2〃3%+1

2023届高考数学一轮复习收官卷(二)(北京卷)

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.）

1.（2022・北京•高三阶段练习（文））己知集合"={尤eZ|-3Vx<2},A={-1,1},则24=（）

A.{-3,-2,0}B.{-2,0}

C.{-3,0}D.{-2,-1,0,1）

【答案】B

【详解】因为〃={-2,—1,0,1},A={-1,1},

2.（2022・北京•高三学业考试）对于正整数n,记不超过n的正奇数的个数为K（〃），如K⑴=1,则K（2022）=

（）

A.2022B.2020C.1011D.1010

【答案】C

3.（2022•北京四中高三期中）已知复数z满足（l+2i）z=2+i,则忖=（）

A.旦B.1C.75D.5

5

【答案】B

4.（2022.北京・北师大实验中学高三期中）若等差数列{见}满足%+08+%>0,%+阳<0,则当{4}的前

九项和的最大时，〃的值为（）

A.7B.8C.9D.8或9

【答案】B

TT

5.（2022•北京・汇文中学高三期中）定义：角夕与。都是任意角,若满足6+9=5，则称6与。“广义互

余”.已知下列角夕中，可能与角八广义互余”的是（）.

A.sinP=B.cos（/r+/?）=；C.tanp=~~~D.tan夕

【答案】A

6.（2022•北京市第二十二中学高三开学考试）如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个

倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为（）

B.407rC.84%D.727r

【答案】D

7.（2022•北京密云•高三期中）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴

赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有

其他因数的自然数叫做素数），如36=5+31.在不超过36的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于

36的概率是（）

A4e424

A.—B.—C.—D.—

11553345

【答案】B

8.（2022•北京市育英学校高三开学考试）若不等式a?+6尤+c>0的解集为则无2+2》+£<。成

\2Jaa

立的一个必要不充分条件是（）

A.—<x<3B.—<x<0

22

C.—3<x<—D.—1<x<6

2

【答案】D

9.（2022.北京石景山.高三专题练习）已知各项都不相等的数列=2,3...,2015）,圆

2222

q:x+y-4x-4y=0,0C2:x+y-2anx-2a20l6_ny=0,若圆C2平分圆C1的周长,则｛%｝的所有项的和

为（）

A.2014B.2015C.4028D.4030

【答案】D

10.（2022•北京一七一中高三期中）如图，在棱长为的正四面体ABCD中，点用、1、，分别

在棱AB、AC,AD1.,且平面旦G。〃平面BCD,A为△BCD内一点，记三棱锥A-ACQ的体积为V,

设条■=无，对于函数V=/（x），贝I（）

2

A.当x=］时，函数f（x）取到最大值

B.函数“X）在上是减函数

C.函数“X）的图象关于直线x对称

D.存在%,使得（其中匕一88为四面体ABC。的体积）

【答案】A

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）

11.（2022•北京市第一六一中学高三期中）已知二项式,+J]（〃eN*）展开式中含有常数项，则〃的最

小值为•

【答案】6

12.（2022•北京通州•高三期中）已知矩形ABCD,AB=3,AD=4.P为矩形ABCD所在平面内一点，PA=1,

PC=276.则而屈=.

【答案】0

13.（2022.北京一^t一中高三期中）如果双曲线的离心率则称此双曲线为黄金双曲线.有以

2

22

下几个命题:①双曲线三-看=1是黄金双曲线;②双曲线V-=1是黄金双曲线；③在双曲线

二一当=130,6>0）中，B为左焦点，42为右顶点，Bi（0,b）,若/、8加=90。，则该双曲线是黄金双

ab

22

曲线；④在双曲线鼻-2=1（。>0,b>0）中，过右焦点仍作实轴的垂线交双曲线于M,N两点，。为坐标

ab

原点，若/MON=120。,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为.

【答案】②③

14.（2022.北京市第五中学三模）已知函数〃%）="~2^~a，给出下列四个结论：

[―x—2x,x<a.

①存在实数4，使函数/（刈为奇函数；

②对任意实数。，函数/（x）既无最大值也无最小值；

③对任意实数。和左，函数y=/（x）+/总存在零点；

④对于任意给定的正实数加，总存在实数。，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序

号是.

【答案】①②③④

15.（2022•北京丰台•一模）如图，在棱长为2的正方体ABC。-4月60中，M,N分别是棱4与，42的

中点，点尸在线段CM上运动，给出下列四个结论:

①平面CMV截正方体4BCQ-AAGA所得的截面图形是五边形;

②直线8上到平面CMN的距离是叵；

2

③存在点P,使得4FR=90。；

@A尸。，面积的最小值是也.

6

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③

三、解答题（共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

16.（2022•北京・101中学三模）已知函数/（X）=cosx（2百sinx+cosx）—sin2%.

（I）求函数八X）的单调递增区间和最小正周期；

77

（II）若当xe0,-时，关于x的不等式机,求实数加的取值范围.

请选择①和②中的一个条件，补全问题（II）,并求解.其中，①有解；②恒成立.

7171

【答案】（I）单调递增区间为：-不+k兀三+k兀，keZ；T=TT；（II）答案见解析.

36_

【详解】（I）解：因为〃x）=cosx（2出sinx+cosx）-sin2x=2^3sinxcosx+cos2x-sin2x

=V3sin2x+cos2x=2sin（2x+?].

所以函数/（%）的最小正周期T=万；

jrjr

因为函数丁=5皿尢的单调增区间为一万+2女环万+2女乃,keZ,

TTTTTC

所以---F2k兀<2XH——<——F2kji,keZ,

262

JT-TT

解得---FkjrW%W—Fkji,kGZ,

36

所以函数“X）的单调增区间为-gk*+kT,ZeZ；

（n）解：若选择①

由题意可知，不等式/（工经机有解，即机（〃力111ax;

因为xe[o,g],所以+

_2」666

故当2x+g=g,即x=J时，〃尤）取得最大值，且最大值为=

626Vo7

所以加42；

若选择②

由题意可知，不等式机恒成立，即加W/（x）niin.

因为xe[0,g],所以+

2666

故当2x+g=?,即x=g时，/（x）取得最小值，且最小值为/住］=-1.

662C

所以mW-1.

17.（2022・北京•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是平行四边形，

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15,M,N分别为BC,PC的中点，PDLDC,PMLMD.

（1）证明：AB1PM；

（2）求直线AN与平面尸八暇所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）21.

6

【详解】（1）在ADCW中，DC=1,CM=2,ZDCM=60°,由余弦定理可得OM=6，

所以£>“2+。。2=32,;./）加1。。.由题意DC_LPD且PDcDM=O,.1OC，平面而PA/u平

面所以£>C_LRS,5LAB//DC,所以AB_LPM.

（2）由PMJ_MD,AB_LPM,而AB与ZW相交，所以PM_L平面ABCD，因为AM=,所以PM=2直，

取AD中点E,连接ME,则ME,QW,PM两两垂直，以点/为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标

系，

则A（一瓜2,0）,尸（0,0,2五）,D（区0,0）,M（0,0,0）,C（有,-1,0）

又N为PC中点，所以N1#,-；,&也.

由（1）得CD_L平面尸DW,所以平面的一个法向量为=（04,0）

5

,八\AN-n\2岳

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为sm0=南而=⑵25=~6~'

vT+Z+2

z

p

18.(2022.北京市第十中学高三期中)某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区道机抽取了400

名用户，从3地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据

按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：

工地区6地区

(1)从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率.

(2)从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X,求X的分

布列和数学期望.

(3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户

对该公司产品的评分的平均值为4,8地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为〃2,以及A8

两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为〃°,试比较〃。和丛詈的大小，并说明理由.

【答案】；

(2)分布列见解析，数学期望，

(3)4＞经&，理由见解析

【详解】(1)对该公司产品的评分不低于60分的频率为(0.020+0.010)*20=0.6,由频率估计概率可得对

该公司产品的评分不低于60分的概率为；

(2)由频率分布直方图可知，评分不低于80分的人数为0.005x20x100=10人；X的可能取值为0,1,2,

尸(X=0)=Z=^，尸(X=l)=^=［，尸3=2)=旨=%

所以分布列如下:

Joo11UJoo11joo

X012

8921

P

noTTTio

QQO11

则数学期望石(X)=Ox——+lx—+2x——=-；

V)110111105

(3)由频率分布直方图可得：A=30x0.005x20+50x0.015x20+70x0.020x20+90x0.010x20=64,

例=30x0.015x20+50x0.010x20+70x0.020x20+90x0.005x20=56,贝|J乂爱=60,

又A地区和8地区抽取用户人数之比为4:1,A地区抽取用户人数占总数的4,，3地区抽取用户人数占总数

的~5,

故AB两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为4=[4+[%=62.4，故例>"必.

22

19.(2022.北京师范大学第三附属中学模拟预测)椭圆C：=+.=l(a>b>0)的右顶点为8(2,0),离心

ab

率为;.

⑴求椭圆C的方程及短轴长；

(2)已知：过定点42,3)作直线/交椭圆C于。，E两点，过E作AB的平行线交直线。B于点F设EF中

点为G,直线BG与椭圆的另一点交点为若四边形为平行四边形，求G点坐标.

22_

【答案】⑴亍+5=1：26

13

(2)G(—

c

【详解】(1)由题意可得4=2,e=£=；1,所以c=l,

a2

HW=3,短轴长2后

22

所以椭圆C的方程：工+匕=1；

43

(2)设直线4。的方程：y-3=k(x-2),即y=Ax+3-21,成占,％),

(y=kx+3—2k...

由:；/+4y-12=0'消去”整理得(3+4F)/+W(3—2QX+4(3-2Q2-12=°'

则A>0,

8k4-2k)4(3—2/y—12

所以±+9=一

3+4左2-3+492

y-0_x-2则>=追任铲，所以砥/用竦),

则直线BD的方程:,令X=X],所以,

/一2x-2

,2一°，2-22

y2a1-2)(_玉%+-2(必+%)_2"1%2+◎-4左)(玉+工2)-4(3-2%)

*1

X2-2(X2-2)(X2-2)

2k(X1—2)(x2—2)+3(石+/)—12

二(X2-2)'

则直线BG的斜率

2k(x「2)(%-2)+3(%+X2)-12

%-0_%_2(%-2)

xG—0Xj—2Xj-2

2k(X1—2)(/—2)+3(石+%2)—12

:2但-2)(%-2)

=仁13(%+%)—12

2[匹12-2(再+%)+4]

,8%(3-2%)-

—J---------------1Z

=k+___________3+4F_____________

2P4(3-21)2-12+16%(3-2我+《

|_3+4/3+4k23_

,3x[-8左(3-2左)]-12(3+4左I

-2[4(3—24)2-12+16左(3—2左)]+4(3+442)]

,-72k+48/-36-48公1

2(36-48Z:+16fc2-12+48k-32k2+12+16fc2)2'

所以直线8G的斜率为所以直线BG的方程：y=-1x+l,

1,

V-X+1

因此」2',则/-》-2=0,解得无=2或X=-1,

3无2+4/-12=0

3

所以加(一1，5),

1313

当为平行四边形时，G为的中点，则Gig,；),所以G(e，；).

20.(2022•北京・北师大二附中三模)已知函数/(x)=e，(l+7〃lnx),其中〃>0,广⑺为的导函数.

⑴当机=1,求〃x)在点处的切线方程；

(2)设函数刈到=/华，且〃(同…；恒成立.

①求加的取值范围；

②设函数“X)的零点为％,广(X)的极小值点为X],求证：%>玉.

【答案】(l)y=2a-e

(2)①■1,+00];②详见解析

⑴m=l时，"x)=e，(l+lnx),/'(x)=e(l+lnx+m，/”)=2e,〃l)=e,所以函数在x=l处的切线方程

y-e=2e(x—l),即y=2ex-e.

(2)①由题设知，f'(x)=ex\^+—+mInxj(x>0),

7/.f\x)[mi7，/、m(x-l).c、

h(x)=----=1H----1-minx,h(x)=------(x>0),

exxx

由”(x)>。，得％>1,所以函数0(%)在区间(L+oo)上是增函数；

由“。)>0,得0v尤vl,所以函数MX)在区间(0,1)上是减函数.

故故工)在犬=1处取得最小值，且MD=I+“

由于/z(x)之15恒成立，所以15得机3

所以优的取值范围为5+°°)；

②设g。)=f\x)=e*[1+?+ndnx[,贝I]g'(x)=e"111+序一?+mlnxj.

、儿77/、i2mmi/八、

H(x)=1H-------+zzzlnx(<x>0),

xx

i-,,.2相9mrij1Tl\—2%+2)

贝皿(x)=-=+当+竺=」_-——^>0，

XXXX

3

故函数H(x)在区间(0,+s)上单调递增，由(1)知，m>~,

2

所以"(1)=加+1>0,/7^=l-mln2<l-ln2^/2<0,

故存在Zeg,1),使得H(%)=0,

所以,当。<x<々时，H(x)<0,g'(x)<0,函数g(x)单调递减；

当了时,H(x)>0,gr(x)>0,函数g(x)单调递增.

所以须是函数g(x)的极小值点.因此％=%，即玉小；」；

35—1

由①可知，当机=不时，/z(x)>^,即必5,3]、5,整理得lnx+—21,

221+~+_lnxa：Z%

x22

所以根InxH——>m.

x

(、

mX1

因此g(%)»g(玉)=e*1+一+m\nx1>e(1+m)>0,即f\x)>0.

I再)

所以函数“X)在区间(0,+刈上单调递增.

2mm

由于//(石)=0,即------Y+m^nxi=0,

,,m2m

即1+〃zIn玉=------

玉石

所以/(再)=炉(1+和nxj=ee~1产<0=/小).

再

又函数”尤)在区间(。,+8)上单调递增，所以%>网.

21.(2022•北京房山•一模)若无穷数列满足如下两个条件，则称｛6｝为无界数列:

①a”>0(n=l,2,3……)

②对任意的正数5,都存在正整数M使得。“>"

⑴若。“=2〃+1,6“=2+cos⑺(«=1,2,3……),判断数列{%},{0}是否是无界数列;

(2)若%=2〃+1,是否存在正整数也使得对于一切“2%,都有幺+&+…+&<〃T成立？若存在，求

“2434+1

出左的范围；若不存在说明理由；

(3)若数列｛%｝是单