2025届百师联盟高三一轮复习联考（一）数学试卷（含答案解析）

2025届百师联盟高三一轮复习联考（一）数学试卷

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一、单选题

1.命题“VXER,J/—sin%>0”的否定是（）

2

12

A.3XER,—x-sinx<0B.GR,—x2-sinx<0

22

191.八

C.VXGR,—x-sinx<0D.VXGR,—x2-sinx<0

22

2.若全集U=R,集合/=卜32=耳,,5=<27),则/n向3）=（）

A.(0,3)B.(3,+oo)C.[3,+oo)D.[0,3]

3.在复平面内，复数z=（3+i）（l-i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.已矢口5由（戊+os(2a—；]二()

1--+COS6Z,贝Ue

113

A.——B.-c.ND.

2244

-X3+ax'-a+4,x>0,

5.函数/(x)=<3在R上单调，则a的取值范围是()

ax+cosx,x<0,

A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)

6.若15嘀‘2/=6x10嘀贝1"=()

A.60B.45C.30D.15

［一一无］.则函数g（x）=asinx+cosx的图象的

7.已知函数[(x)=sinx+acosx且=/

一个对称轴可以为（）

71571一7兀

A.x=—B.x=-C.x=—D.x=兀

666

8.已知。为坐标原点，点尸为函数y=cosx图象上一动点，当点尸的横坐标分别为言,J

1286

时，对应的点分别为用6,则下列选项正确的是（）

试卷第1页，共4页

A.|。耳|>|冲|>|。号B.\OPX\>\OP3\>\OP2\

c.3i>3i>QWD.I。巴|>|。£|>|。6I

二、多选题

9.设4，Z2为复数，且z,wO,则下列结论正确的是()

A.匕色卜团"IB.Zl+z2=Zl+z2

C.若团=团,则z；=z；D.z\'z2~Z\'z2

10.函数/(%)=然皿5：+9,4〉0心>0,囤<|^的部分图象如图所示，贝lj()

A.该图像向右平移£个单位长度可得V=3sin2x的图象

6

函数的图像关于点卜看,)对称

B.y=f(x)0

C.函数y=/(%)的图像关于直线％二-言对称

2冗71

D.函数y=f(x)在上单调递减

36

11.已知定义域为R的函数/(x),对任意x/eR,都有“2无)+/(2y)=-/(x+y)/(x-y),

且"2)=2,则()

A./(0)=0B.1(X)为偶函数

C./(x+1)为奇函数D.f(x+4)=f(x)

填空题

试卷第2页，共4页

12.集合/=中的所有元素中最小的元素为.

13.与曲线/(x)=ei和g(x)=e'-1都相切的直线I的方程为.

14.方程COS(3TU)=X2的根的个数是.

四、解答题

15.已矢口函数/(x)=-sin[；x]-6cos(卜).

(1)求函数〃x)的单调递增区间；

(2)将函数〃x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;(纵坐标不变)，再将所得的函数图象

上所有点向左平移9个单位长度，得到函数g(M的图象，求g(x)在区间卜,鼻上的最大值，

3L

并求出g(x)取得最大值时自变量X的值.

16.函数y=的导函数为数(X),函数/'(X)的导函数是/"(x),已知函数

f(x)=x3-4ax2—3a2x+2.

⑴若/"(4)=0,求。的值和函数/(x)的单调区间；

⑵若广(优)=0(加>0),讨论/(x)的零点个数.

17.已知函数/(%)=cos2x+4sinx-cos2^-^.

jr2立

⑴若函数>=>0)在区间一万,可上单调递增，求。的取值范围；

⑵集合/=卜匕4》^^13=刊/(勾一《|<2｝，若/U8=B,求实数加的取值范围.

18.已知函数/'(x)=l。g2(2x+a+g1勺定义域为R.

(1)求“的取值范围；

(2)当a=0时,判断了(尤)的奇偶性,并解关于t的不等式+-2)

19.若函数/(X)在区间初上有定义，/(x)在区间M上的值域为N,且N=则称M是

/(x)的一个“值域封闭区间”.

试卷第3页，共4页

⑴已知函数〃x)=31+2/,区间M=[0,4<>0)目叶是/(无)的一个，值域封闭区间”,求

/的取值范围；

⑵已知函数8卜)=1!1卜+1)+73,设集合尸=卜|g(x)=x}.

(i)求集合?中元素的个数；

(ii)用表示区间可(。<6)的长度，设机为集合尸中的最大元素.证明：存在唯一长

度为优的闭区间。，使得D是g(x)的一个“值域封闭区间”.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BBDACCBDABDABC

题号11

答案BCD

1.B

【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.

【详解】命题“VxeR,-sinx>0”的否定是FxeR,—x2-sinx<0,?.

22

故选：B.

2.B

【分析】根据集合间的基本运算可得.

【详解】由题意可知，A={x\x>0},B={x\x<^\,

则的B={x|x>3},故/门(d可=(3,+s).

故选：B.

3.D

【分析】利用复数乘法运算可得z=4-2i,得出对应的点为(4,-2),可得结论.

【详解】因为z=(3+D(l-i)=4-2i,所以该复数在复平面内对应的点为(4,-2),位于第四

象限.

故选：D.

4.A

【分析】根据题意整理可得sin(a-C[=虫，以a-立为整体，结合倍角公式运算求解.

I6；26

整理可得——sina——cosa=sinla--

22I6

所以cos12a一；［=cos2(a一=1-2sin'=1-2x=一：

故选：A.

答案第1页，共11页

5.C

【分析】利用导数分别求解xVO和x>0时的单调性，再结合〃x)在R上递增，可得

-a+4>1,即可求解.

【详解】由题意，函数在R上单调递增，当xWO时，fM=ax+cosx,依题需使

/''(X)=a-sinx20恒成立，贝

当x>0时，由+办2-a+4在(0,+oo)上递增，需使/'卜)=/+2axN0在(0,+oo)上

恒成立，则一a40,BPa>0；

又由〃x)在R上递增，可得-a+421,解得。43.

综上可得，。的取值范围是口,3].

故选：C.

6.C

【分析】利用指数，对数的运算进行化简求值即可.

【详解】因为15嘀C1=6x10嘀”，

咐”6x10嘀力6x10喻，36xlO108153

所以"--------=--------------_3x]0bgi$3-1%2

15,og1-521.5嘀52x1()10122xIO108152

logl5-

=3x102=30-

故选：C.

7.B

【分析】根据题意，由条件可得函数g(x)的一个对称轴，再由g(x)的周期为2兀，即可得到

结果.

【详解】由题设有且可知

/(x)=g(T-x10717110兀

——工g------------\-x

23

故gX)=g[一中+X；所以g(x)的一个对称轴为X=；[1■+]-一7兀

~6~

7IT57r

又g(X)的周期为2兀，故其另一个对称轴为x=-?+2兀=?.

故选：B.

8.D

【分析】设P（x,cosx）,IJ1|J|OP|2=x2+cos2x,令y=/+cos2x,xe利用导数可得函

答案第2页，共11页

数为增函数，即得.

【详解】设p(x,cosx),p1lj|(?p|2=X2+COS2X,

—则「…smx-X,

设g(x)=2x-sin2x,则g|x)=2-2cos2x>0,

所以g(x)=2x-sin2x在上为增函数，

故g(x)=2x-sin2x>g(0)=0,即y'=2x-sin2x>0,

/.y=/+cos2x在]0,?]上为增函数，

22

A|OP3|>|OP2F>[I,即|。6\>\OP2\>\OPX|.

故选：D.

9.ABD

【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.

【详解】设马=。+4，z2=c+di(a,b9c,dGR),

对于选项A,因为zv=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)if

所以匕2[=y](ac-bd)2+(ad+bc)2=-\la2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

且㈤目|=G7kH尹=历行/7瓦尸7铲，所以区zj=k|"|,故A正确;

对于选项B,因为4+Z2=(〃+c)+(b+d)i,Zj=a-bi,z2=c-di,

则马+z2=(。+c)—(6+d)i,z1+z2=(a+c)-(b+d)i,

所以Zi+z2=Z]+4，故B正确；

对于选项C若㈤=㈤，例如%=1+1,z2=l-i,满足㈤=n=亚,

但z；=(l+i)2=2i,zf=(l-i)2=-2i,即z；wz；,故C错误；

对于选项D,因为Z]•z2=(。+6i)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

所以Z1•Z2=(ac-bd)-(ad+bc)i,zi-z2=(a—Z7i)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i，

所以为丁2=马,故D正确.

故选：ABD.

答案第3页，共11页

10.ABC

【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项.利用正弦型函

数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项；

【详解】由图象知，A=3,函数的周期7=44口=兀，则0=^=2,贝

/(x)=3sin(2x+^>),由=3得2x2+0=g+2E,4eZ,而|同<1,贝!|太=0,夕=m，

因此/3=3$112》+5.对于人，函数y=/(x)图象向右平移1个单位长度，得

/1x-[]=3sin2x,即y=3sin2x的图象，故A正确，

对于B,/|^-^=3sin^+^=0,则/(x)的图象关于点卜寸称，故B正确；

对于C,/f-^=3sinf-^+^=-3,则函数/(x)的图象关于直线x=对称，故C

I12J163J12

正确；

对于D,当时，2x+fe[-匹0],当2X+2=-R即x=_.时，仆)取得

最小值，所以函数y=/(x)在-事，-[上不单调，故D错误.

故选:ABC.

11.BCD

【分析】利用赋值法计算可得/(0)=-2,即A错误；令y=-x可得〃-2x)=〃2x)满足偶

函数定义，即B正确；取尤=1/=0可得/'(x+l)=-/(-尤+1),可得/(x+1)为奇函数，即

C正确；利用奇函数性质可得/(x+2)=-/(x),可得D正确.

【详解】令》=>=1,得〃2)+/(2)=-*2)/(0),又八2)=2工0,所以/⑼=一2,故A错

误；

令广一无得，〃2x)+/(-2x)=-/(2x)/@)=2/红)，所以/(-2x)=/(2x),故〃x)为

偶函数，故B正确；

令x=l,y=0,得/(2)+/⑼=-/⑴=o,所以〃1)=0,

又X1-X)+〃1+X)=-〃1)/(T)=0,所以〃x+l)=-〃-x+l),

而/(x+1)的定义域是全体实数，所以/(x+1)为奇函数，故C正确;

答案第4页，共11页

由c可得〃x+l)+〃r+l)=o,也即y(x+2)+/(x)=0,所以〃x+2)=-所以

/(x+4)=-/(x+2)=/(x),故D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：在求解抽象函数问题时，经常利用赋值法求出函数值，再根据函数的奇

偶性进行周期、对称性等性质的判断.

12.26

【分析】由—3+》之3巳+巧再结合基本不等式即可求解.

xx

【详解】—y——Hx>2^/3,当x=y=6时，最小兀素N=26.

尤尤

故答案为：26.

13.y=x

【分析】设出切点，根据点斜式求解直线方程，即可得,,，进而

11%2

[e』'-x/=e*-x2e-1,

求解遍=0,占=1,代入即可求解.

【详解】设直线/：/=区+6与/(x)的图象相切于点8(王,“)，与g(x)的图象相切于点

P](尤2,%)，

又/'(x)=e*g'(x)=e)且"=砂~,%=e*2-l.

曲线发/(%)在点8(须,必)处的切线方程为了一(x-xj,

曲线N=g(x)在点吕优,为)处的切线方程为V-铲+1=e*(x-%.

故《一,；解得再f=l,e*(再-％)=1,

1122

[e-^e=e-x2e-1,

=

故x20,Xy=1

V-Vex,-1-eX2+1

故左=江上=^―t——=1,故直线/的方程为＞=x.

-x21

故答案为：y=x.

14.6

答案第5页，共11页

【分析】方程COS(3口)=x2的根的个数即函数〃(无)=X2和g(x)=cos(3口)图象交点的个数,

分别在同一直角坐标系下作出两个函数的图象即可求解.

【详解】设函数和g(x)=cos(3©),

由g(x)=cos(3m)为偶函数，周期？=三27T=；7,

3兀3

2

g(0)=1-g=cos2K=1,

可作出函数%(x)=尤2和g(x)=COS(3口)的大致图象，如图,

由图可得，两个函数的图象共有6个交点，即方程cos(3亦)=/的根有6个,

故答案为：6.

7T.,771,

15.(1)—+4^71,——■F4左兀,kEZJ.

(2)最大值为2,x=：

【分析】(1)根据辅助角公式可得/(x)=2sin]：x-即可利用整体法求解单调性,

(2)根据函数图象的变换可得g(x)=2sin2x,即可求解，

【详解】(1)/(x)=-sin(gx]-6cos]gx]=2sin1$-斗,

jr127rjrjr77r

令---1-2kn<—x----<—+2kji,左EZ,解得一+---b4E,keZ,

223233

冗77r

所以函数〃X)的单调递增区间为-+4/at,—+4kji,yteZ.

(2)将函数〃x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;(纵坐标不变)，得到

再将所得的函数图象上所有点向左平移三个单位长度,

答案第6页，共11页

得到g(x)=2sin2L+|j-y=2sin2x,

TT

因为0,—,则2XE[0,7I],可得sin2x£[0,1],BPg(x)=2sin2xe[0,2],

所以g(x)在区间[0,0上的最大值为2,此时2x=W，即X=：

L2」24

16.(l)a=3,单调递减区间为(T9),单调递增区间为(-巩-1)和(9,+s).

(2)当0>好时，/(x)有三个零点；当°=理时，/(x)有两个零点；当0<°<贵时，f(x)

333

有一个零点.

【分析】(1)先得/'(x)=3x2-84x-3/,f"(x)=6x-8a,根据广(4)=0得a=3,进而利

用导函数求单调区间；

(2)先由/(田)=0(」>0)得加=3>0,进而得函数/'(x)的极小值为〃3a)=2-18/,

极大值为d=2+*3>o,进而根据极小值与零比较可判断零点个数.

【详解】(1)由题可知，f'(x)=3x2-8ax-3a2,f"(x)=6x-8a,

r(4)=6x4-8a=0,解得a=3.

所以=丁-12/-27x+2,fr(x)=3x2-24x-27.

令/'(x)>0，得尤<-1或尤>9；令/'(x)<0,得一l<x<9,

所以函数/(x)的单调递减区间为(T9),单调递增区间为(-巴-1)和(9,+8).

,f,f

(2)由(1)可知，f(x)=6x-8a,f(m)=6m-8a=0fm=—>0,所以Q>0.

令/'(x)>0,解得或尤>3。；令(卜)<0,解得__|<x<3a.

所以/(x)的单调递减区间为,单调递增区间为和(3a,+8),

所以/(x)的极小值为"3。)=2-18/,/(%)的极大值为/(-£|=2+23>o.

当X——00时，f(X)—>—00,当％f+8时，f(x)—>+oo,

故当2-18/<0,即〃〉火时，/⑸有三个零点；

3

当2-18/=0,即0='时,当x)有两个零点;

3

答案第7页，共11页

当2-18/〉0,即0＜〃＜更时，/（%）有一个零点.

3

17.

⑵。，4）

7T27r

【分析】（1）根据三角恒等变换化简/（X）,利用/（0X）的单调增区间与-了可的包含关

系得解；

（2）由并集运算结果转化为/=8,再由在/上不等式/（司-2＜机＜/（司+2恒成立求解

即可.

【详解】（1）/（x）=cos2x+4sinx-cos21—|=cos2x+2sinx-1+cos|--x|

=cos2x+2sinx(l+sinx)=2sinx+1,

jrOjr

由/'(®x)=2sin0x+l在-了彳上单调递增,

712兀7171

所以CZ

25T五'五

兀、兀

贝r.（t一,L27r丁7T，

22。32G

又切〉0,解得口£（Oq-

(2)由|/(工)一加|<2,/(x)-2<m</(x)+2.

5LA\JB=B,则即当生4x4二时，不等式/(尤)一2<根</(尤)+2恒成立,

63

所以(/3-2).<加<(/(x)+2)11m.

因为失X4,，故/«ln=/^=2,/(%=/曰=3,

所以％€(1,4).

18.(1)(-2,+oo)

⑵偶函数，（0,2）.

【分析】（1）由题意知2工+。+4＞。恒成立，利用换元法将不等式转化为一元二次函数恒

2工

成立问题，再利用分离参数求最值即可求解；

答案第8页，共11页

(2)求出函数的定义域，根据/(-%)=/(£)即可判断函数/(x)的奇偶性，换元法求出

函数尤)在(0,+8)上的单调性,再根据函数的奇偶性可得函数/(x)在定义域上的单调性,

从而根据单调性判断f+1与1-2/的关系.

【详解】(1)因为函数/(x)=log(2，+a+1］的定义域为R,

所以2*+。+上>0恒成立，所以4，+a・2*+l>0恒成立，

令才=2",则f>0,所以r+m+1>0在(0,+8)上恒成立，

即00时，4>-卜+；］恒成立，令>=-1+；］，，e(0,+s),

由/=_11_口=_(+久6(0,1)时，y'>0,x6(1,+8)时，y'<0,

因此y=-，+，在(0,1)上单调递增，在。,+◎上单调递减，所以九叫=-2,

故〃>-2,即。的取值范围为(-2,+«?)；

(2)当“=0时，/(x)=log^2I+^^,

因为/'(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，

又因为/(-x)=log2*t+±J=log2］1+2J=/(x)，

所以/'(X)为偶函数.

当x>0时，/(x)=k)g2(2'+：),令777=2*>1,

,

^h［m)=m+—,6(l,+oo),/z(m)=l-^Y=——”〃+1),

mmm

又冽£(1,+8)时，h'(m)>Q,所以〃(加)=冽+工在加£0,+8)上单调递增，

m

即y=2、+*在(0,+8)上单调递增，又尸log2x在定义域上为增函数，

所以函数/(x)在(0,+8)上单调递增，又函数/(尤)在定义域上为偶函数，

所以函数/(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

因为/(+l)>〃l_2f),所以卜+1|>)-24,

即(:+1)2>(1-2/『，解得0</<2,

故原不等式解集为(0,2).

答案第9页，共11页

19.(1)|^0,1

(2)(i)2；(ii)证明见解析

【分析】(1)求导，确定/'(X)在［0,4上单调递增，求得值域，再由集合间的关系构造不等

式求解即可.

(2)(i)构造〃(x)=g(x)-x,求导，确定其单调性，再结合零点存在性定理即可求解；(ii)

由(i)得加=%,再通过讨论-。>0和。=0即可求证.

【详解】(1)由题意，/(X)=3X3+2X2,当时,

r(x)=27尤2+4x20恒成立，所以/(X)在［0,4上单调递增，