2024-2025学年重庆市沙坪坝区某中学高一（上）入学数学试卷

2024-2025学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、

D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号里。

1.（4分）-2024的绝对值是（）

1

A.--B.C.-2024D2024

20242024

2.（4分）下面图形中，中心对称图形的个数有（）

0回正）会

A.1个B.2个C.3个D4个

3.（4分）已知点（-3,2）在反比例函数（左W0）的图象上（）

X

A.-3B.3C.-6D6

4.（4分）已知，直线〃〃上把一块含有30°角的直角三角板如图放置,三角板的斜边所在直线交b于点

A,则N2=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.(4分)如图，在平面直角坐标系中，△4BC与B'(丁是位似图形（-3,1）的对应点为4'（-

6,2),则点8(-2,4)()

B'

一沁一

6]x

A.（-4,8）B.（8,-4）C.（-8,4）D（4,-8）

6.（4分）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形,第1个图有4个三角形.第2个

图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去（）

第1页（共39页）

△

A△△△

△△△△AAA

△△△AAAAAA

第1个第2个第3个

A.2022B.2023C.2024D.2025

.近的值所对应的点可能落在

7.（4分）如图,估计-V5)

5

ABCD

-10123456

A.点/处B.点3处C.点C处D.点。处

8.（4分）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆。的圆心重合，若半圆

D・疑手

A--^^[3B.InC.-1-7T-V3

Oo

9.（4分）如图，在中，ZABD=30°,将沿8。翻折180°得到△C8。，将线段。C绕点

。顺时针旋转30°得到线段。下，连接ERED.若斯=1（

C24

D.

'22

10.（4分）如图1,△/8C是等边三角形，点。在边上，动点P以每秒1个单位长度的速度从点8出

发，沿折线8C-C4匀速运动，连接。尸.设点尸的运动时间为f（s）,DP?为y.当动点P沿3c匀速

运动到点C时，夕与［的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①NB=3；②当—5时；③当

W6时，函数值歹的最小值为旦，两个时刻九，t2（九V%2）分别对应歹1和歹2，若九+，2=6,则yi>J2.其

4

中正确结论的个数是（）

第2页（共39页）

二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡对应的横线上。

11.（4分）计算：（7r-3）0+（y）-l=.

12.（4分）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净.现将这4张卡

片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡

片.

唐僧孙悟空猪八戒沙悟净

13.（4分）如图，直线y=fcc+6与y=L交于N（3,1）（6,0）,则不等式组0<kx+b<^x的解集

33

’2（a-x）〉-x-4

14.（4分）如果关于1的分式方程—的解为负数，且关于％的不等式组及+47，

x+1x+l---<x+1

那么符合条件的整数〃的个数是.

15.（4分）已知实数°、6满足：a-b=\,那么_J—的值为.

a2+lb2+l

16.（4分）如图，在RtZk/BC中，N4CB=90°泥，它的顶点。，E,G分别在△/2C的边

上

第3页（共39页）

A

17.（4分）数学兴趣小组对1…”这〃个自然数中，任取两数之和大于〃的取法种数人进行了探究.发现:

当〃=2时，只有｛1,即左=1；当"=3时，3｝和｛2,3｝两种取法；当〃=4时，可得笈=4,则上的值

为.

18.（4分）如图，在菱形ABCD中，点£,CD的中点，连接/E当，AE=5,则的长

5

为.

19.（4分）一个两位正整数加，若加满足各数位上的数字均不为0,称〃?为“公能数”，把加放在〃的左

边组成第一个四位数4,把沉放在〃的右边组成第二个四位数瓦记F（m）上空，，都是“公能数”，

99

S个位上的数字等于/十位上的数字（S）被11除余7,尸5）+尸（力，则满足条件的所有S的和为.

20.（4分）如图，在中，//C3=90°,点/在上，以£尸为直径的圆交直线于点

48=5,贝!.

三、解答题（本大题共7个小题，每小题各10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推

理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置。

21.（10分）计算：

⑴[（m-2n）（m+2n）+（m-n）2-n（m-3n）]+gm）；

第4页（共39页）

力x+4x+4x./2c、，c7、1

⑵..........---------（x+2x）+（3-x-^—7）*~~7'

x+3x+3x+4

22.（10分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.

（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行

整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.教师评委打分：

86889091919191929298

b.学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82Wx<85,第2组85Wx<88,第3组

88Wx<91,第4组91Wx<94,第5组94Wx<97,第6组97<xW100）：

c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：

平均数中位数众数

教师评委9191m

学生评委90.8n93

根据以上信息，回答下列问题：

®m的值为,n的值位于学生评委打分数据分组的第组；

②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为彳，则彳91

（填”或“<”）；

（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均

数和方差.平均数较大的选手排序靠前，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、

丙三位选手的打分如下：

评委1评委2评委3评委4评委5

甲9390929392

乙9192929292

丙90949094k

若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是,表中左"为整

数）的值为.

第5页（共39页）

23.（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为优选品种，提高产量，某农业科技小组对

A,2两个品种各种植了10亩.收获后3两个品种的售价均为2.4元/Ag,A,B两个品种全部售出

后总收入为21600元.

（1）请求出4,3两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在4预计/,8两个品种平均亩产量将在去年的基

础上分别增加。％和2a%.由于3品种深受市场的欢迎，而/品种的售价不变.A,2两个品种全部售

出后总收入将在去年的基础上增加空

9

24.（10分）如图1,在矩形/BCD中，EFLGH,分别交/8、DC于点G、H.

（1）求证："m；

GHAD

（2）如图2,将矩形488沿£下折叠.使得点。落在边上的点G处，点C落在点尸处，若48

=4,BC=6,EF=±51

25.（10分）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点/在x轴的正半轴上.点8,四边形CU8C是平行

四边形，点。在反比例函数夕=上，点。的横坐标为2.点8的纵坐标为3.

X

（1）如图1,点。是45边的中点，且在反比例函数^=上，求平行四边形CUBC的面积；

x

（2）如图2,将直线A：y=-又向上平移6个单位得到直线/2,直线力与函数y=KG>0）图象交

4x

第6页（共39页）

于Ml,初2两点，点尸为的中点，过点Mi作于点N.请求出P点坐标和■的值.

0P

图1图2

26.(10分)已知在RtANBC中，NACB=9Q°,ZABC=a(45°<a<90°)，点£在直线3C上运动,

将线段DE绕点D顺时针旋转2a得到线段DF

(1)如图1,点£、P分别在边BC、AB1.,若a=60°,EF//AC,AC=3«，求皮^的长度；

(2)如图2,点£、尸分别在边3C、上，作EG〃/C交于点G,并证明；

(3)若a=60°,点E在直线3c上运动，当△3。尸为等腰三角形时出的值.

AD

27.(10分)如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a/+2x+c经过点(2,8),且与y轴交于点/,

与x轴交于点8(6,0),过P作P。〃了轴，交于点Q.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图2,过点P作尸于点尺，当△PQR的周长最小时，动点N在y轴上运动，且M乂〃x轴,

求8A1+NQ的最小值；

(3)如图3,点C在第一象限内，连接ZC,S.ACJ.AO,将线段C。绕点C逆时针旋转90°得到线

段CD,AD,OD交AB于点E,连接ORBD,ZBDO=2ZAOC,pH=^-EF，请直接写出点尸的坐

标.

第7页(共39页)

第8页（共39页）

2024-2025学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）入学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、

D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号里。

1.（4分）-2024的绝对值是（）

A.--B.—C.-2024D.2024

20242024

【解答】解：-2024的绝对值是2024,

故选：D.

2.（4分）下面图形中，中心对称图形的个数有（）

【解答】解：左起第四个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合;

第一、第二和第三个图形能找到这样的一个点，所以是中心对称图形.

所以中心对称图形有3个.

故选：C.

3.（4分）已知点（-3,2）在反比例函数＞=区（左W0）的图象上（）

x

A.-3B.3C.-6D.6

【解答】解：：点（-3,2）在反比例函数y=K,

X

:・k=-6X2=-6.

故选：C.

4.（4分）已知，直线a〃儿把一块含有30°角的直角三角板如图放置，三角板的斜边所在直线交6于点

第9页（共39页）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【解答】解：：/l=30°,

/.ZABC=60°,

:直线a〃b,

：.Z2=ZABC=60°,

故选：B.

5.(4分)如图，在平面直角坐标系中，AABC与MB'C是位似图形(-3,1)的对应点为/'(-

6,2),则点2(-2,4)()

Arc

A.(-4,8)B.(8,-4)C.(-8,4)D.(4,-8)

【解答】解：与△/'B'C是位似图形，位似中心为点。，1)的对应点为H(-6,

...△/5C与B'C的相似比为5：2,

:点2的坐标为(-2,4),

...点8的对应点中的坐标为(-2X2,5X2),8),

故选：A.

6.(4分)如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形.第2个

图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去()

△

A△△△

△△△△

△△△AAA

第1个第2个第3个

A.2022B.2023C.2024D.2025

【解答】解：第1个图案有4个三角形，即7=3Xl+8,

第2个图案有7个三角形，即5=3X2+7,

第3个图案有10个三角形，即10=3X2+1,

按此规律摆下去，第〃个图案有(3"+7)个三角形,

第10页(共39页)

则第674个图案中三角形的个数为：3X674+1=2023（个）.

故选：B.

7.（4分）如图，估计任一/§•近的值所对应的点可能落在（）

5

ABCD

I।।।।.।.।.।.

-10123456

A.点/处B.点8处C.点。处D.点。处

【解答】解：A/19-V5

8

=怖-1,

VV16<VT9<V25,即4<任<3,

4-l<V19-5<5-1,

3<V19-1<4,

/.、压-V6,渔的值所对应的点可能落在点B处，

5

故选：B.

8.（4分）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆。的圆心重合，若半圆

A.之穴B.AC.-^-n-VsD-

33K334

【解答】解：如图，连接作于点8,

三角形/。。'是等边三角形,

/.ZAOO'=60",OB=L,

6

：.AB=V22-42=>^3,

♦・S弓形4。，=S扇形4。。，-S/^AOO,

第11页（共39页）

60冗X522乂娓乂L

-360~2

等-伤

O

・'・S阴影=s弓形4。，+S扇形40,O

=8兀-相+?兀

33

=竿-6

故选：A.

9.（4分）如图，在中，ZABD=30°,将沿3。翻折180°得到△C8。，将线段DC绕点

。顺时针旋转30°得到线段。R连接即，ED.若斯=1（

A]+V^B2^>C2~^D.

4'4'22

【解答】解：过点/作/GLAD于点G,

VZABD=3Q0,//=105°,

ZADB=45°,

设4E=BE=a,则48=20,

AG=yAB=a,BG=-^~AB>=V5a,

O乙

.\DG=AG=a,

：.AD=42a>

VAE_a4,AD=&a=&,

AD-A/2a_2'AB_5a2

•••A—E^―=A--D,

ADAB

,//DAE=/BAD,

：.^ADE^/\ABD,

:./ADE=/ABD=30°,

/ADC=ZADB+ZCDB=90°=ZADE+ZEDF+ZCDF,

第12页（共39页）

90°=30°+ZEDF+30°,

；./EDF=30°=NADE,

'：AD=CD=DF,DE=DE,

：.44DEmAFDE(SAS),

：.EF=AE=BE=2,

过点E作EHLBD于点H,

•••EH=£BE-|，30=向a+a=77+l，

...△2EO的面积=qXBDXEH=《X(V6+1)

o2r4

故选：A.

10.（4分）如图1,△/BC是等边三角形，点。在边48上，动点P以每秒1个单位长度的速度从点2出

发，沿折线2C-C4匀速运动，连接DP.设点尸的运动时间为f（s）,DP?为y.当动点P沿3c匀速

运动到点。时，y与f的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①48=3；②当/=5时；③当4Wf

W6时，函数值y的最小值为3,两个时刻fl,/2（,tl<t2）分别对应yi和了2,若/1+/2=6,则yi>/2.其

【解答】解：由题意，当尸到C时2=y=7,

：.。d=7.

作DHLBC于H,如图1所示,

第13页（共39页）

A

图1

VZB=60°,BD=5,

•••9=件=3®2一即2=如，

CH=22

VDC-DH=73-3=2，

BC=BH+CH=5+2=3,

：.AB=BC=2,故①正确；

止匕时f=/B+l=3（秒），

当，=5时，尸在NC上，

又乙4=60°,

.♦.△4DP是等边三角形，

：.DP=AD=AP=4,

'.y=DP1=1,故②正确;

当6W1W6时，如图3,

:.PC=7,此时P从如图的位置运动到/,

第14页（共39页）

AH=^AD=—,

22

:.DH=®,此时尸运动到X时2取最小值为3,故③正确；

68

VZl+Z2=2,

ti+ti<2/2,2/i<叁+念，，2=6-fi,

・••九（4,ti>3,

又由题意，可得，y=（L4）2+3；当5<£6时2+生

4

・\yi=（0-1）2+4,y2=（£2-3.5）2+=（^7-0.5）2+—,

4

*'•JV3~yi=（九-3）之+3-（力-0.5）3-旦=2-九>0,

4

歹2，故④正确.

故选：D.

二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡对应的横线上。

11.（4分）计算：（JT.3）。+-）T=3.

【解答】解：原式=1+2

=3.

故答案为：3.

12.（4分）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净.现将这4张卡

片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片

唐僧孙悟空猪八戒沙悟净

【解答】解：将“唐僧”记为“力”,将“孙悟空”记为“B”,将“沙悟净”记为W,

画树状图如下：

第15页（共39页）

开始

第一次

第一次

共有16种等可能的结果，两次取到相同图案的卡片结果有（N、（B、（C、（D,

所以两次取到相同图案的卡片的概率为

163

故答案为：1.

4

13.（4分）如图，直线>=日+6与》=工交于/（3,1）（6,0）,则不等式组0<kx+b<」x的解集为」

33

<x<6

【解答】解：：与直线y=L交于点a2）,

3

.•.不等式组0<fcc+6cL的解集为3cx<6.

8

故答案为：6<x<6

'2(a-x)>-x-4

14.（4分）如果关于x的分式方程/__1士1的解为负数，且关于'的不等式组3X+4

x+1x+1<x+l

2

那么符合条件的整数。的个数是2.

’2（a-x）》-x-4（D

【解答】解：i7X+4

<x+3②

2

由①得：XW2Q+4,

由②得：x<-6,

由不等式组的解集为x<-2,

得到2a+42-2,即心-3,

分式方程去分母得：a-x-4=x-1,即。=2x,

因为分式方程的解为负数，所以。也是负数.

第16页（共39页）

把a=-2代入整式方程得：-3=2%,即乂=其，符合题意；

把°=-2代入整式方程得：-3=2x,即x=-l；

把。=-8代入整式方程得：-l=2x,即行口，符合题意；

x2

把〃=0代入整式方程得：4=2%,即x=0.

・••符合条件的整数Q取值为-3,-1.

15.（4分）已知实数〃、6满足：a・b=l,那么―-—+_--的值为.1

a2+lb2+l

22

【解答】解：•••」—一1_=一生也+2一，

a+8b+3ab+b+a+1

・••当Q・6=6时/序=（岫）3=1

2.i8,Q

.•.原式=.a如t2=6.

l+b6+a2+l

16.（4分）如图，在RtZ\/8C中，ZACB=90a遥，它的顶点。，E,G分别在△/BC的边上二衣.

【解答】解：如图，过点G作GHL/C于点X,

VZACB=90°,AC=BC=5,

△NBC是等腰直角三角形，

；.乙4=45°,A5=&巡，

"JGHLAC,

...△/G〃是等腰直角三角形，

：.AH=HG,AG=近,

,/四边形DEFG是正方形，

：.DG=DE,/GDE=90°,

：.ZGDH=90°-/EDC=90°-ZDGH=ADEC,

在△OGH和△DEC中，

第17页（共39页）

<ZDHG=ZECD=90°

,ZGDH=ZDEC，

DG=ED

:•△DGgXDEC(44S),

:・GH=DC,DH=CE,

:・AH=HG=DC,

设AH=HG=DC=a,DH=CE=b,

・・•正方形DEFG的边长为病，

,：AC=AH+DH+DC,DC2+CE2=DE\

2a+b=5,a6+b2=(J^)2,

将b=5-2Q代入Q7+〃=(5/^)5整理得：片一4。+2=0,

解得。1=的=2,

:・AH=a=2,

：.AG=^AH=2近,

：.BG=AB-AG=6-J2-2代衣，

故答案为：

17.（4分）数学兴趣小组对1…”这〃个自然数中，任取两数之和大于〃的取法种数人进行了探究.发现:

当〃=2时，只有{1,即左=1；当〃=3时，3}和{2,3}两种取法；当〃=4时，可得左=4,则左的值为

144.

【解答】解：当〃=6时，从1,4,3,4,2,取两个数的和大于6

{6,2},2},3},2},5},2},2},4},3},

・•・左=8+3+1=8,

当〃=8时，从1,4,3,4,5,6,7,取两个数的和大于8

{8,1},6},3},4},5},6},7},5},5},4},4},2},5},2},3},4},

第18页（共39页）

・•・左=4+5+3+6=16,

当〃=24时，从1,2,23,取两个数的和大于24

{24,8},2}……{24,

{23,2}{23,22},

{22,5},4}……{22,

{14,11},12},13},

{13,12）,

・•・左=23+21+19+……+3+6=144；

故答案为：144.

18.（4分）如图，在菱形中，点£,CD的中点，连接4E■三，AE=5,则AB的长为—2候

5—3

【解答】解：如图，过点E作EG，/尸于点G、BC交于点H,

则N£G/=/EG〃=90°,

VsinZEAF=—=^-,AE=4,

5AE

；.EG=4,

/G=VAE2-EG7=V52-82=3，

•.•四边形/BCD是菱形，

J.AD//BC,AD=4B=BC=CD,

;点、E,尸分别是3C,

：.BE=CE=^-BC1-CD,

25

：.BE=DF,

:.AADF出AABE(SAS),

：.AF=AE=5,

第19页（共39页）

：.GF=AF-AG=2,

,:AD〃BC,

：./D=4FCH,

又・・,/AFD=/HFC,

：.AADF^AHCFCASA),

:・AF=HF=4,AD=CH,

:・AB=BC=CH,GH=GF+HF=2+5=2,

EH=4EG24cH2=如2+心=765，

：.AB=BC=2LEH=5A,

33

故答案为：a/运.

2

19.(4分)一个两位正整数加，若加满足各数位上的数字均不为0,称根为“公能数”，把〃?放在"的左

边组成第一个四位数/,把机放在"的右边组成第二个四位数2,记F(m)上殳，/都是“公能数”，

99

S个位上的数字等于f十位上的数字(s)被11除余7,尸(s)+P(t),则满足条件的所有S的和为183.

【解答】解：设s=10a+6,f=106+c,

•F(v)=1000a+100b+10b+a-(1000b+100a+10a+b)

^1000a+100b+10b+a-1000b-100a-10a-l:

99

=891a-891b

99

=891(a-b)

99

=9(a-b)

—9a-5b,

同理，得尸(t)=9b-9c,

：.F(s)+F(O=5。-9b+(96-6c)

=9a-9b+2b-9c

第20页(共39页)

=9a-4c,

,:F(s)+F⑺=63,

9a-9。=63,BP(2-c=8.

・\Q=8或〃=4.

・：F(s)被11除余7,

当Q=8时，c=2,

当商为1时，72-96=18,

:・b=2；

当商为2时，72-96=29,

当商为3时，72-96=40,

.••b卫（舍去）；

7

当商为4时，72-96=51,

k=-^-（舍去）；

3

当商为5时，72-76=62,

，b岩（舍去），

当商大于等于6,即72-46273时,

b<0（舍去）.

当〃=9,。=8,

当商为1时，81-96=18,

，b=6；

当商为2时，81-96=29,

.••b卫（舍去）；

2

当商为3时，81-96=40,

b①（舍去），

D5

当商为4时，81-96=51,

第21页（共39页）

.♦•ba（舍去）；

8

当商为5时，81-96=62,

b二旦（舍去）；

7

当商为6时，81-96=73,

（舍去）；

9

当商大于等于7,即81-26284,

b<0（舍去），

综上所述，a=8,c=4或a=9,c=2,

.'.5=86或5=97,

满足条件的所有s的和为：86+97=183.

故答案为：183.

20.（4分）如图，在中，//C3=90°,点/在。£上，以昉为直径的圆交直线于点

AB=5,则

【解答】解：连接EC,FC,

四边形ACDE和四边形BCGF均为正方形，

：.AC=AE=ED,ZACE=45°,BC=BF,

:在Rt^ABC中，ZACB=90°,

AZACE+ZACB+ZBCF=1SO°,

...点E,C,厂在同一条直线上，

过点£,尸作直线九W的垂线，T,设防的中点为O,连接。M

第22页（共39页）

,/四边形ABHI和四边形BCGF均是正方形，

AZZ4C=90°,AB=AI,BC=BF,

ZBAC+ZCAI=90°,

又：/Z4E+NC//=90°,

：.ZBAC=ZIAE,

在△45C和△/正'中，

'AB=AI

-ZBAC=ZIAE-

.AC=AE

:.AABC冬LAIE(SAS),

:.BC=IE,

:点/为DE的中点，

；.ID=IE,

：.AE=ED=2IE,

；.4C=2BC,

在RtZ\48C中，由勾股定理得：AC5+BC2^AB2,

即(4BC)2+BC2=62,

:.BC=QAC=5BC=275>

在RtZ\/CE中，AC=AE=2^，

由勾股定理得：EC^7AC2+AE5=2710>

在中，BC=BF=^,

由勾股定理得：FC=gQ+gp.2=5/YQ,

：.EF=EC+FC=2V10-H/10=2V10-

为。。的直径，

OE=OF=OM=

2

第23页（共39页）

'：ZCAE=9Q°,ERLMN,

:.NBAC+/EAR=9Q°,/AER+NEAR=9Q°,

：.ZBAC=ZAER,

又；NACB=NR=90°,

：.AABCsAEAR,

：.AC：ER=AB：AE,

即4遥：ER=5：375-

：.AR=4,

同理可证：△ABCsABFT,

：.BC：FT=AB：BF,

即V：FT=5：返，

：.FT=6,

'：ERLMN,歹T_L〃M点。为M的中点,

/.OK为梯形EFTR的中位线，

：.OK=1-（ER+FT）=-li互，

222

在中，OM=宜叵

22_

由勾股定理得：研=/012_0^=2^,

:点。为。。的圆心，OK1.MN,

:.MN=2MK=4^.

故答案为：V65-

三、解答题（本大题共7个小题，每小题各10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推

理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置。

21.（10分）计算:

⑴[(m_2n)(m+2n)+(m-n)2-n(m-3n)]+gm)；

q9

(2)x+4x+4x二(X2+2X)+(3-X/・+

x+3

【解答】解：（1）原式=[加2-4心+冽2_2冽〃-冽〃+3〃2]+

2

(2m3-3mn)4-(JLm)

6

第24页（共39页）

=4m-6〃；

（2）原式=x（x+4），・6（x-3）（x+2）+7.4

x+3x（x+2）x+3x+4

=x+2-一（x+4）（x-4）•1

x+5x+4x+4

=x+4_x-4

x+3x+2

—x+2-（x-4）

x+8

—6

22.（10分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.

（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行

整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.教师评委打分：

86889091919191929298

b.学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82Wx<85,第2组85Wx<88,第3组

88Wx<91,第4组91Wx<94,第5组94Wx<97,第6组97WxW100）：

c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：

平均数中位数众数

教师评委9191m

学生评委90.8n93

根据以上信息，回答下列问题：

@m的值为91,n的值位于学生评委打分数据分组的第4组:

②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为彳，则，<91

（填“>，，“=”或，，<，，）；

（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均

数和方差.平均数较大的选手排序靠前，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、

丙三位选手的打分如下：

评委1评委2评委3评委4评委5

甲9390929392

乙9192929292

第25页（共39页）

丙90949094k

若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是甲，表中后“为整数)

的值为92.

频数八

14---------------.

12------------------------

8----------------------------

6--------------

0^^828588919497100

【解答】解：(1)①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多.

45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组;

故答案为：91；4；

②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余3名教师评委打分的平均数为彳，

则彳=上><(88+90+91+91+91+91+92+92)=90.75,