高考数学专项复习训练：解答中档题型概率与统计综合题

专题19解答中档题型：概率与统计综合题

1.(2223高一下•江苏南京•期末)某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100

分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了无人,按年龄分成5组(第一组：［20,25),第二组：［25,30),

第三组：［30,35),第四组：［35,40),第五组：［40,45］),得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.

(2)求抽取的尤人的年龄的中位数(结果保留整数)；

⑶以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99,求这10人成绩的20百分位数.

【答案】⑴100;(2)32；(3)91

【分析】(1)根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出x.

(2)利用中位数的计算方法求解即可.

(3)利用百分位数的计算公式求解即可；

【详解】(1)第一组频率为0.01x5=0.05,

所以尤=焉=100;

(2)设中位数为。，

95

贝1|由图可得001*5+0.07x5+(4-30)x0.06=。.5,解得。=半832,

所以抽取的x人的年龄的中位数为32；

(3)按照成绩从小到大的顺序排列为：88,90,92,92,95,96,96,97,98,99,

90+92

10x20%=2,故20%分位数为------=91.

2

2.(2223高一下•江苏南通•期末)某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在

85cm~105cm为三类树，底部周长在105cm~125cm为二类树，底部周长大于或等于125cm为一类树.为了

解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长(单位：cm),数据均落在85cm~135cm

之间，按照［85,95),［95,105),［105,115),［115,125),［125,135］分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.

频率

组距

(1)估计该片经济林中二类树约占多少；

(2)将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长.

【答案】(1)60%；(2)111.9cm

【分析】(1)根据频率之和为1即可求解a=0.021,即可求解二类树的频率，

(2)根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解.

【详解】(1)由频率分布直方图可得，

0.007xl0+0.018xl0+0.039xl0+axl0+0.015xl0=l,

所以10a=0.21,解得a=0.021.

因为底部周长在105cm~125cm为二类树，

所以由图可得，0.039x10+0.021x10=0.6.

答：该片经济林中二类树木约占60%.

(2)由题意可得，

90x0.07+100x0.18+110x0.39+120x0.21+130x0.15

=6.3+18+42.9+25.2+19.5

=111.9cm

答：估计该经济林中树木的平均底部周长为1H.9cm.

3.(2223高一下•江苏常州・期末)为丰富学生的学习生活，某高中开设了“校本课程”.为了解学生对“校本

课程”工作的认可程度，学校随机调查了600名学生.根据这600名学生对“校本课程”工作认可程度给出的

评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(2)为了解部分学生给“校本课程”工作评分较低的原因，学校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随

机选取30人进行座谈，求应选取评分在［60,70)的学生人数；

(3)若学生认可系数］认可系数=认可不蓝平均分］不低于。85,“校本课程”工作按原方案继续实施，否则需

进一步整改.根据你所学的统计知识.结合认可系数，判断“校本课程”工作是否需要进一步整改，并说明理

由.

【答案】(1)了=0。1,85；(2)10；(3)“校本课程”工作需要进一步整改，理由见解析

【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，求出x的值，再根据百分位数的

计算规则计算可得；

(2)首先求出三组的比例，再按照分层抽样计算可得；

(3)求出平均数，即可判断.

【详解】(1)由图可知：10x(x+0.015+0.02+0.03+0.025)=l,

解得x=0.01.

因为［50,80)内的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.6,

［50,90)内的频率为0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.6,

所以第60百分位数位于区间［80,90)内，设为加，

所以0.45+(〃?—80)x0.03=0.6,解得m=85,所以第60百分位数为85.

(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为01:0.15:0.2=2:3:4,

30x10

则应选取评分在［60,70)的学生人数为：2+3+4=(人)；

(3)由图可知，认可程度平均分为：

jc=55x0.1+65x0.15+75x0.2+85x0.3+95x0.25=79.5<0.85x100=85,

所以“校本课程”工作需要进一步整改.

4.（2223高一下•江苏徐州•期末）近年来，“直播带货''受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一

种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、

玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽

（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？

（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），

所得频率直方图如图②所示.

（i）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数

值为代表）；

（ii）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.

【答案】（1）小吃类21家，生鲜类9家；（2）（i）中位数为与元，平均数为440元；（ii）256

【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可；

（2）（i）根据中位数和平均数的定义计算即可；

（ii）根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可.

【详解】（1）根据分层抽样知：

应抽取小吃类60x(1-30%—15%-10%—5%—5%)=21家，生鲜类60*15%=9家,

所以应抽取小吃类21家，生鲜类9家.

(2)(i)根据题意可得(0.002x3+24+0.006)x50=1,解得。=0.004,

设中位数为x,因为(0.002+0.004)x50=0.3,(0.002+0.004+0.006)x50=0.6,

所以(x-400)x0.006+0.3=0.5,解得x=

1300-

所以该直播平台商家平均日利润的中位数为7L-

3

平均数为(325x0.002+375x0.004+425x0.006+475x0.004+525x0.002+575x0.002)x50=440,

所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元.

500-470*++0.0021x50x800=256,

(ii)00040002

50)

所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为256.

5.（2223高一下•江苏南京•期末）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位:

分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0,100],（100,200],（200,300],

（300,400],（400,500],（500,600],并整理得到如下频率分布直方图:

（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000,根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（400,600]上的车

辆数；

（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根

据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）.

【答案】（1）50；（2）免费停车时长为153分钟

【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出（400,500]的频率，从而得到样本中停车时长在区间（400,600]

上的频率并估计该天停车时长在区间（400,600]上的车辆数;

（2）先确定第30百分位数位于（100,200]之间，列出方程，求出答案.

【详解】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设（400,500]的频率为尤,

可歹J等|式为（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）X100+X=1,

/.x=0.03j

所以样本中停车时长在区间（400,600]上的频率为0.05,

估计该天停车时长在区间（400,600]上的车辆数是50；

(2)设免费停车时间长不超过y分钟，又因为(0,1。。］的频率为0.13<30%,

并且(0,200］的频率为0.45>30%,所以y位于(100,200］之间，

贝1|满足。.13+(y-100)x0.0032=0.3,

/,y®153,

确定免费停车时长为153分钟.

6.(2223高一下•江苏南通・期末)为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活

动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出

频率分布直方图如图所示(最低90分，最高150分)，但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是

(1)求第一组、第二组的频率各是多少？

(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以

上等级的成绩范围(保留1位小数)；

(3)现知道直方图中成绩在［130,140)内的平均数为136,方差为8,在［140,150］内的平均数为144,方差为4,

求成绩在［130,150］内的平均数和方差.

【答案】⑴第一组的频率为0.04,第二组的频率为0.08；⑵［129.7,150］；(3)平均数为138,方差为19

【分析】(1)设第一组的频率为。，则第二组的频率为2a,利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1

可求得。的值，即可得解；

(2)计算出样本的第75百分位数，即可得出全市“良好”以上等级的成绩范围；

(3)利用总体的平均数和方差公式可求得结果.

【详解】(1)解：设第一组的频率为环则第二组的频率为2“，

由题意可得3a+(0.034+0.03+0.018+0.006)xl0=l,解得a=0.04,

因此，第一组的频率为0.04,第二组的频率为0.08.

(2)解：设样本的第75百分位数为加，前三个矩形的面积之和为0.12+0.34=046,

前四个矩形的面积之和为046+0.3=0.76,所以，e(120,130),

由百分位数的定义可得。46+(加-120)x0.03=0.75,解得机近29.7,

所以，估计全市“良好”以上等级的成绩范围为［129.7,150］.

(3)解：成绩在［130,140)的频数为100x0.18=18,成绩在［140,150］的频数为100x0.06=6,

又因为直方图中成绩在［130,140)内的平均数为136,方差为8,在［140,150］内的平均数为144,方差为4,

所以，成绩在［130,150］内的平均数为，1^><136+五%><144=138,

方差为瑞［8+036一138『卜品卜+(144一138419.

7.(2223高一下•江苏无锡・期末)某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调

查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额(单位：万元)均在区间［020.8］内，按

［0.2,0.31,(0.3,0.41,(0.4,0.51,(0.5,0.61,(0.6,0.71,(0.7,0.816组，其频率分布直方图如图所示.

频率

o

.

.0

.Q8

.O6

⑴求频率分布直方图中〃的值，并估计样本中消费金额的中位数(中位数精确到0.01)；

(2)求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数(同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值

作代表).

【答案】(l)a=L3,0.46万元；(2)0.466

【分析】(1)由频率和为1,列方程可求出。的值，先判断出中位数在第三组，然后列方程求解即可，

(2)根据平均数的定义结合频率分布直方图求解.

【详解】(1)由题可知，2xax0.1+2.0x0.1+3.0x0.1+1,8x0.1+0.6x0,1=l

即0.2〃=0.26,所以a=1.3.

因为前两组的频率和为0.lx(1.3+2.0)=0.33v0.5,前三组的频率和为0.1x(1.3+2.0+3.0)=0.63>0.5,

所以中位数在第三组，设中位数为X,则0.13+0.2+(x—0.4)x3.0=0.5,解得xgO.46,

所以样本中消费金额的中位数约为0.46万元；

(2)由频率分布直方图可得

7=0.25x0.13+0.35x0.2+0.45x0.3+0.55x0.18+0.65x0.13+0.75x0.06=0.466

因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元.

8.(2122高一下•江苏无锡•期末)我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理

的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年100个家庭的月均用水量(单位：t),

将数据按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求全市家庭月均用水量不低于6t的频率；

(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值；

(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值(精确到0.01).

【答案】(1)0.3；(2)4.92(t)；(3)6.56

【分析】(1)直接由频率分布直方图计算；

(2)用每组区间的中点值乘以相应的频率再相加可得均值；

(3)由频率分布直方图分别求出前3组和前4组的频率，得出75%分位数在第4组，求出频率0.75对应的

值即可得.

【详解】(1)全市家庭月均用水量不低于6t的频率为(0.09+0.06)x2=0.3.

(2)全市家庭月均用水量平均数的估计值为

0.06x2xl+0.11x2x3+0.18x2x5+0.09x2x7+0.06x2x9=4.92(t)；

(3)因为0.06x2+0.11x2+0.18x2=0.7<0.75,0.06x2+0.11x2+0.18x2+0.09x2=0.88>0.75,

n7c_n7

所以全市家庭月均用水量的75%分位数为6+x2x6.56.

0.18

9.(2122高一下•江苏无锡・期末)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了

解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量(单位：n?),将数据按照［0,4),

［4,8),…，［32,36)分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实

行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20m3的部分按3元/n?收费，第二阶梯为

超过20m3但不超过28m3的部分按5元/n?收费，第三阶梯为超过28m3的部分按8元/„?收费.

频率/组距

0.020

0.015

0.010

0.005

12162024283236月均用水量

(1)求直方图中。的值；

(2)已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由；

(3)该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行

收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少n??

【答案】(1)a=0.0375；(2)146000,理由见解析；(3)现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量

的上限至少上调到29m3

【分析】(1)频率分布直方图中的所有矩形的面积之和为1建立关于。的方程，求出。的值；

(2)由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过20m3”，算出频率，得出全市

7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数；

(3)抽取的100户居民月均用水量不超过28m3的频率为0.94<0.95,所以现行收费标准不符合要求.抽取

的100户居民月均用水量不超过32m3的频率为1,现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限

至少上调到29n?.

【详解】(1)由频率分布直方图可得

(0.010+0.020+a+0.050+0.065+(2+0.015+0.010+0.005)x4=l,解得a=0.0375.

(2)由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过20m3”，则100户居民中有

(0.010+0.020+0.0375+0.050+0.065)x4xl00=73,由此可以估计全市7320万户居民中月均用水费用不超

73

过60元的用户数为——x200000=146000.

(3)抽取的100户居民月均用水量不超过28m3的频率为:

(0.010+0.020+0.0375+0.050+0.065+0.375+0.015)x4=0.94,

0.94<0.95，所以现行收费标准不符合要求.

抽取的100户居民月均用水量不超过32m3的频率为:

(0.010+0.020+0.0375+0.050+0.065+0.375+0.015+0.010)x4=0.98,

095-094

-----------x(32-28)=l,

0.98-0.94

现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到29m二

10.(2122高一下•江苏南通・期末)立德中学高一年级800名学生参加某项测试，测试成绩均在65分到145分

之间，现随机抽取50名学生的测试成绩，分8组：第1组［65,75),第2组［75,85),L,第8组［135,145］,

(2)估计学生测试成绩的平均数；

(3)估计学生测试成绩的中位数.

【答案】(1)。=0.034；(2)100.8；(3)100.29

【分析】(1)利用频率之和为1，求出。的值;

(2)根据频率分布图的平均数的运算规则计算即可；

(3)根据中位数的定义计算即可.

【详解】(1)解：由题意可得，(0.004+0.012+0.016+4+0.020+0.006+0.004+0.004)x10=1,

解得a=0.034

(2)学生测试成绩的平均数为：

0.004x10x70+0.012x10x80+0.016x10x90+0.034x10x100+0.020x10x110+

0.006x10x120+0.004x10x130+0.004x10x140=100.8

（3）设中位数为x,贝

0.004x10+0.012x10+0.016*10+（x-95）x0.034=0.5,

解得x。100.29

11.（2122高一下.江苏宿迁•期末）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，

果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为

了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中

抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：

（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；

（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；

（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，己知甲复赛获优秀等级的概率为g,乙复赛获优秀等级

的概率为=,甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.

4

【答案】（1）2人；（2）平均数为71,中位数为2答20；（3）首11

【分析】（1）先根据各矩形的面积之和为1,求得。，再根据各层的人数比例抽取；

（2）利用平均数和中位数公式求解；

（3）法一，分一人或二人获优秀，利用互斥事件和独立事件的概率求解；法二：利用对立事件的概率求解.

【详解】（1）解：由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+4）x10=1,

得a=0.03,

因为0.01x10x200=20（人），0.015x10x200=30（人）.

20

所以不高于50分的抽5x市市=2（人）；

(2)平均数于=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.。5=71.

因为在［40,70］内共有80人，则中位数位于［70,80］内，

则中位数为TO+^xlOn丁;

603

(3)记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A,

32311

则P(A)=—X——F—X——|-—X—=

答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为1.

法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A

-1111

P(A)=1-P(A)=1——x-=—

3412

答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为

12.(2122高一下•江苏盐城•期末)为了有效抗击疫情，保卫师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更

好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满

分是100分，将问卷回收并整理评分数据后,把得分分成了5m：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100],并绘制成如图所示的频率直方图.

0.020

0.015

5060708090100评分

(1)计算a的值和样本的平均分；

(2)为了更全面地了解师生对食堂服务水平的评价，求该样本的50百分位数(精确到0.01).

【答案】(1)4=0.005,样本平均分为71分；(2)68.18分

【分析】(1)由频率和为1求参数a,根据直方图求样本平均分；

(2)首先判断50百分位数所在区间，再由百分数求法求得50百分位数.

【详解】(1)由直方图知：(0.055+0.02+0.015+2a)*10=1,可得。=0.005,

样本平均分为(55x0.005+65x0.055+75x0.02+85x0.015+95x0.005)x10=71^".

(2)由(0.005+0.055)x10=0.6>0.5>0.005xlO=0.05,

所以50百分位数在[60,70)区间内，令50百分位数为x,

贝0.005x10+(%—60)x0.055=0.5,可得%。68.18分.

13.(2122高一下•江苏南京・期末)为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了

物理测试.根据测试成绩(总分100分)，将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示.

⑴求图中a的值;

(2)试估计本次物理测试成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(3)该校准备对本次物理测试成绩优异(将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异)的学生进行嘉奖，则

受嘉奖的学生分数不低于多少？

【答案】(1)0.025；(2)71；(3)88

【分析】(1)由直方图区间频率和为1求参数

(2)根据直方图求物理测试成绩的平均分即可;

(3)根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.13对应分数即可.

【详解】(1)由(0.005+0.010+0.015x2+4+0.030)x10=1,解得。=0.025；

(2)45x0.05+55x0.15+65x0.3+75x0.25+85x0.15+95x0.1=71,

故本次防疫知识测试成绩的平均分为71；

(3)设受嘉奖的学生分数不低于x分，

因为[80,90),[90,100]对应的频率分别为0.15,0.1,

所以(907)x0.015+。1=013,解得》=88,

故受嘉奖的学生分数不低于88分.

14.（2122高一下•江苏连云港•期末）2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情

况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表.

（2）根据频率直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）；

（3）现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的

平均数；=7,方差/=2,第5组得分的平均数］=7,方差则这6人得分的平均数1和方差分别

为多少（方差精确到0.01）?

【答案】（1）。=35；人=0.30；作图见解析；（2）众数的估计值为7.5；中位数的估计值为11.67；（3）平均数为

7,方差为1.67

【分析】（1）根据频率之和为1,以及频数之和为样本容量，即可求解.

（2）根据频率分步直方图，可求众数以及中位数.

（3）根据平均数和方差的公式即可求解.

【详解】⑴：5+4+30+20+10=100,...4=35.

0.05+0.35+5+0.20+0.10=1,AZ?=0.30.

易知中位数应在[10,15)内，设中位数为x,

贝U0.05+0.35+(x—10)x0.06=0.5,解得x°11.67,故中位数的估计值为11.67.

(3):第4组和第5组的频数之比为2：1,.•.从第4组抽取4人，第5组抽取2人.

・、»/«ZR/<4xx+2xy4x7+2x7

..这6人得分的平均数a=--------------=--------------=7,

方差

QL67

即这6人得分的平均数为7,方差为1.67.

15.(2223高一下•江苏无锡・期末)某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分

层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30),[30,40),…,[80,90],

并整理得到频率分布直方图如图所示.

(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率;

(2)估计测评成绩的第75%分位数；

(3)已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样

本中分数小于40的学生中随机抽取一人，贝厂抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是

否独立?请证明你的结论.

【答案】⑴0.2；(2)78.75；(3)不相互独立，证明见解析

【分析】(1)由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，

从而得解；

(2)先判断测评成绩的第75%分位数所在区间，再利用百分位数的计算方法求解即可；

(3)依题意分别求得这两事件与交事件的概率，再利用独立事件的概率公式判断即可.

【详解】(1)由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：(0.02+0.04+0.02)x10=0.8,

则分数小于60的频率为：1-0.8=02,

故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.2；

(2)由频率分布直方图易得分数小于70的频率为0.4,分数小于80的频率为0.8,

则测评成绩的第75%分位数落在区间［70,80)上，

所以测评成绩的第75%分位数为70+10x用035=78.75；

0.4

(3)依题意，记事件A="抽到的学生分数小于30”，事件8="抽到的学生是男生”，

因为分数小于40的学生有5人，其中3名男生；

所以“抽到的学生是男生”的概率为尸(可=1,

因为分数小于30的学生有2人，其中1名男生，

所以“抽到的学生分数小于30”的概率为尸(A)=(,

因为事件AB表示“抽到的学生分数小于30且为男生”，满足条件的只有1名男生，

所以尸(4B)=g,

因为P(A)尸(B)NP(AB),

所以这两个事件不相互独立.

16.(2223高一下•江苏苏州•期末)数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，

为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和

可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标.现从使

用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位:岁）进行分组:第1组［15,25）,第2组［25,35）,

第3组［35,45）,第4组［45,55）,第5组［55,65］,得到如图所示的频率分布直方图.

⑵在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在［25,35）和［45,55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中

随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在［25,35）内的概率.

2

【答案】（1）。=0.035,第25百分位数为30；⑵］

【分析】（1）根据频率和为1可求。的值，判断第25百分位数在第二组，设为无，列方程可求解；

（2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在［25,35）的人数为4人，年龄在［45,55）的人数为2人，利用列举法，

根据古典概型概率公式求解即可.

【详解】（1）（a+0.03+0.015+0.01x2）xl0=l=>a=0.035,

因为第一组的频率为0.01x10=0.1,0.1<0.25,

第二组的频率为0.03x10=0.3,0.1+0.3>0,25,

比一25

所以第25百分位数在第二组，设为无，贝。0.1+二一、0.3=0.25=》=30,

所以第25百分位数为30.

（2）年龄在［25,35）的市民人数为200x0.3=60,年龄在［45,55）的市民人数为200x0.15=30,

用分层随机抽样的方法抽取年龄在［25,35）的人数为6x^^=4人，年龄在［45,55）的人数为6x而普=2人,

设年龄在［25,35）的4人为A,B,C,D,年龄在［45,55）的2人为E,F,

从这6为市民中抽取两名的样本事件为

其中2名年龄都在［25,35)内的样本事件有{(AB),(AC),(AD),(3C),(3。),(CD)}6种，

所以两名幸运市民年龄都在［25,35)内的概率为2=|.

17.(2223高一下•江苏宿迁•期末)一只不透明的口袋内装有大小、质地相同，编号分别为1、2的两个球,

从口袋内随机取1个球，记下号码后放回，这样重复取3次球，用有序实数组来表示样本点，如“(1,2,

2)”表示第一次取到的是1号球，第二、第三次取到的都是2号球.

⑴请你写出该随机试验的样本空间。；

(2)记“前两次取到的号码相同”为事件A,“后两次取到的号码相同”为事件反

①试判断事件A与事件8是否为相互独立事件；

②求事件A+8的概率尸(A+B).

【答案】⑴。={(1」,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}；(2)①事件A与事件B为相互

独立事件；②二3

【分析】(1)根据已知，写出即可；

(2)①根据已知写出事件A8,48包含的样本点，根据古典概型计算出尸(A),尸(3),P(AB)的值，根据独立

事件概率的乘法公式，计算即可判断；②方法一：列出事件A+3包含的样本点，根据古典概型计算即可;

方法二：写出对立事件包含的样本点，计算得出概率，然后根据对立事件的概率公式，计算即可；方法三：

根据①的概率，结合事件的运算关系，计算即可得出答案.

【详解】(1)根据已知，可得样本空间

O={(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)},包含8个等可能的样本点.

(2)①由(1)可知,事件A包含的样本点有：(1,1,1),(1,1,2),(2,2,1),(2,2,2),

41

故尸(A)=d=彳；

o2

事件3包含的基本事件有：QU),(2,1,1),(1,2,2),(2,2,2),

41

故P(B)=W=7；

o2

事件AB包含的基本事件有：(1,1,1),(2,2,2),

故P(AB)=~=~;

84

因P(A)P(B)=|x1=l=P(AB),

故事件A与事件B为相互独立事件.

②方法一：事件A+8包含的基本事件有：

(1,1,1),(1,1,2),(2,2,1),(2,2,2),(2,1,1),(1,2,2),

故P(A+B)W.

84

方法二：设事件A+3的对立事件为C,则事件。包含的基本事件有：(1,2,1),(2,1,2),

21

故P(C)=7=T，

84

13

P(A+B)=l-P(C)=l--=-.

44

1113

方法三:尸(A+8)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+---=-.

2244

18.(2223高一下•江苏扬州•期末)某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种

植了一批培溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单

位：千克)均分布在区间［157.5］内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：

(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间［253.5),［3,5,4.5)的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随

机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率；

(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000

个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：

A.所有蜜柚均以20元/千克收购；

B.低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购.

请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

7

【答案】⑴记；⑵方案A

【分析】(1)依题意可得蜜柚质量在区间［25,3.5)和［35,4.5)的比为2：3,则分别在质量为［2.5,3.5),［3,5,4.5)

的蜜柚中抽取2个和3个，求出从这5个蜜柚中随机抽取2个的可能情况，再求出至少有一个小于3.5千克

的方法种数，由古典概率公式代入即可得出答案.

（2）分别计算两种方案的收益，比较两者的大小即可得出答案.

【详解】（1）由题意得：x=l—（0.1x2+0.4+0.2+0.05）=0.15

所以蜜柚质量在区间[2,5,3.5）和[3.5,4.5）的比为2：3,

所以应分别在质量为[25,3.5）,[3.5,4.5）的蜜柚中抽取2个和3个.

记抽取的2个蜜柚中质量至少有一个小于3.5千克为事件A

抽取的质量在区间[2.5,3.5）的蜜柚分别记为生,出，质量在区间[3.5,4.5）的蜜柚分别记为a，b2,

则从这5个蜜柚中随机抽取2个，

样本空间£2=｛a1a^卬片巧仇,0163M261M24吗。3,姑2,他3也4｝，共10个样本点

解法一：事件&=｛<21%,014,014,014，%4，%4，生。3｝，共7个样本点,

7

所以尸（田=正.

解法二：事件A对立事件入=抄也，贴3也4｝，共3个样本点，

所以尸（A）=l一P（同=1一f

（2）方案A好，

由题中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区间[L5,2.5）,[253.5）,[3.5,4.5）,[4.5,5.5）,[5.5,6.5）,[6.5,7.5）

的频率依次为0.1,0.1,0.15,0.4,0,2,0.05,

若按方案A收购：由题意知各区间的蜜柚个数依次为500,500,750,2000,1000,250,

于是总收益为

1.5+2.5_„„2.5+3.5_„„3.5+4.5_„4.5+5.5_„„„

----------x500+-----------x500+-----------x750+------------x2000

2222

5.5+6.5see6.5+7.5

+-----------x1000+-----------x250x20=465000（元）.

22

若按方案B收购：由题意知蜜柚质量低于4.5千克的个数为1750,

蜜柚质量高于或等于4.5千克的个数为5000-1750=3250,

所以总收益为1750x70+3250x90=415000（元）.

因为415000<465000,

所以方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.

19.（2223高一下•江苏淮安・期末）为全面贯彻落实习近平总书记“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”

的殷切嘱托，近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产

业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一

步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，

经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量（单位：公斤）绘制如下频率直方图，未存活重

量超过30公斤的养殖户，列为“重点帮扶养殖户”.

I频率/组距

0.03......1-

0.02———

0.01....................1

0右2。304050未存卷虾苗重量（公斤）

（1）根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗的平均数和中位数；

（2）现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重

量在（40,50］的概率.

【答案】（1）平均数23；中位数/70；（2）尚2

【分析】（1）根据题意结合平均数、中位数的概念运算求解；

（2）先求每组的人数，再结合古典概型运算求解.

【详解】（1）根据频率直方图可得：每组的频率依次为020.2,0.3,0.2,0.1,

估计平均数最为：^=5x0.2+15x0.2+25x0.3+35x0.2+45x0.1=23-

因为0.2+0.2=0.4<0.5,0.2+0.2+0.3=0.7>0.5,

可知中位数位于［20,30）内，设为加，

70

则0.4+0.03（加一20）=0.5,解得m=1,

70

所以可估计中位数为

3

（2）由（1）可知：未存活龙虾苗重量在（30,40］的养殖户有20x0.2=4个，记为A,B,C,Z）；

未存活龙虾苗重量在（40,50］的养殖户有20x0.1=2个，记为。，b-,

从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两个，则有A3,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,

Cb,Da,Db,ab,共15种情况,

其中有且仅有一个“重点帮扶养殖户”在(40,50]的情况有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,共8

种情况，

o

所以恰有一户未存活龙虾苗重量在(40,50]的概率P=己.

20.(2223高一下•江苏泰州•期末)一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1

和2),2个白球(标号为3和4),甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件与，

“乙摸到红球”为事件

(1)小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件与发生的可能性大于与发生的可能性.小明的判断是否正确，请

说明理由；

(2)判断事件均与此是否相互独立，并证明.

【答案】见解析

【分析】(1)先求出摸球的所有情况，利用古典概率求解尸(A),尸(鸟)，比较即可判断；

(2)利用独立事件的判定方法进行判断.

【详解】(1)两人摸出球的所有情况：(1,2),(1,3).(1.4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),

(4.1)(4,2),(4,3),共12种；

事件属包含的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),共6种；

事件&包含的情况有：(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)(4,2),共6种；

所以P出)=P(鸟)=：,故小明的判断不正确.

21

(2)事件飞鸟包含的情况有：(1,2),(2,1),故/

12o

因为尸=P(RR2)*P⑻P⑻;

所以事件均与国不相互独立.

21.(2223高一下•江苏扬州•期末)某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需

了解全校学生的课外阅读情况，现随机调查了100名学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，把他

们的阅读时间分为5组：[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),并绘制如图所示的频率分布直方

图.

（1）求X的值及这100名学生课外阅读时间的平均数.（各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平）

（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为［10,20）,［20,30）的

学生中抽取6名参加座谈会.再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人读书时间在［10,20）的概率.

O

【答案】⑴0。3；平均数为26；（2）记

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求出x,再根据平均数公式计算可得；

（2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）由题意得：x=1-10（-05x2+0.02+0.04）=，

10

这100名学生阅读时间的平均数为：

5x0.05+15x0.2+25x0.4+35x0.3+45x0.05=26,

所以这100名学生阅读时间的平均数为26；

（2）由直方图得：课外阅读时间为［10,20）与［20,30）的学生数的比为1:2,

所以，课外阅读时间在［10,20）有2名，阅读时间在［20,30）有4名.

记从这6名学生中随机抽取2人，

恰好有一人读书时间在［10,20）为事件M

课外阅读时间在［10,20）的2名学生分别记为a、b,

阅读时间在［20,30）的4名学生分别记为A、B、C、D,

所以从这6人中任意抽取2人，

样本空间

O={(a,b),(a,A),(a,8),(a,C),(a,£>),(%,A),(6,8),0,C),(6,£)),

(AB),(AC),(AD),(B,C),(B,£>)«,£>)},共15个样本点,

其中M={(a,A),(a,B),(a,C),(a,0,0,A),(b,B),(女C),但,0},共8个样本点,

所以尸（"）=（.

22.（2223高一下•江苏南通・期末）某校知识竞赛分初赛、复赛两轮.某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学

校知识竞赛（初赛），抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表：

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

甲的成绩（分）10090120130105115

乙的成绩（分）9512511095100135

（1）试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象；

（2）初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛.若某参赛者会5道

中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率.

7

【答案】（1）甲、乙的平均分相同，但甲的成绩比乙稳定；选甲参加知识竞赛较合适；（2）历

【分析】（1）根据表格数据计算平均数和方差，比较即可确定人选；

（2）列举总的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概率概率计算公式即可求解.

——100+90+120+130+105+115…

【详解】（1）