2025年高考数学复习之幂函数、指数函数、对数函数

2025年高考数学复习新题速递之幕函数、指数函数、对数函数

一.选择题（共8小题）

1.（2024秋•靖远县月考）已知函数/（x）=log2（2-x）的值域是（0,+8）,则/（x）的定义域为（）

A.(-8,1)B.(-8,2)C.(1,2)D.(-8,0)

2.（2024秋•东城区校级月考）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限/约为3361,而可观测宇宙中

M

普通物质的原子总数N约为1085,则下列各数中与否最接近的是（）（参考数据：值3y0.48）

A.1088B.1078C.1068D.1058

3.(2024秋•青岛月考)已知集合4={卫丫=历(4-x)},B={1,2,3,4,5},则()

A.{5}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

4.(2024•南开区模拟)已知a=logb2,b=log2c=(1)3,贝I]()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

5.（2024•七星区校级模拟）已知实数a,b,c满足a=（界，be==%则（

)

A.B.C.c<a<bD.c〈b〈a

6.(2024•珠海模拟)已知〃>0且QTM,下列等式正确的是()

6

a2

ZAx•f2C/-3=C/--6JB-/•-Q-aCv

a3

3i

C.a6+a3—a789D.a-2=

>3

7.(2024•南昌开学)已知log2m-log2〃=l,贝I()

A.mn=2B.m-n=2C.2m=nD.m=2n

8.（2024•南昌开学）算术基本定理也称素因数分解定理，它是这样描述的：任何一个大于1的自然数N,

可以唯一分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式是唯一

的.记N=pi°i>P2"2i•p/成（其中Pi是素数,pi<p2<-<pk,i,蛇N*,IW/WA,4是正整数），这样的

分解称为自然数N的标准素数分解式，则60的标准素数分解式是（）

A.2X5X6B.22X15C.2X3X10D.22X3X5

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2024秋•沙依巴克区校级月考）下列命题正确的是（）

A.命题：“Wxe（1,+8）,都有7>1"的否定为"mxe（-8,i],使得/wi

B.将函数y=/（-x）的图象向左平移1个单位得到函数-x-1）的图象，二者值域相同

C.若基函数/（x）=/（a£R）经过点4，2）,则函数/（x）为奇函数，且在定义域上为减函数

D.已知a=log20.3,b=203,c=sin2,则a,b,c的大小关系为cz<c<b

（多选）10.（2024•未央区校级开学）下列运算结果为1的有（）

11_1

A.e2e4e-8B.Ig2.+lg5

21

C.83—92D.Iog23Xlog34Xlog42

（多选）11.（2024春•西湖区校级期末）围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代

围棋棋盘共有19行19歹U，361个格点，每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况，因此整个棋盘

上有3361种不同的情况，下面对于数字3361的判断正确的是（参考数据：伙3po.4771）（）

A.3361的个位数是3B.3361的个位数是1

C.3361是173位数D.3361是172位数

（多选）12.（2024秋•武汉月考）下列选项正确的是（）

A.命题‘勺苫>0,/+x+l20”的否定是Vx<0,/+x+l<0

B.满足2,3｝的集合加的个数为4

C.已知x=/g3,y=lg5,贝!J/g45=2x+y

D.已知指数函数/（x）且aWl）的图象过点（2,4）,则Zogaa=1

三.填空题（共4小题）

13.（2024•珠海模拟）109316=

log32

14.（2024•湖南开学）已知幕函数/（x）=（机2+机-5）;1m一1在（0,+8）上单调递减，则机=.

11

15.（2024秋•重庆月考）若x>0,y>0,且Iog2x=log5y=/g（x+y）,则一+—=______.

“"'xy

16.（2023秋•贵阳期末）塞函数无）=（m2-2m-2）/在区间（0,+^）上单调递增，则实数机的

值为.

四.解答题（共4小题）

17.（2023秋•福州月考）己知函数无）=/+6（a>0且aWl,6为常数）的图象经过点P（l,5）,Q

（2,11）.

（1）求a,b的值；

（2）设函数g（无）=loga（2x+l）+logbx,求g（x）在［1,4］上的值域.

18.（2024•漳州开学）先化简、再求值：（1一§+七"*一密，其中/+2x-13=0.

人XT"人I乙

*121+iOfls3

19.(2024春•昭通月考)(1)化简：log49-log38+lne~+IgO.Ol+6；

tan(-1500)-cos(-5700)-cos(-1140°)

-tan(-210o)-sin(-690°)

20.(2024•灵寿县校级开学)因式分解：

(1)4?-64；

(2)(?+2x)2-2(X2+2X)-3.

2025年高考数学复习新题速递之幕函数、指数函数、对数函数（2024年9

月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2024秋•靖远县月考）己知函数/（X）=log2（2-x）的值域是（0,+8）,则无）的定义域为（）

A.（-8,1）B.（-8,2）C.（1,2）D.（-8,o）

【考点】对数函数的定义域.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】结合对数函数的性质计算即可得.

【解答】解：因为/（x）的值域是（0,+8）,

所以2-尤＞1,解得尤＜1.

故选：A.

【点评】本题主要考查对数函数的性质应用，属于基础题.

2.（2024秋•东城区校级月考）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中

普通物质的原子总数N约为1（）85,则下列各数中与正最接近的是（）（参考数据：磔心0.48）

A.1088B.1078C.1068D.1O58

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解.

M3361

【解答】解：设;；=x=77启，

N1085

鼻361

两边同时取对数可得，Igx=仞施=361⑷3-85《88,

故与U最接近的是1O88.

故选：A.

【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题.

3.（2024秋•青岛月考）己知集合4=国〉=加（4-x）},B=（l,2,3,4,5},则（）

A.{5}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.[1,2,3,4,5）

【考点】对数函数的定义域；求集合的交集.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解.

【解答】解：集合A={尤|y=/w（4-x）]=[x\x<4},B=[1,2,3,4,5},

则ACB={1,2,3}.

故选：B.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

4.（2024•南开区模拟）已知a=log四2,b=log2c-（1）3,则（）

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】c

【分析】根据已知条件，结合指数、对数的运算性质，即可求解.

【解答】解：a=log^2>log^y/3=1,

b=log2与<log21=0,

Q<c=

故a>c>b.

故选：C.

【点评】本题主要考查指数、对数的运算性质，属于基础题.

5.（2024•七星区校级模拟）已知实数a,b,c满足a=

A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.

【解答】解：

i5i1i

0<(^)3<(^)e<(A)°=1,：.o<a<b<l,

.(》c—[c=log匿>logi^=L

：・a〈b〈c.

故选：B.

【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题.

6.(2024•珠海模拟)已知〃>0且下列等式正确的是()

A/23=6B--n2

a3

3i

C.a6+a3—c^D.a~2--=

一

【考点】有理数指数幕及根式化简运算求值.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】ABC选，利用指数幕的运算法则判断，。选项，由分数指数塞的定义得到。正确.

【解答】解：A选项，。>0且aWl,故/2・『=鼠2+3=4,A错误；

d

8选项，〃>0且“W1,故不■=Y-？=。3,3错误；

c选项，a+iw/,c错误；

311

D选项，〃>0且〃W1,故a2=—=-?=,D正确.

a2[加

故选：D.

【点评】本题主要考查了指数幕的运算性质的应用，属于基础题.

7.(2024•南昌开学)已知log2M-log2〃=l,贝!J()

A.mn=2B.m-n=2C.2m=nD.m=2n

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】根据对数运算求得正确答案.

【解答】解：log2m-log2n=log2

所以一=2,m=2n.

n

故选：D.

【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题.

8.(2024•南昌开学)算术基本定理也称素因数分解定理，它是这样描述的：任何一个大于1的自然数N,

可以唯一分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式是唯一

的.idN=pial*p2a2-7n欣(其中pi是素数，pi<p2<-<pk,i,依N*,IWIWA,)是正整数)，这样的

分解称为自然数N的标准素数分解式，则60的标准素数分解式是()

A.2X5X6B.22X15C.2X3X10D.22X3X5

【考点】有理数指数幕及根式化简运算求值.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】由算术基本定理直接分解即可.

【解答】解：60=4X15=22X3X5.

故选：D.

【点评】本题主要考查了新定义问题，属于基础题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2024秋•沙依巴克区校级月考)下列命题正确的是()

A.命题：“vxe(1,+8),都有/>i”的否定为“mxe(-口，使得/wi”

B.将函数y=/(-x)的图象向左平移1个单位得到函数-X-1)的图象，二者值域相同

C.若幕函数/(x)=/经过点4，2),则函数/(x)为奇函数，且在定义域上为减函数

D.已知a=log20.3,b=203,c=sin2,则a,b,c的大小关系为a<c<b

【考点】求幕函数的解析式；对数值大小的比较；求全称量词命题的否定；函数的图象与图象的变换.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】BD

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可判断A，根据函数的图象变换规律可判断8,根据

辱函数的性质可判断C,根据对数函数、指数函数和正弦函数的性质可判断D

【解答】解：对于A,命题：“Vxe(1,+8),都有7>1”的否定为Txe(1,+8),使得/W1”，

故A错误；

对于8,将函数y=/(-x)的图象向左平移1个单位得到函数>=/[-(x+1)]=/(-X-1)的图象,

二者值域相同，故B正确；

对于C,若幕函数/（x）=x°（o£R）经过点（吉，2）,

贝女》。=2,

解得a=-苗

所以/（X）=%-3=显然函数/（X）为奇函数，但是在定义域上不单调，故C错误；

对于。，因为。=k>g20.3<log21=0,Z?=2°-3>2O=1,0<sin2<l,

所以。<（?<6,故£）正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查了命题的否定，考查了函数图象的变换，以及募函数的性质，属于中档题.

（多选）10.（2024•未央区校级开学）下列运算结果为1的有（）

11_1

A.e2e4e-8B.Ig2+lg5

21

C.83—92D.Iog23Xlog34Xlog42

【考点】对数的运算性质；有理数指数募及根式化简运算求值.

【专题】计算题；对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】BCD

【分析】由对数运算及指数运算的性质化简即可.

1111,115

+

【解答】解：对于选项A,62646-8=624-8=68^1,故A错误；

对于选项2,/g2+/g5=/gl0=l,故2正确；

21

对于选项C,83-92=4-3=1,故C正确；

对于选项£>,log23Xlog34Xlog42=log24Xlog42=1,故Z）正确.

故选：BCD.

【点评】本题主要考查了有理数指数幕的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题.

（多选）11.（2024春•西湖区校级期末）围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代

围棋棋盘共有19行19歹！J,361个格点，每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况，因此整个棋盘

上有3361种不同的情况，下面对于数字3361的判断正确的是（参考数据：伙3心0.4771）（）

A.3361的个位数是3B.3361的个位数是1

C.3361是173位数D.3361是172位数

【考点】对数的运算性质.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】AC

【分析】归纳推理可判断3361的个位数字，结合对数的运算性质可判断3361的位数.

【解答】解：由31=3,32=9,33=27,34=81,3$=243,…个位数分别为3,9,7,1,3,…以4为

周期循环往复，

因为3614-4的余数为1,故3361的个位数与31的个位数相同，

即3361的个位数为3,故A正确，B错误;

因为这3361=361盘3七361X0.4771=172.2331,

所以3361^101722331=IO0'2331X1002,

因为ioO2331e（1,2）,

所以3361为173位数，故c正确，D错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了归纳推理，属于中档题.

（多选）12.（2024秋•武汉月考）下列选项正确的是（）

A.命题“ic>0,f+x+120”的否定是Vx<0,AX+KO

B.满足2,3｝的集合M的个数为4

C.已知x=/g3,y=lg5,贝!]/g45=2x+y

D.已知指数函数/（x）=/（a>0且aWl）的图象过点（2,4）,则/。外企=1

【考点】由指数函数的解析式求解参数；对数的运算性质；求存在量词命题的否定.

【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；数学运算.

【答案】BC

【分析】对于A,命题的前提发生变化；对于8,求出满足条件的集合个数即可；对于C,由题意计算

出/g45=/g5+/g9=/g5+2/g3=2x+y即可判断；对于，先求出a,再算出=讶即可判断.

【解答】解：对于A,存在量词命题的否定是全称命题，但前提条件不变，

所以命题'勺尤>0,/+x+l》O”的否定是Vx>0,/+x+l<0,

故选项A错误；

对于8,满足｛1｝UMU｛1,2,3｝的集合M的个数为23-1=4,

故选项8正确；

对于C,X=lg3,y=lg5,所以lg45=Ig5+lg9=Ig5+2lg3=2x+y,

故选项C正确；

对于。，己知指数函数了（无）—ax（a>0且aWl）的图象过点（2,4）,

所以/=4,。=2,所以/出&｝故选项。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查存在性命题否定，判断集合的子集的个数，对数的运算，指数函数的判定与求值.

三.填空题（共4小题）

13.（2024•珠海模拟）109316=4.

log32

【考点】对数运算求值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】4.

【分析】利用对数运算求解.

【解答】解：等当=穿=警£=4.

20g32log3220g32

故答案为：4.

【点评】本题主要考查对数的运算，属于基础题.

14.（2024•湖南开学）已知幕函数/（无）=2+机-5）的「I在（0,+8）上单调递减，则m=-3.

【考点】募函数的单调性与最值.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】-3.

【分析】先根据函数是基函数计算求参得出相=-3或m=2,最后结合函数的单调性计算得出符合题

意的参数.

【解答】解：由题意可得/（x）=（毋+机-5）0一1为幕函数，则机2+机-5=1,解得机=-3或机=2.

当m=2时，无）=尤为增函数，不符合题意；

当机=-3时，f（x）=x”在（0,+8）单调递减，符合题意.

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查了塞函数性质的应用，属于基础题.

11

15.（2024秋•重庆月考）若无>0,y>0,且Iog2x=log5y=/g（x+y）,则一+—=1.

xy

【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】1.

【分析】由已知结合指数及对数的转化关系及指数的运算性质即可求解.

【解答】解：若x>0,y>0,

令log”=log5y=/g(x+y)=t,

则x=2‘，y=5‘，x+y=10'，

因为xy=2/«5f=10/=x+y,

1x+y

贝卜+-=---=1.

xyxy

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了指数与对数的转化关系及指数幕的运算性质的应用，属于基础题.

16.(2023秋•贵阳期末)塞函数/(x)=(m2-2祖-2)/在区间(0,+^)上单调递增，则实数根的

值为3.

【考点】累函数的概念；幕函数的单调性与最值.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】3.

【分析】根据哥函数的定义与单调性可得出关于m的等式与不等式，即可解得实数m的值.

【解答】解：因为暴函数/(无)=(m2-2m-2)/在区间(0,+-)上单调递增，

(m2—2m-2=1

则，解得机=3.

[m>0

故答案为：3.

【点评】本题主要考查不函数的定义，属于基础题.

四.解答题(共4小题)

17.(2023秋•福州月考)已知函数无)=〃+b(a>0且aWl,b为常数)的图象经过点P(l,5),Q

(2,11).

(1)求a,b的值；

(2)设函数g(尤)=loga(2x+l)+logw,求g(x)在口，4]上的值域.

【考点】对数函数的图象；函数的值域.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】⑴6=5,a=2；

(2)[1,4].

【分析】(1)利用待定系数法即可得解；

(2)利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.

【解答】解：(1)因为/(尤)=〃+b的图象经过点P(1,5),Q(2,11),

所以卜:+9=乙两式相减得a2-a-6=0,

(a2+h=11

又〃>0且aWl,解得〃=3或-2(舍去)，则。=5,a=2；

(2)由(1)得g(x)=log3(2x+l)+10g2X,

因为函数y=log3(2x+l)在［1,4］上单调递增，函数y=logzx在［1,4］上单调递增，

所以g(x)在［1,4］上单调递增，

贝!Jg(x)max=g(4)=log3(2X4+1)+log24=2+2=4,

g(x)min=g(1)=log3(2X1+1)+log21=1+0=1,

故g(x)在［1,4］上的值域为［1,4］.

【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，是基础题.

18.(2024•漳州开学)先化简、再求值：(1—■!)一白岁—雷，其中W+2x-13=0.

【考点】有理数指数幕及根式化简运算求值.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用指数幕的运算性质，结合数学公式化简，再代入求值.

【解答】解：(1—各十三岁一第

_x—2上(X—2)_x+4

-x.(x+2)(x—2)%+2

_X—2(x+2)(x—2)x+4

一x(X-2)2X+2

_x+2%+4

-xx+2

7

_(x+2)-x(x+4)

—x(x+2)

4

X2+2X"

•・・/+2x-13=0,

.*.X2+2X=13,

原式=

【点评】本题主要考查了有理数指数塞的运算性质，属于基础题.

21+l03

19.(2024春•昭通月考)(1)化简：log49-log38+lne~+IgO.Ol+6^6；

tan(-150°)-cos(-570°)-cos(-11400)

tan(-210°)-sm(-690°)

【考点】对数的运算性质；运用诱导公式化简求值.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值；数学运算.

【答案】(1)17；

遮

(2)—.

2

【分析】(1)利用指数与对数运算性质运算即可得解；

(2)利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值即可.

21+l963

【解答】解：(1)log49-log38+lne~+IgO.Ol+f,0

22log63

=log223•3log32—2lne+lgl0~+6x6

=k)g23・31og32-2-2+6X3=3-4+18=17；

tan(-150°)-cos(-570°)-cos(-11400)

-tan(-210°)-sm(-690°)

_tan(-180°+300)-cos(-5400-300)-cos(-3x3600-60°)

=tan(-180o-30°)-sin(-2x360o+30°)

_£加30°・(一cos30°)・cos60°

——tan30°-sin30°

二4x(一里冈二后

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了诱导公式的应用，属于基础题.

20.(2024•灵寿县校级开学)因式分解：

(1)4/-64；

(2)(?+2x)2-2(?+2r)-3.

【考点】有理数指数塞及根式化简运算求值.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(1)4/-64=4(x-4)(x+4)；

(2)(?+2x)2-2(X2+2X)-3=(x+3)(x-1)(x+l)2.

【分析】(1)结合平方差公式即可求解；(2)结合十字相乘法即可求解.

【解答】解：(1)4/-64=4(x2-16)=4(x-4)(x+4)；

(2)(JT+2X)2-2(X2+2X)-3=(x2+2x-3)(x2+2x+l)=(x+3)(x-1)(x+1)2

【点评】本题主要考查了因式分解方法的应用，属于基础题.

考点卡片

1.求集合的交集

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与8的交集，记作AAB.

符号语言：4「12={尤|尤&4,且底8}.

AC2实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算性质：

①②AC0=0.③AnA=A.④AClBUA,AC匹2.

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】

掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

已知集合4={淤2位+120},8={x|/-尤-6<0},则AC2=（）

解:因为4={底2q+1>0}=*成仅2-1},-6<0}={x|-2<x<3},

所以"B={-1,0,1,2）.

故选：D.

2.求全称量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：VxeM,p（X）它的否命题r°：BX0E.M,rp（xo）.

【解题方法点拨】

写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，全称命题的否定的特称命题.

【命题方向】

全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在.例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几何

中关于图形性质的全称命题的否定等.这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判

断.

写出命题“V尤ez,|x|6N"的否定：.

解：因为特称命题的否定为全称命题，

所以命题“wxez,|x|eN”的否定是Fxez,|尤|硒命

故答案为：BxGZ,|x|gN.

3.求存在量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：BXOEM,p（X0）它的否命题r/7：yjX&M,rp（无）.

【解题方法点拨】

写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，特称命题的否定的全称命题.

【命题方向】

存在量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在.例如，代数中关于方程解的存在性命题的否定，几何

中关于图形性质的存在性命题的否定等.这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和

判断.

写出下列存在量词命题的否定：

（1）某箱产品中至少有一件次品；

（2）方程/-8x+15=0有一个根是偶数；

（3）SxGR,使7+x+lWO.

解：（1）某箱产品中都是正品；

（2）方程--8X+15=0每一个根都不是偶数；

（3）VA£R,使/+尤+1>0.

4.函数的值域

【知识点的认识】函数值的集合（/'（无）|XCA｝叫做函数的值域.A是函数的定义域.

【解题方法点拨】（1）求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法

等.

无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.

（2）函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.

在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.

（3）运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析

能力和数学建模能力.

【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现,

是常考题型.

5.函数的图象与图象的变换

【知识点的认识】

函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线.

解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，

然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）.

命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数

的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题.

图象的变换

1.利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线.

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性

等）.

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换：

y=f（x）a>0,右移a个单位（a<0,左移⑷个单位）=>y=/（x-a）；

y=f（x）b>0,上移6个单位（/?<0,下移|6|个单位）=>y=/（尤）+b.

（2）伸缩变换：

0<d<l>伸长为原来对倍

--------------------------------f~>

y=f（x）3,缩短法来叱尸”3尤）；

y=/（x）A>1,伸为原来的A倍（0<4<1,缩为原来的A倍）=尸4/（尤）.

（3）对称变换：

y=f(无)关于x轴对称=>y=-f(尤)；

y=/(无)关于y轴对称今y=/(-无)；

y=f(x)关于原点对称=>y=-/(-x).

(4)翻折变换：

y=/(x)去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边ny=/(|x|)；

y=/(无)留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|/1(尤)|.

【解题方法点拨】

1、画函数图象的一般方法

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根

据这些函数或曲线的特征直接作出.

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作

出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变

换单位及解析式的影响.

(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图

象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法

(1)知图选式：

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；

②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；

③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；

④从图象的循环往复，观察函数的周期性.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项.

(2)知式选图：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

④从函数的周期性，判断图象的循环往复.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项.

注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口.

3、(1)利有函数的图象研究函数的性质

从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向

趋势，分析函数的单调性、周期性等.

(2)利用函数的图象研究方程根的个数

有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值.

【命题方向】

(1)1个易错点--图象变换中的易错点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则，写出每一次的变换所

得图象对应的解析式，这样才能避免出错.

(2)3个关键点--正确作出函数图象的三个关键点

为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：

①正确求出函数的定义域；

②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、形如>=尤+

的函数；

③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过

程.

(3)3种方法--识图的方法

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的

信息，解决这类问题的常用方法有：

①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特

征来分析解决问题；

②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；

③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

6.累函数的概念

【知识点的认识】

累函数的定义：一般地，函数y=V叫做募函数，其中尤是自变量，。是常数.

P

解析式：y=xa=@

定义域：当〃为不同的数值时，塞函数的定义域的不同情况如下：

1.如果。为负数，则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为

偶数，则X不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；

2.如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数.

当x为不同的数值时，幕函数的值域的不同情况如下：

1.在X大于。时，函数的值域总是大于。的实数.

2.在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数.

而只有。为正数，0才进入函数的值域.

由于尤大于0是对a的任意取值都有意义的.

7.求募函数的解析式

【知识点的认识】

幕函数的定义：一般地，函数y=/叫做幕函数，其中x是自变量，。是常数.对于幕函数，我们只研究a

1

=1,2,3,-，-1时的图像与性质.

2

【解题方法点拨】

-根据已知条件设定募函数的形式，代入已知条件，求解指数a.

-写出塞函数的解析式，验证解析式的正确性.

【命题方向】

题目包括辨识累函数的形式，分析幕函数的特征及应用题.

若累函数＞=/(无)的图像过点(孝，2),则函数y=f(x)的解析式为.

解：募函数尸“无)=犷的图像过点(孝，2),

V2

(——)a=2,

2

解得a=-2,

则函数＞=/(x)的解析式为/(x)=x~2.

故答案为：f(x)=X-2.

8.嘉函数的单调性与最值

【知识点的认识】

一、累函数定义：

一般地，函数y=/(flGR)叫做暴函数，其中X是自变量，。是常数.

(1)指数是常数；

(2)底数是自变量；

(3)函数式前的系数都是1；

(4)形式都是>=/,其中。是常数.

二、募函数与指数函数的对比

式子名称

aXy

指数函数：y底数指数基值

=cf

幕函数：y=指数底数基值

三、五个常用事函数的图象和性质

(1)y—x；(2)y=f；(3)y—x-,(4)y=%2；(5)>=尤

231y=x1

尸工y=xy=x

y=%2

定义域RRR[0,+8){小#0}

值域R[0,+8)R[0,+8){y|y#0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增%e[0,+8)时，增增xG(0,+8)

增时，减

xE(-8,0]xG(-0°,0)

时，减时，减

公共点(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)

四、幕函数的性质

(1)所有的幕函数在(0,+8)都有定义，并且函数图象都通过点(1,1).

(2)如果。>0,则幕函数的图象过点(0,0),(1,1),并在［0,+8)上为增函数.

(3)如果。<0,则幕函数的图象过点(1,1),并在(0,+8)上为减函数.

(4)当。为奇数时，幕函数为奇函数，当a为偶数时，幕函数为偶函数.

9.有理数指数塞及根式化简运算求值

【知识点的认识】

根式与分数指数累

m__

规定：an—1y/a^(〃>0,m,尤N,n>l)

11*

CL”=-=——(a>0,n€N，〃>1)

annJ/a

0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数幕没有意义

有理数指数塞

(1)新的有关概念：

①正分数指数嘉：an=(〃>0,m,及EN*,且〃>1)；

7nli.

②负分数指数幕：a~n=~rn=(a>0,m,neN,且〃>1)；

③0的正分数指数事等于0,0的负分数指数幕无意义.

(2)有理数指数累的性质：

①〃々s=〃Ks(〃>0,r,seQ);

②(/)s=ars(。>0,r,sEQ)；

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,rEQ).

【解题方法点拨】

mii

-利用an-—m—nj—^(〃>0,m,n€N,且九>1)进行互化.

-利用指数运算法则，taam-an=am+n.S)〃=〃侬进行化简.

-利用根式运算法则，$D-\/a-Vb=赤=卜进行化简.

-验证化简和运算结果的正确性.

【命题方向】

题目通常涉及有理数指数幕及根式的化简和求值，结合具体问题进行运算和应用.

计算：(21)°-5-0,752+6-2x(务4=

解:Q护-0.752+6-2*(第4=[(|)2严_给2+嘉><[(|)3代=(|产。.5_(射+正》

,23X(4)_3913_47

⑺3-2-16+36X2-