2025年高考数学复习之平面向量及其应用

2025年高考数学复习新题速递之平面向量及其应

选择题（共8小题）

1.（2024•河南模拟）如图，在平面四边形A8CD中，若BC=2AB=4,AC=2V7,AB±BD,ZBCD=

q

则（）

A.V3B.2C.2V6-2V2D.4b一4

2.（2024•浙江开学）已知平面向量云，盛满足：而=而|=2,且蔡在三上的投影向量为｝则向量就与

向量骨—藐的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

_>TTTTT

3.（2024秋•安徽月考）已知向量a=（l,V3）,若（a—3b）la,贝帕在a上的投影向量为（）

4.（2024秋•靖远县月考）已知向量a,b满足|a|=2|b|=2,且bl（b-a）,则g-a|=（）

A.1B.2C.V2D.A/3

TTTT—TT

5.（2024秋•泉州月考）己知|b|=2|a|,若a与6的夹角为60°,则2a-b在b上的投影向量为（）

T[T273T

A.bB.—万bC.—fbD.-b

222

6.（2024•西城区校级开学）在△ABC中，已知a=2,4=半则下列说法正确的是（）

A.当6=1时，ZkABC是锐角三角形

B.当6=竽时，△ABC是直角三角形

C.当人=看时，AABC是钝角三角形

D.当6=孩时，ZVIBC是等腰三角形

7.(2024秋•五华区校级月考)已知向量a=(1,2),|a+勿=V7,若b1(6-2a),贝|cos(a,b)=()

_V5B一匹V5V5

A.B，10c.—D.

105

8.（2024秋•五华区校级月考）设椭圆E；各，=l（a>b>0）的右焦点为R过坐标原点。的直线与E

->O-»―>—>—>—>

交于A,3两点，点。满足若AB-OC=0,AC-BF=0,则E的离心率为（)

V5V5V5

A.B.—C.D.

9753

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2024•西吉县校级开学）下列命题正确的是（）

-»―>

A.若向量AB,CD共线，则A,B,C,。必在同一条直线上

—>—>—»—>

B.若A,B,C为平面内任意三点，则力B+BC+C4=0

—>―»—>—>

C.若点G为△ABC的重心，则G4+GB+GC=0

—>…>r

D.已知向量a=(4+x,y-2),b=(x,y),若a〃b,则无-2y=0

（多选）10.（2024秋•吴江区校级月考）已知力、荒是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中,

能作为基底的一组是（）

A.+?2和—2。2

B.2%—°2和2。2—

C.4—2方和G

D.+。2和2?2+el

TT

（多选）11.（2024•湖南开学）设向量a=（3,k）,b=（2,-1）,则下列说法错误的是（）

-»T

A.若a与b的夹角为钝角，则上>6

B.面的最小值为9

C.与％共线的单位向量只有一个，为（孝，—孝）

D.若向=3亩，则2士6

（多选）12.（2024•章贡区校级开学）在AABC中，下列说法正确的是（）

—>

A.与旗共线的单位向量为士理

叫

B.AB-AC=BC

C.若前•品V0,则△ABC为钝角三角形

D.若△A8C是等边三角形，则几，晶的夹角为120°

三.填空题（共4小题）

T—TTT

13.（2024•河南模拟）已知a=（—l,3）,b=（t,2）,若（a-6）1b,贝h的值为.

—>—>—>

14.（2024•曹县开学）己知圆。的半径为4,BC,DE是圆。的两条直径，若8尸=3F。，则尸。•

FE=.

.TT—TT

15.（2024•铁东区校级开学）已知向量。=（—1,1）,b=（1/m）,若a1（jna+b）,贝|根

16.（2024•靖远县校级模拟）已知正方形尸QRS的边长为2vL两个点A,B（两点不重合）都在直线QS

—>—>

的同侧（但A,2与尸在直线SQ的异侧），A,B关于直线PR对称，若P2-RB=0,则面积的

取值范围是.

四.解答题（共4小题）

17.（2024•江西开学）已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中遮asinBcosA=bsi/4.

（1）求A的值；

（2）若△ABC的面积为百，周长为6,求△ABC的外接圆面积.

18.（2024•安徽开学）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,高^=焉若.

（1）求角C；

（2）若△ABC的面积S=2遮，若症）=2而，且|而|=3里，求△ABC的周长.

19.（2024秋•五华区校级月考）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-26+2ccosA=0.

（1）求角C；

V3

（2）若AB边上的高为1,△ABC的面积为可，求AABC的周长.

20.（2024•峨眉山市校级模拟）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2csin2cosA

b(sinAcosB+cosAsinB).

(I)求A；

(H)若△ABC的面积为16百，。为AC的中点，求8。的最小值.

2025年高考数学复习新题速递之平面向量及其应用（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2024•河南模拟）如图，在平面四边形A8CZ）中，若BC=2AB=4,AC=2^7,AB±BD,ZBCD=

则B_D=（）

A.V3B.2C.2V6-2V2D.4V3-4

【考点】正弦定理；余弦定理.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算.

【答案】D

【分析】先由余弦定理得出/ABC的余弦值，进而可得NABC的大小，再由正弦定理求出8。的大小.

【解答】解：在△ABC中，BC=2AB=4,AC=2小,

义4口十占工用h田BA2+BC2-AC222+42-（2V7）2

由余弦定理可侍：cosZABC=—前就一=-^4—=-

而NA8C6（0,n）,

所以NNBC=竽，

因为皿D所以加建,

在△8CQ中，/BCD/ZBDC=n-l-l=^n,

7nnnnnnnV6+V2

sin—=sin(—+-)=sin-cos-+cos-sin-=---------

123434344

BDBC

由正弦定理可得:

sinZ-BCDsin乙BDC'

匹

BCsin乙BCD4x

所以=7^=48-4.

sin乙BDC

~4

故选：D.

【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.

2.（2024•浙江开学）已知平面向量蓝，I满足：的=向=2,且蔡在盛上的投影向量为］71,则向量蓝与

向量管-蔡的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【考点】平面向量的投影向量；数量积表示两个平面向量的夹角.

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】根据题意，由投影向量的定义可得/■=2,再由向量的夹角公式，代入计算，即可求解.

——mnn1-»——

【解答】解：因为小在n上的投影向量为=-九，所以6-n=2,

\n\\n\2

又m•(n—m)=m-n—\m\2=2—22=—2,

—»—>22

\n—m\=—m)2=J|n|—2m-n+\m\=-4—2x2+4=2,

—>—>—>

m-(n—Tn)—21

所以cos〈zn,n一加=而7r宓=—2,

且0。<(m,n—m)<180°,则On,n—m>=120°.

故选：c.

【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

—>TTTTT

3.（2024秋•安徽月考）已知向量a=（LV3）,若（a—3b）La,则b在a上的投影向量为（）

A.G，圣B.（一/，一岁

C.V，—孕）D.小竽）

【考点】平面向量的投影向量.

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】A

T4

b--

【分析】由日-36）12得到三3再结合投影向量的定义，从而可求解.

TTTTT-

【解答】解：因为(a-36)la,所以a2-3a-6=0.

,->__>T4

又因为a=(1,V3),所以。,/)=玉

TT—>T

ttabaa1V3,,„

故6在a上的投影向量为==-=故A正确.

|a||a|

故选：A.

【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

7T->tTT—T7

4.（2024秋•靖远县月考）已知向量a,b满足|a|=2闻=2,且bl（b-a）,则仍一可=（）

A.1B.2C.V2D.V3

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂

直关系.

【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】D

TTTT

【分析】根据向量垂直得到方程，求出a-6=l,进而得到g-a|.

TTTTT

【解答】解：因为|a|=2|b|=2,且bl(6—a),

T—TTT

所以|a|=2,\b\=1,Z?•(Z?—a)=0,

7——TT

即》—a-b=0,解得a•b=1,

所以—a\=J(b—a)2=Ja2+b2—2a-b=V3.

故选：D.

【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题.

TT.TT-

5.（2024秋•泉州月考）已知|b|=2|a|,若a与b的夹角为60°,则2a—b在b上的投影向量为（

—>113T

A.bB.-2bC.-7TbD.-b

2

【考点】平面向量的投影向量.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】B

_,_>_._V->—>_V

【分析】根据平面向量数量积的定义与运算律，算出a?=|a『、（2a-b>b=-2\a\2,然后根据投影

向量的公式加以计算，即可得到本题的答案.

【解答】解：根据题意，可得a・b=|a|*|h|cos60°=\a\*2\a\9-=|a|2,

_>—>—>_>—>_>_>_>_)

所以(2a—b)，b=2a,b—b2=2|a|2-41al2=-2|a|,

TTTTT、T

可得2/--在「上的投影向量为（2口?）必x4-=一丝।x-4r=--b.

\b\\b\2|a|2\a\2

故选：B.

【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、投影向量的概念等知识，属于基础题.

6.（2024•西城区校级开学）在aABC中，已知a=2,则下列说法正确的是（）

A.当6=1时，△A8C是锐角三角形

B.当6=竽时，△ABC是直角三角形

C.当6=彳寸，△ABC是钝角三角形

D.当6=|时，"BC是等腰三角形

【考点】三角形的形状判断.

【专题】方程思想；综合法；解三角形；逻辑推理.

【答案】B

【分析】根据正弦定理逐项判断即可.

【解答】解：因为a=2,A=l，由正弦定理得：sinB=嗯兽=萼=单,

3ClZ4,

对于4当6=1时，sinB=由6ca且s讥B=苧V*可知，BV卷可得C*,

所以△ABC为钝角三角形，故A错误；

对于8,当6=时，sinB=l,即B为直角，故B正确；

对于C,当时，sEB=噜>1,可知2不存在，二角形不存在，故C错误；

r7171717171

对于。，当力=可时，sinB=>TJ,又b〈a,所以一VBV一,所以一VCV—,

$/6332

显然△ABC不可能是等腰三角形，故。错误.

故选：B.

【点评】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.

—>—>_>-T—>>

7.（2024秋•五华区校级月考）已知向量a=（1,2）,|a+。=夕，若b1（b-2a）,则cos〈a/b）=（

AV5BV5cV5V5

A

-FB.-JoC.10D.5

【考点】数量积表示两个平面向量的夹角.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】c

T—T—T

【分析】根据向量的模的公式，算出闻=逐.设Va,6>=①根据|a+6|=g,利用平面向量数量积

—>—>—>—>_>—>—>

的运算性质算出2V5|b|cos8+|b|2=2,根据b1(b一2a)歹U式算出|bF-2V^|b|cose=0,两式联解算出cos6

的值，即可得到本题的答案.

TTT—______

【解答】解：设Vfl,b>=0,由。=(1,2),得|a|=7I?+2?=6,

因为|a+b|=J7,所以(a+匕)2=\a\1+2a9b+|b|2=7,

—>—>—>—>

即5+2迷网cose+网2=7,整理得2通网cose+g|2=2…①.

->—>_->—>_—>—>

因为bl(b-2a),所以b«b-2a)=0,即网?一2西|b|cos9=0…②.

由①②组成方程组，解得面=1,cosB=磊即cosvZ,b>=^.

故选：C.

【点评】本题主要考查向量的模的公式、平面向量数量积的定义与运算性质等知识，考查了计算能力，

属于基础题.

8.(2024秋•五华区校级月考)设椭圆E：盘+*l(a>b>0)的右焦点为R过坐标原点。的直线与E

交于A,8两点，点C满足4尸=,(7,若4B•3=(),AC-BF=0,则E的离心率为()

V5V5V5V5

A.—B.—C.—D.—

9753

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】计算题；转化思想；解三角形；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】D

—>—>

【分析】根据题意可得AB_LOC且BP_LAC,且AF：FC=2：3,因此设|4F|=2f、|FC|=3rG>0),利

用垂直平分线的性质与勾股定理求出BC=5f,BF=4f,A3=2有人设椭圆的左焦点为/，连接/A、

F'B,可得四边形AFBP为平行四边形，从而利用椭圆的定义求出椭圆的离心率6=年窖而=坐.

AF+71F3

—>—>—>—>—>—>

【解答】解：设网=200),则|FC|=3f,由4B-OC=0,AC-BF=0,可得A8_L0C且BHLAC,

因为A、8关于点。对称，所以。4=02,结合ABL0C可得CA=CB,结合CA=|4F|+|FC|=5r,可得

CB=5t.

RtABFC中，BF=yJCB2-FC2=V25t2-9t2=4r；RtAABF中，AB=y/AF2+BF2=V16t2+4t2=

2V5t.

设椭圆的左焦点为P,连接/A、F'B,则四边形AEBP为平行四边形，所以EF'=AB=245t,

因为AF'=BF=4t,AP=2t,所以椭圆的离心率e=先=肃"==尊

乙aAr+4P4t+zu3

故选：D.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积及其性质、利用勾股定理解三角形、椭圆的定义与简单几何性

质等知识，属于中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2024•西吉县校级开学）下列命题正确的是（）

A.若向量前，而共线，则A,B,C,。必在同一条直线上

—>—>—>—>

B.若A,B,（?为平面内任意三点，贝1]48+8。+。4=0

-»—>—>—>

C.若点G为△ABC的重心，则GA+GB+GC=0

,TT.,T

D.已知向量a=（4+尤，y-2）,b={x,y）,右a〃b,贝lj尤-2y=0

【考点】平面向量的平行向量（共线向量）.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】BC

【分析】根据向量共线的定义判断出A项的正误；平面向量的线性运算法则判断出B项的正误；根据

平面向量的线性运算性质与三角形重心的性质，可判断出C项的正误；根据平面向量共线的坐标表示，

判断出。项的正误.

->—>

【解答】解：对于A,若向量AB,CD共线，只需两个向量方向相同或相反，

不一定A、B、C、。在同一直线上，故A项错误；

—>―»—>—>—>—>

对于8,根据平面向量线的性运算法则，可知力B+BC+ca=ac+a4=o,故B项正确；

—>—>—>—>—>

对于C,若点G为△ABC的重心，设AB中点为M,贝UG4+GB+GC=2GM+GC,

—>—>—>—>—>—>—>—>—>

由三角形重心的性质，得CG=2GM,可得2GM+GC=0,所以G4+GB+GC=0,故C项正确；

对于。，因为向量2=（4+x,y-2）,b-（x,y）,且三〃6,

所以（4+xAy=x・（y-2）,化简得尤+2y=0,故。项错误.

故选：BC.

【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、三角形重心的性质、两个向量平行的条件等知识，考

查概念的理解能力，属于基础题.

（多选）10.（2024秋•吴江区校级月考）已知言、苴是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，

能作为基底的一组是（）

A.er+e2A口0—2e2

B.2?i-92和—4e1

C.e1—20和G

―»~~»--

D.e1+02和2e2+e］

【考点】用平面向量的基底表示平面向量.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】ACD

【分析】根据基向量定义，利用待定系数法判断每组向量是否共线，即可得到所求答案.

【解答】解：对于A,设易+g=2（易—2尾）=2易—22扇，则/方程组无解，

所以5+届和3-2最不共线，它们能作为基底，A项符合题意；

对于8,因为遍—4溢=—2（2el—g），所以遍—扇和2苴—4温共线，不能作为基底，3项不符合题

.在一

忌；

对于。、D,类似于A的方法，可证出3-2扇和/不共线，［+扇和2扇+/也不共线.

因此，/一2最与3、［+■与2最+［均能作为基底，。、。两项都符合题意.

故选：ACD.

【点评】本题主要考查平面向量共线的条件、基向量的概念等知识，考查概念的理解能力，属于基础题.

（多选）11.（2024•湖南开学）设向量a=（3,k）,b=（2,—1）,则下列说法错误的是（）

A.若a与b的夹角为钝角，则上>6

B.血的最小值为9

C.与不共线的单位向量只有一个，为（孝，—孝）

->T

D.若|a|=3\b\,则k=±6

【考点】平面向量数量积的坐标运算.

【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】BC

T—T——

【分析】A选项，a-bV0且a,6不反向共线，得到不等式，求出Q6；B选项，利用模长公式得到|a|的

—>

tb

最小值为3；C选项，求出网=强，从而得到利用=求出答案；。选项，利用模长公式得到方程，求

\b\

出k=±6.

T—TTTT

【解答】解：A选项，Q与b的夹角为钝角，故且%b不反向共线，

贝Ua-6=（3,fc）-（2,—1）=6—kVO且-3-2AW0,解得Q>6且k力一会

综上，k>6,A正确；

B选项，位|=回不23,当且仅当人=0时，等号成立，故向的最小值为3,8错误；

—>—>

C选项，|b|=vm=v^,与b共线的单位向量有2个，

为±弓，急=±（竽，-金，c错误;

。选项，若向=3亩，则<9+炉=3后解得仁士6,。正确.

故选：BC.

【点评】本题考查向量夹角、向量数量积公式、模长公式、单位向量等基础知识，考查运算求解能力，

属于基础题.

（多选）12.（2024•章贡区校级开学）在△ABC中，下列说法正确的是（）

A.与诟共线的单位向量为士理

\AB\

B.AB-AC=BC

—>—>

C.^AB-AC<0,则△ABC为钝角三角形

—>—>

D.若△ABC是等边三角形，贝以8,AC的夹角为120°

【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量中的零向量与单位向量.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】AC

【分析】根据单位向量与向量共线的定义判断出A项的正误；由向量的减法法则判断出B项的正误；

由平面向量的夹角的定义与平面向量数量积的定义，判断出C、。两项的正误.

—>

【解答】解：对于A,与我共线的单位向量为土丝，符合单位向量与向量共线的定义，故A项正确;

|明

—>—>—>

对于8,根据向量的减法法则，可得力B-4C=CB,故3项错误；

—>—>—>—>

对于C,AB-AC=\AB\■\AC\cosA<0,所以cosA<0,结合Ae(0,n)可知A为钝角，故C项正确；

对于。，若△ABC是等边三角形，贝MB,AC的夹角为NB4c=60°,故。项错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查了单位向量的概念、平面向量的夹角与数量积的定义及其运算，考查概念的理解

能力，属于基础题.

三.填空题(共4小题)

T—TTT

13.(2024•河南模拟)己知a=(—1,3),b=(t,2),若(a—6)1b,则f的值为-2或1.

【考点】平面向量数量积的坐标运算.

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】-2或1.

T—TT——

【分析】由(a-b)1b可得(a-b)-b=0,展开代入数据计算即可.

【解答】解：由题意可得a—b=(―1—tf1),

TT—T—T

因为(a—b)lb,所以(a—b)-b=0,

所以(-1-力什2=6

解得t=-2或/=1.

故答案为：-2或1.

【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

-»—>—>—>

14.(2024•曹县开学)己知圆。的半径为4,BC,OE是圆O的两条直径，若8F=3FO,则/。•FE=.

【考点】平面向量的数量积运算.

【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】-15.

—>―»—>—>—>—>

【分析】由题可得尸。|=L\OD\=4,利用向量基本定理和数量积公式得到F。•FE=\FO\2-\OD\2

-15.

—>—>

【解答】解：由题意可得，\FO\=1,\OD\=4,

____

—»—»—»—>—>—>—»—>—>—>—>—>

FD-FE=(F。+。。)•(F。+OE)=(FO+。。)•(F。-。。)=|FO|2-|OD|2=-15.

故答案为：-15.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题.

一TTTTT1

15.(2024•铁东区校级开学)已知向量a=(-1,1),b=(1,m),若al(ma+6),则.=:

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】1.

TT

【分析】根据向量的坐标运算可得ma+b=(1-ni,2m),结合向量垂直的坐标表示运算求解.

->TTT

【解答】解：因为a=(-1,1),b=(1,m),则ma+b=(1-2m),

若a1(ma+b),则a-(ma+h)=m—1+2m=0,解得m

故答案为：

【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

16.(2024•靖远县校级模拟)已知正方形PQRS的边长为2/，两个点A,B(两点不重合)都在直线0s

—>—>

的同侧(但A,B与尸在直线S。的异侧)，A,B关于直线PR对称，若P2-RB=0,则△BAS面积的

取值范围是(2,+8).

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】(2,+8).

—>—>

【分析】建立平面直角坐标系，由P4-RB=0求出A点轨迹，由轨迹特征求A点到直线PS的距离的取

值范围，可求面积的取值范围.

【解答】解：以PR为无轴，QS为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

贝I]P(-2,0),R(2,0),S(0,2),Q(0,-2),

->—>

设A(x,y)(x>0),B(x,-y),所以PA=(久+2,y),RB=(久—2,—y),

因为以•薪=0,所以(尤+2)(尤-2)-y2=0,

即A位于双曲线？-/=4的右支上，渐近线方程为丁二苫或丫二-x,

直线y=x与直线PS：x-y+2=0的距离为迎，

即A点到直线尸S的距离的取值范围是(a，+oo),

又PS=2/，所以△BAS面积的取值范围是(2,+8).

故答案为:(2,+°°).

【点评】本题考查平面向量与解析几何的综合应用，属中档题.

四.解答题(共4小题)

17.(2024•江西开学)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中V5as讥8cos4=bsi/4.

(1)求A的值；

(2)若AABC的面积为旧，周长为6,求AABC的外接圆面积.

【考点】解三角形.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算.

【答案】(1)A=~

47r

(2)—.

3

【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件，从而求得A.

(2)根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积.

【解答】解：(1)由正弦定理得V5sinAsiziBcosZ=

因为sinA,sinBWO,故EcosZ=sinZ,则tcmZ=遍，

因为AC(0,n),故4=*

(2)由题意S-BC==空儿=遮，故/?c=4.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(A+c)2-3bc=(6-a)2-12,

解得a=2.故△ABC的外接圆半径R=无为=:，

ZsinAJ3

故所求外接圆面积S=71R2=舞.

【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题.

18.(2024•安徽开学)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,备=约2.

COSCCOSD

(1)求角c；

(2)若△ABC的面积S=28，若AD=2DB,且|。。|=管匕求△ABC的周长.

【考点】解三角形.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算.

【答案】(1)C=J

(2)6+2百或9+后.

【分析】(1)由正弦定理边化角再结合两角和的正弦公式即可求出cosC,进而求出角C.

T1T2T

(2)先由三角形面积公式得〃。=8,再由题意得CD=［乙4+1。8,两边平方化简后结合出?=8即可求

出〃，b,进而得c,从而得解.

—，一c2a-b「一、,"siziC2sinA-sinB

【解答】解：(1)由于--=-根据正弦定理得一-=----------，

cosCcosBcosCcosB

所以sinCcosB=2sinAcosC-sinBcosC,

所以sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosC,

则有sin(B+C)=sinA=2sinAcosC,

在△ABC中,sinAWO,cosC=则C=*

(2)由(1)得S-BC=:absinC=^abx^-=^-ab=2百，

7TT2/71

故ab=8,又AD=2DB,且|CD|=^^,

ADB

所以CD=CB-DB=CB-^AB=CB-1(CB-CA)=^CA+^CB,

又G4•CB=abcosC=abcos-^==4,

4T4后-144

222cb224

所以|CB|2=(IcA+1CB)=^CA+-+---+-a+-X-

9CB9999

所以户+4/=68,结合必=8解得｛彳］；或［二；，

当。=4,b—2时，c2=a2+b2-2abeosC=42+22—2x4x2cos=12,

故c=2百，此时三角形周长为6+2次；

当。=1,6=8时，c2=a2+b2-2abcosC=l2+82-2xlx8cos^=57,

故c=蜀,此时三角形周长为9+后.

【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，向量的数量积的应用，属于中档题.

19.（2024秋•五华区校级月考）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-26+2ccosA=0.

（1）求角C;

（2）若AB边上的高为1,△ABC的面积为匚，求△ABC的周长.

【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；数学运算.

【答案】(1)C=/

(2)2V3.

【分析】(1)根据正弦定理化简已知等式，结合sinB=sin(A+C),利用两角和的正弦公式化简得到sinA

1

(1-2cosC)=0,由sinA>0可得cosC=5，结合Ce(0,TT)算出角C的大小；

(2)根据三角形的面积公式算出c=竽且必=*然后利用余弦定理。2=/+廿_2"cosC求出竽,

进而求得aABC的周长.

【解答】解：(1)由〃-2/?+2ccosA=0,根据正弦定理得sinA-2sinB+2sinCcosA=0,

将sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC代入，整理得sinA(1-2cosC)=0,

因为AC(0,IT),可得sinA>0,所以1-2cosC=0,即cosC=会结合Ce(0,IT),得C=?

(2)因为△ABC的AB边上的高Zz=l,所以SAABC=^=字，解得c=孥.

4

由c=半-

3

7T4AA.

根据余弦定理c1=a2+b2-2abeos—=-，得J+d_帅=5,即(a+b)2-3ab=中

3333

竽

24当

所以

-心

可得(〃+/?)3

因此，八钻。的周长〃+。+°=竽