山东省济南市历城区某中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）

历城双语实验学校初二级部2023年10月阶段性测试

数学试题

（时间：120分钟，总分150分）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）

1.9的平方根是（）

A..B.3C.±73D.±3

【答案】D

【解析】

【分析】根据平方根的定义求出即可.

【详解】解：：声「=9,

二9的平方根是±3,

故选：D.

【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握若一个数尤的平方等于正数。，那么x叫正数。的平方根，记作

土石，特别地，0的平方根是0是解答本题的关键.

2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）

A.1,0,小B.6石，石

C.6,7,8D.2,3,4

【答案】A

【解析】

【分析】根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、？+（6）=3=网,能构成直角三角形；

+（1）=7。（、⑸不花协点吉存一指中

B„>［四1',不能构成直角二角形；

C、6'+7）工81，不能构成直角三角形；

D、F+不能构成直角三角形；

故选A.

【点睛】本题考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键.

3.在平面直角坐标系xOy中，点A（-2,4）关于无轴对称的点B的坐标是（）

A.（一2,4）B.（-2,-4）C.（2,-4）D.（2,4）

【答案】B

【解析】

【分析】根据横不变，纵相反，确定坐标计算即可.

【详解】：点A（-2,4）,

关于x轴对称的点B的坐标是（-2,-4）,

故选8.

【点睛】本题考查了坐标系中点的对称，熟练掌握对称点的坐标特点是解题的关键.

4.下列函数中，.「随X的增大而减小的函数是()

A.j-B.r=-2+4,rC,V=-2,T+1D『=&

【答案】c

【解析】

【分析】根据函数与函数的增减性对各选项分析判断利用排除法求解.

【详解】解：A、y的值随尤的值增大而增大，故本选项错误；

B、y的值随x的值增大而增大，故本选项错误；

C、y的值随尤的值增大而减小，故本选项正确；

D、对称轴左边，y的值随尤的值增大而减小，对称轴右边，y的值随尤的值增大而增大，故本选项错误.

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解

函数的增减性的定义是解题的关键.

5.点尸在四象限，且点尸到无轴的距离为4,点P到y轴的距离为5,则点P的坐标为()

A.(-4,-5)B.(4,-5)C.(5,4)D.(5,-4)

【答案】D

【解析】

【分析】点尸到无轴的距离为点P的纵坐标的绝对值，点尸到y轴的距离为点P的横坐标绝对值，再由点

P所在的象限即可确定点P的坐标.

【详解】由题意知，点P的坐标为(5,-4)

故选：D.

【点睛】本题根据点到坐标轴的距离确定点的坐标，关键清楚点到坐标轴的距离与点的横纵坐标的绝对值

有关.

6.实数a,6在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是()

--------1」--1---------1।：-1---------1-----A

-3-2-10123

A.a+b>0B,-a>bc.a-b<0D,-b<a

【答案】B

【解析】

【分析】根据数轴可得1<°<22=由此可排除选项.

【详解】解：由数轴可得1<°<2力=£

:.a+b<0,故A选项错误；-a>b,故B选项正确；a-b>Q,故c选项错误；-b>a,故D选项

错误；

故选B.

【点睛】本题主要考查数轴及实数的运算，熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键.

7.下列各式计算正确的是()

A.a+6=小B.4>/3-3\/3=1c,7^7-V3=3口;后S=6后

【答案】c

【解析】

【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、S"和百不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；

B、4相-3后=后,故本选项错误，不符合题意；

c、回+/=辩・后=3,故本选项正确，符合题意；

D、273x373=18,故本选项错误，不符合题意；

故选：C

【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解题的关

键.

8.一根蜡烛长？Ocm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的长度为J'（cm）与燃烧时间x（小时）的函

数关系用图象表示为下图中的（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据蜡烛剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范

围就可以得出函数图象.

【详解】解：由题意，得了=2°-51,

•••br>0»x>，0

.-.20-5.v>0

.•.X44,

%-5x是降函数且图象是一条线段.

故选B.

【点睛】本题考查一次函数的解析式的运用，一次函数的与实际问题的关系的运用，一次函数的图象的运

用，自变量的取值范围的运用，解答时求出函数解析式及自变量的范围是关键.

)

【解析】

【分析】根据点P在第二象限，确定m<0,n>0,根据k,b的符号，确定图像的分布即可.

【详解】:•点P(m,n)在第二象限,

.■.m<0,n>0,

...图像分布在第一，第三象限，第四象限,

故选C.

【点睛】本题考查了根据k,b的符号确定一次函数图像的分布，熟记k,b的符号与图像分布的关系是解

题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系中，已知点川。D(l,-2),动点尸从点A出

发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点。从点C出发，以

每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形C3心的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是()

A.(-1」)B.(-l,-l)C.D.(LD

【答案】D

【解析】

【分析】运用行程问题中的相遇问题，根据矩形的周长，确定每次相遇时点的坐标，从而找出规律，即每

5次相遇点重合一次，由此即可求解.

【详解】解：3(T，1),C(-D,

,-.AB=CD=2,BC=AD=3,

设月3与『轴交于点W,8C与1轴交于点尸，CD与J轴交于点G,皿与1轴交于点耳，如图所

不，

...3(0,1),尸(TO),氏0,-与，HQO),，伤+3C+CD+,4Z)=10,

...点尸从点A逆时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动；点Q从点C顺时针方向出发，每秒3个单位

做环绕运动，设时间为,（S）,

...第1次相遇，%+3r=/+BC=5,解得，2=1,即第1秒在点处相遇;

•••第1次相遇后，即点P从点R逆时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动，点°从点E顺时针方向出

发，每秒3个单位做环绕运动，

此后，两个点走的路程为就+3C+C0+，蛇=10的倍数，

..•第2次相遇为？f+曳=10,解得，r=2,即第3秒时，在点冢。，-2）处相遇；

第3次从点出°，勺出发，经过2秒,在点月（LD处相遇；

第4次从点火（L1）出发，经过2秒，在点（一1，-1）处相遇；

第5次从点（一1，-1）出发，经过2秒，在点（L-1）处相遇；

第6次从点（L-1）出发，经过？秒，在点2（-LD处相遇；

•••每5次相遇点重合一次，

,-.2023*5=4043,

.•.第2023次相遇点的坐标是力（L1）,

故选：D.

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中坐标的规律问题，掌握点的运动规律，行程问题中的相遇问题的

计算方法是解题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

11.化简：叵G

【答案】4

【解析】

【分析】根据二次根式的乘法运算法则，二次根式的性质化简则即可求解.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键.

12.若一次函数y=3x+l的图象经过点（2,机），则机=；

【答案】7

【解析】

【分析】把点的坐标代入解析式计算即可.

【详解】•••一次函数y=3x+l的图象经过点（2,加），

.,.771=3x2+1=7,

故答案为：7.

【点睛】本题考查了解析式与点的坐标的关系，熟练掌握图像过点点的坐标满足函数的解析式是解题的关

键.

13.在平面直角坐标系中，点尸（“一+"在『轴上，则。的值是—.

【答案】1

【解析】

【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列出方程求解得到。的值，即可得解.

【详解】解：..•点产（"一l’a+1）在y轴上，

a-1=0,

解得：。=1，

故答案为：L

【点睛】本题考查了点的坐标，熟记X轴上的点纵坐标为0是解题的关键.

14.如图，一次函数J'K+b（七<。）的图象经过点A.当J、<3时，x的取值范围是.

【答案】x>2

【解析】

【详解】解：由图象可得，当J=3时，x=2,且y随X的增大而减小，

则当1y<3时，X>?

故答案为：A->2.

15.如图，一次函数〉=履+。的图象经过4（1,2）,B（0,1）两点，与无轴交于点C,则△AOC的面

积为一•

【答案】1

【解析】

【分析】根据点4,8的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，代入y=0求出与之对应的x

值，进而可得出点C的坐标及0C的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOC的面积.

k+b=2

【详解】解：将A(1,2),B(0,1)代入得：也二1,

Z=1

解得：16=1,

直线AB的解析式为y=尤+1.

当y=0时，x+l=0,解得：x=-l,

・••点。的坐标为(T,0),OC=1,

2_I

9

/.S/\AOC=2"OCyA=2~X1X2=1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根

据点42的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式是解题的关键.

L.y-—.r+l

16.如图，直线.2分别与x、J轴交于Af、N两点，若在x轴上存在一点P,使△尸AW是

以为底的等腰三角形，则点P的坐标是.

【分析】先求出点加和点N的坐标，得出=ON=\,设PM=PN=m,则0P=2-加，在

Rtzxaw中，根据勾股定理可得：ON，+OP=PN1列出方程求解即可.

1,

八］，=一一x+11

【详解】解：把X=°代入‘2得：】'=1,

..邛01),贝3=1,

1,1

cy=—x+10=-—x+1

把代入？得：2

解得：E,

则0M=2,

•・.△PAW是以MM为底的等腰三角形，

...PM=PN,

设PM=PN=m，则OP=0M-PM=2-w,

在RtZiOW中，根据勾股定理可得：0必+0户=「短,

即1'+（2-布=病，

5

m="

解得：4,

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的定义，勾股

定理，解题的关键是根据勾股定理列出方程求解.

三、解答题（共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.计算：

73(712-73)

(1)

V27-715

(2)

,\/75-2

(3)

(6+码(后-q+(有+码’

(4)

【答案】(1)3

(2)1

25#

(3)

⑷6+2>/6

【解析】

【分析】（1）运用二次根式的混合运算法则即可求解；

（2）运用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算即可求解；

（3）运用二次根式的性质化简，分母有理化，二次根式的加减运算即可求解;

（4）运用乘法公式展开，再根据二次根式的加减运算即可求解.

【小问1详解】

解：网犀叫

-5/3x71T-73*VI

-J37T2-V3^3

.回-耶

=6-3

=3.

【小问2详解】

万一夜

解：小

30-2#

=^jr~

飞

=i.

【小问3详解】

27^2j3

34

_2573

3

【小问4详解】

解.|追+0||"-"）+（召+W）

=（何诲『+|'（可+2、小0+的

=3-2+(3+276+2)

=1+5+2>/6

=6+2卡.

【点睛】本题主要考查二次根的性质化简，分母有理化的方法，二次根式的混合运算法则，掌握以上知识

是解题的关键.

18.如果一个正数x的两个平方根是。+?和-,求这个数的立方根.

【答案】4

【解析】

【分析】根据平方根的性质可得a+2+2a-20=0,从而得到。=6,进而求出尤的值，即可求解.

【详解】解：..•正数1的两个平方根是。?和2a一？0,

.•.a+2+2a-20=0,

解得：。=6,

..r=(a+2)3=64

••，

，这个数的立方根为标■=4.

【点睛】本题主要考查了平方根的性质，立方根，根据平方根的性质得到。?+i-二0=0是解题的关

键.

19.如图，直线/是一次函数的图象，且经过点A(0,1)和点B(3,-2).

(1)求直线/的表达式；

(2)求直线/与两坐标轴所围成的三角形的面积.

【答案】⑴-v=-v+1；(2)2

【解析】

【分析】(1)将山°‘"‘见3'一'代入】'=右+6中，用待定系数法求解一次函数表达式即可;

(2)先求出点c的坐标，从而知道oc的长度，然后用面积公式计算即可.

【详解】解：•••4°，1)，见3,一」在直线上

6=1

・•・将'(°」)，'('「2)代入了=6跖中，得3k+b=-2

左=一1

解得：15=1

直线/的表达式为：1

(2)•.•直线/的表达式为：丁=一丫+1

...当J-O时，-X+1=0

解得：x=l

,.X(0,l),C(l,0)

.AO=\,CO=\

^=->40CO=1x1x1=1

••———

2

即直线与坐标轴围成的三角形面积为i.

【点睛】本题考查待定系数法求一次函数表达式，以及直线与坐标轴围成的三角形面积求法，牢记相关知

识点并能准确计算是解题关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，41,2),8(3,1),C(-2,-l).

(1)在图中作出d始。关于1轴对称的-4与4.

(2)写出4,凡,「的坐标(直接写出答案)，4；B1；0

(3)-4用01的面积为.

(4)若点尸是》轴上的一个动点，当尸幺+尸3值最小时，求出的PH+F3最小值.

【答案】(1)见解析(2)

⑶2

⑷而

【解析】

【分析】(1)根据轴对称的性质得到点4,顺次连线即可；

(2)根据(1)直接得到答案;

(3)利用割补法求图形面积；

(4)取点A关于X轴的对称点连接4‘，与X轴交点即为点P,此时P4+尸8的值最小,

即为线段48的长度，利用勾股定理计算出A'即可.

【小问1详解】

解：如图,-4用好即为所求；

4-

-3

7【小问2详解】

4(-12，4(-3,i)G(-2,-i)

【小问3详解】

111Q

SARC=3x5-ixlx2-ix2x5-ix3x3=-

9

故答案为：2；

【小问4详解】

取点A关于X轴的对称点4(1「多，连接AE,与X轴交点即为点尸，如图,

此时月4+P8的值最小，即为线段43的长度，

=^(3-1)2+(1+2)2=历

.•.E4+PB最小值为

【点睛】此题考查了轴对称的性质，作轴对称图形，确定点坐标，最短路径问题，图形的面积，正确理解

轴对称的性质是解题的关键.

21.小明一家利用元旦三天驾车到某景点旅游.小汽车出发前油箱有油36L行驶，若干小时后，途中在

加油站加油若干升，油箱中余油量。（L）与行驶时间f"）之间的关系，如图所示，根据图象回答下列

问题；

（1）小汽车行驶小时后加油，中途加油升；

（2）求加油前邮箱余油量。与行驶时间f的函数关系式；

（3）如果小汽车在行驶过程中耗油量速度不变，加油站距景点300加1,车速为80bM/?,要到达目的地,

油箱中的油是否够用?请说明理由.

【答案】（1）3小时，24升；（2）Q=-10r+36,（0</<3）；（3）不够用，见解析.

【解析】

【分析】（1）观察图像，可得行驶3小时后加油，邮箱余下6升，加油后为30升，故加了30-6=24

（升）；

（2）设直线解析式为0=公+6,把（0,36）和（3,6）代入求解即可得到函数关系式；

（3）用300+80计算行驶时间，乘以每小时的耗油量，与30比较大小，判断即可.

【详解】（1）观察图像，可得行驶3小时后加油，邮箱余下6升，加油后为30升，故加了30-6=24

（升），

故答案为：3,24；

（2）设直线解析式为。=公+6,把（0,36）和（3,6）代入得：

3k+6=6

b=36

>=-10

解得［b=36,

；.Q=-10r+36,（0<Z<3）；

（3）根据题意，每小时耗油量为10升，

:加油站到景点用时间为：300-80=3.75（小时）,

.•.需要的油量为：3.75x10=37.5升>30升，

故不够用.

【点睛】本题考查了一次函数的图像，待定系数法求解析式，准确从图像中获取解题信息，灵活运用待定

系数法求解是解题的关键.

22.联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟04元)和P套餐(月租费。元，通话

费每分钟015元)两种.设A套餐每月话费为(元)，R套餐每月话费为(元)，月通话时间为K

分钟.

(1)分别表示出•”与K,•门与x的函数关系式.

(2)A套餐:的用户这个月的通话时间为160分钟，他应缴费多少元？如果该手机用户本月缴费50元，求

他本月的通话时间？

(3)月通话时间为多长时，A、P两种套餐收费一样？

【答案】⑴Ji=15+0,lx,0.15x

(2)通话时间为160分钟，他应缴费31元；本月缴费50元，他本月的通话时间为350分钟

(3)月通话时间为300分钟时，A、B两种套餐收费一样

【解析】

【分析】(1)根据费用等于月租与通话费的和即可求解；

(2)通话时间1=160,J.50代入(1)中的表达式即可求解；

(3)令儿=外,解一元一次方程即可.

【小问1详解】

解：A套餐，月租费15元，通话费每分钟0」元，

.J、=15+0lx

••，

B套餐，月租费0元，通话费每分钟°15元，

.J3=0+015.x=015x

AVj=15+O.I.TV2=0.15.X

【小问2详解】

解：由⑴可知，》】=15+。匕，

...当x=160时，J'I=15+0.1X=15+0.1X160=31(元)，

，通话时间为160分钟，他应缴费31元；

当J：=5°时，15+0.1.x=50,解得，.X=350,

...本月缴费50元，他本月的通话时间为350分钟.

【小问3详解】

解：A、R两种套餐收费一样，即

15+0.1.x=0.15.x,解得，x=300,

•••月通话时间为300分钟时，A、B两种套餐收费一样.

【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一次函数中自变量，函数值的

计算方法，一元一次方程的求解方法是解题的关键.

23.[阅读材料]

把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化.通常把分子、分母同时乘以同一

个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的.

[

例如：化简W+W.

]1X(信心

解：布+g=(O+=6-0.

[理解应用]

(1)化简：指'+6；

3

(2)若a是的小数部分，化简2；

1十1]]

(3)化简：＞/3+16+招+6+后+...+SO2T+0O19.

【答案】(1)4-/；⑵3正+3；(3)2

【解析】

【分析】(1)分子、分母都乘以分母的有理化因式(加一赤)即可；

(2)表示出a的值，再代入计算即可；

(3)将每一个式子都进行分母有理化，再根据规律得出答案.

?[x郃-由)2x(75-73)

【详解】(1)*+6=(6+近(4-拘=2=耶-行；

(2)Ya是S'的小数部分，

3_33(0+1)

a=0-1=(8-1)(/+1)=3岳+3；

---1--+11----------1----------

(3)73+1后+港+6+夙…+V555T+V®

1^5—^]3ypJ2021—^2019

-----+---------------------------

=22+2+…+2

—1+书-\/3+5/5—书+后H---J2019+J2021

_2

-1+^U5T

【点睛】本题考查二次根式的化简，无理数的估算，以及数字的变化规律等知识，掌握分母有理化的方法

是解决问题的关键.

24.如图，将含有4f°的三角板的直角顶点放在直线7上，过两个锐角顶点分别向直线，作垂线，这样就得

到了两个全等的直角三的形.由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直

角”，这模型在数学解题中被广泛使用.

(1)如图1,在平面直角坐标系中，直线J=1-4与；V轴，1轴分别交于A,B两点.

①则N045=；

②C,D是正比例函数】'=匕图象上的两个动点，连接BC,若BCLCD,50=3,求加的

最小值；

【模型拓展】

(2)如图2,一次函数】'=一2x+2的图象与J轴，'轴分别交于A,R两点.将直线绕点A逆时针

旋转45°得到直线7,求直线7对应的函数表达式.

【答案】(1)①45°；②HD的最小值为S；(2)直线/的解析式为‘-3~

【解析】

【分析】(1)①根据一次函数与坐标轴的交点可求出点4夕的坐标，可得是等腰直角三角形，由

此即可求解；②根据点到直线垂线段最短可得，当