广东省茂名市区域2024-2025学年高三年级上册10月联考数学试题（含答案解析）

广东省茂名市区域2024-2025学年高三上学期10月联考数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.复数2=-"（1+6）的虚部为（）

A.2B.V2c.-V2D.-V2i

(x-a)2=1},N={1,3}

2.已知集合M=,若MNN，则。=（）

A.-1B.0C.1D.2

C_1

3.记水的质量为U，则当S=7,〃=e3时，水的质量为（)

ln«

A.2B.eC.2.1D.3

4.已知命题p：VxeR，G'=x，命题4Hxe（0,兀），tanx=siwc，则（）

A.2和9都是真命题B.和9都是真命题

C.2和都是真命题D.T7和「夕都是真命题

5.如图，。为V/BC内一点，。为BC的中点，OA=a,OB=b^OC=c,则而=()

C

_1_1__1-1一

AA.ci-\—bH—cB.—QH—b+—C

2222

一1-1-1-1一

C.a——b——cD.-a——b-—C

2222

1=0,则不等式4国40的解

6.定义在R上的奇函数/(x)在(0,+。)上单调递增，且

)x-2

集为()

A.(6+8)B.U_T，O]U_L

C.；]U{0}U(A/^+8)D.卜小-打心封

试卷第1页，共4页

7.已知函数/（尤）=/$山（5：+0）+«/>0,0<0<10,闸<1^的部分图象如图所示，贝1］。=

1p

8.已知曲线G：y=5e'在点尸处的切线与曲线C2：y=-A（x>0）在点。处的切线平行，且

直线P。垂直于X轴，则归0|=（）

A.eB.2eC.3eD.e或3e

二、多选题

9.已知单位向量£花，贝！I（）

A.“悔一刃卜快+可”是“小I”的必要条件

B.“悔-©=1”是G〃尸的必要条件

C.“忸—耳=忸+4”是“力户的充分条件

D.“悔-囚=1”是“2〃户的充分条件

10.设函数/（X）=X2（X-6），则（）

A.x=4是f（x）的极小值点

B.-x）40

C.当0<x<l时，f（x）>f（x2）

D.当0cx<1时，/（4+x）>/（4-x）

11.已知函数/（》）=M112司+854彳，则（）

试卷第2页，共4页

A.f(x)的最大值为:

B./(x)的最小正周期为］

C.曲线＞=关于直线x=g(万eZ)轴对称

D.当xe［O,可时，函数g(x)=16/(x)-17有9个零点

三、填空题

.(叫仆

12.已知函数〃x)=I67则/(/(-1))=.

2"+1,%＜0

13.已知。＞1,贝iJlga+bg/OO的最小值为.

14.已知关于x的方程2sinx+cosx=l在［0,2兀)内有2个不同的解％则

cos(a-y0)=.

四、解答题

15.在VZ8C中,6,c分别是内角4丛C的对边，^.a2+b2=ab+c2,bcsmA=sinC.

⑴求C；

(2)求VABC外接圆的面积的最小值.

2222

16.已知椭圆G：=+—=1(。＞6＞0)与双曲线C。：。-、=1(机＞0,”＞0)有公共焦点用，

abmn

8,q与C?在第一象限的交点为尸，且归同=J7+i,|尸闾=疗-1，尸片，尸月.

⑴求G与Q的方程;

⑵记G的上顶点为4c2的左顶点为B,直线与。的另一个交点为。，求HR.

17.如图，在六面体/BCD-44GA中，AAJIBBJICCJ!DDX,且底面N8C。为菱形.

试卷第3页，共4页

(i)证明：四边形44G2为平行四边形.

⑵若AAt1平面ABCD,44]=CC1；NBAD=60°,D?=5,AB=BB、=2,求平面/0G2与平

面ABCD所成二面角的正弦值.

18.甲、乙口袋都有3个小球(1个黑球和2个白球).现从甲、乙口袋中各随机取1个小球交

换放入另外一个口袋(即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋)，重复〃

次这样的操作后，记甲口袋中恰有2个黑球的概率为心，恰有1个黑球的概率为久.

(1)求PiM；

(2)求。2，%；

⑶求％.

19.(1)证明：当xe呜时，x>sinx>xcosx；

7171

(2)当xe时，asin2x-x2cosx>0,求a的取值范围.

252

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CDADBDDAACDABD

题号11

答案BC

1.C

【分析】利用复数的乘法运算计算，根据复数定义即得.

【详解】z=-V2i(l+A/2i)=2-^i,所以z的虚部为一百.

故选：C.

2.D

【分析】利用集合M一定是二元集，且M=即可得方程组求解.

【详解】因为M={a+\,<7-1},由于。+1>。一1,且M=

(a+1=3

所以,,解得：a=2.

故选：D.

3.A

【分析】直接代入计算即可得解.

7-16

【详解】当S=7,〃=e3时，水的质量为代=5=2.

Ine3

故选：A.

4.D

【分析】根据题意，分析命题夕国的真假，进而分析选项，可得答案.

【详解】当x<0时，^=\x\=-x,所以P是假命题，则可是真命题，

H，sinxef.八

右tanx=------=sinx,贝！Jcosx=1或sinx=0,

cosx

当工£(0,兀)时，cosxw1且sinxw0,所以夕是假命题，则「夕是真命题，

故选：D.

5.B

【分析】结合图形，由向量的加法法则求解即可；

【详解】AD=-AB+-AC=-Ad+l-OB++1-0C=-tz+U+.

22222222

答案第1页，共11页

故选：B.

6.D

【分析】首先根据函数的奇偶性、单调性，判断/(O)=O，/(X)在(-8,0)上单调递增，且

'1:=°'再结合函数/(X)的单调性解不等式即可.

【详解】由题意可得，/(o)=o,/(X)在(-双0)上单调递增，且,一£|=0,

由"”得/W<0f(x)>0

或

X2-2>0X2-2<0

•.,/(x)VO时，x<-1,或Owg,

又/一2>0,即无<—\/2,或x>-J1，

故解得.应，

[x—2>0

「/(x)20时，—§<x<0，或1之§,

又/_2<0,即-也<x<也，

故解得-夫小，或修〈区

则不等式3"<0的解集为：xe(-^,-V2)u

x-2'

故选：D.

7.D

【分析】结合正弦函数性质结合图象中最大最小值可先计算出A,b,再利用点(0,2)计算出。,

最后借助点[己,3)代入计算即可得。的值.

A+b=3A=2

【详解】因为4>0,所以，解得

-A+b=-lb=\

所以/(0)=2sin°+l=2,则sin°=；,

因为|。|<弓，所以9=2，可得〃x)=2sin[Gx+£]+l,

2616J

m、rr\c•(8兀兀、1。-.,697171兀c,1〜

因为f——2sin----1—+1—3,r所r以---1—=—F2E,左£Z,

U8J1186J1862

即口=6+36左，左cZ,因为0<切<10,所以0=6.

答案第2页，共11页

故选：D.

8.A

【分析】设尸（办（机，-点），根据斜率相等可得/e“，=e,构造函数/（x）=x?1,

根据导数判断单调性，由单调性和/■⑴=e可得加=1,然后可解.

【详解】依题意可设尸其中根＞0.

1g

所以曲线q在点尸处的切线斜率为:屋，曲线G在点。处的切线斜率为三，

22m

所以乂“=:，即/e，"=e（机＞0）.

22m2''

设函数［（x）=x2e”（尤＞0）,则/'（》）=［2+2x）e*＞0,

所以71尤）为增函数，又/'（l）=e,所以加=1,

所以小£|，小，-|］，故户。l=e.

故选：A

【点睛】关键点睛：关键在于构造函数根据其单调性和/⑴=e确定冽的值.

9.ACD

【分析】由匿-1=怩+可,可得力兀反之亦成立，从而判断A,C；由恢-同=1,可

得白花〉=0,从而得£〃尸，反之不成立，从而判断B,D.

【详解】解：由忸-同=忻+小，^4a2+b2-4a-b=4a2+b2+4a-b，

解得£%=0,所以

反之由ZjJ，可得＞「=0,4a2+b2~4a-b=4a2+b2+4a-b,即忸一,=口+可，

故“恢_*忸+叶，是“力］”的充要条件,故A,C正确；

若恒-闸=1,则4不+铲-4小〃=1,解得£%=1，

/-&,很1一一

则cos〈a,b〉=丽=1,所以〈凡6〉=0,即“0〃九

若“£〃各，

答案第3页，共11页

则=1或=

所以"词=1或恒囱=3,

故“|21-闸=1”是“£〃斤，的充分不必要条件，故B错误，D正确.

故选：ACD.

10.ABD

【分析】先求导，确定函数的单调区间，结合函数解析式逐项判断即可.

【详解】对于A,7'（x）=2x（x-6）+无2=3X（X-4）,当xe（0,4）时，，

当尤e（-8,0）口（4,+8）时，户⑶>0,

所以f（x）在（-8,0）和（4,+8）上单调递增，在（0,4）上单调递减，

故x=4是/（x）的极小值点，故A正确.

对于B,/（x）+/（-x）=x2（x-6）+x2（-尤-6）=-12尤2V0,故B正确.

对于C,当0<尤<1时，,又/'（x）在（0」）上单调递减，

所以/0）</（炉），故C错误.

对于D,当0<x<l时,/（4+尤）一/（4-x）=（4+尤（4+x-6）-（4-x）2（4-尤一6）=2:>?>0,

所以/（4+x）>/（4-x）,故D正确.

故选：ABD.

11.BC

【分析】化简函数解析式，结合函数的周期性与对称性可判断各选项，根据函数零点的定义

可解得卜in2x|=；±乎，数形结合即可得解.

【详解】/（x）=|sin2x|+1-21sin2x|2=-2,n2x卜;1+

当卜in2x|=:时，/（x）取得最大值，且最大值为,，A选项错误；

因为y=|sin2x|,y=cos4x的最小正周期均为所以「（力的最小正周期为］B选项正

确；

答案第4页，共11页

=sin2(""+cos4

因为了in2rfl-cos4xGZ),所以曲线y=/(%)

关于直线x=§（左eZ）轴对称，C选项正确;

令g（x）=16/（x）-17=0,得/（冷=\,贝牛由2乂=；土",

结合函数;Hsin2x|（OWxW兀）的图象，可知方程卜亩2耳=；±*在[。,可上有8个不同的实根,

D选项错误；

故选：BC.

12.--

2

【分析】先求得/（一1）=|，再将X=g代入Sin[⑪+己），求解即可.

【详解】解：因为/（—1）=2-1+1=j

71

=-cos—=

6T~

故答案为：q

2

13.2V2

【分析】根据对数的换底公式，结合基本不等式即可求解.

【详解】由于。>1,所以3>0,

lga+logJ00=lga+-^->2/2,当且仅当皿=二，即0=1（）◊时，等号成立.

IgaIga

故答案为：2近

14.--/-0.6

5

【分析】构造函数〃x）=2sinx+cosx（xe[0,2兀）），画出函数的图象，根据三角恒等变换、

三角函数图象的对称性等知识求得正确答案.

【详解】设/(x)=2sinx+cos%(x£[0,2兀))，/(0)=2sin0+cos0=1,

答案第5页，共11页

所以x=0是方程2sinx+cosx=l在［0,2兀)内的一个解，不妨设a=0,

画出/(%)的图象以及V=1的图象如下图所示,

/(%)=2sinx+cosx=J~5sin(x+0),

其中sinp=5,cos。=卡，tan。=：,

jrTT

结合图象，令x+e=解得％=1一夕,

.a+/3B7i°_

贝n!](一=5=,_9,/?=兀_2夕,

所以cos(a—/)=cos(—/)=cos/=cos(兀一20)

=-cos2c°=si-n20一cos2—IJ

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数方程的求解，关键在于函数图象的对称性和辅助角公

式的灵活运用.题目要求方程在特定区间内有两个不同的解，因此需要学生对三角函数的图

象特性及其对称性进行深入分析，适合用来训练学生对三角函数图象及恒等变换的综合应用

能力.

71

15.(1)C=-

【分析】(1)由余弦定理结合特殊角的三角函数求解即可;

(2)由正弦定理可得仍=1,再由基本不等式得到c21,然后由正弦定理得到半径的最小值,

再求出面积即可;

【详解】(1)^a2+b2=ab+c2,所以cosc/+/c2」

2ab2

因为Ce(O,K),所以C=%

(2)因为bcsiiU=sinC,所以必c=c,

答案第6页，共11页

所以=1.

由/+/=ab+H,^c2=a2+b2-ab>lab-ab=ab=\,则c之L

当且仅当。=6=1时，等号成立.

设V/3C外接圆的半径为R,则嬴T=耳，则八万，

sin§3V3

所以V/BC外接圆的面积的最小值为应?2=].

222

16.(1储的方程为土+匕=lg的方程为X?-匕=1

(2)1

【分析】(1)由尸片，尸区,结合椭圆、双曲线定义列方程即可求解；

(2)确定方程，联立£方程，求得。坐标，即可求解.

【详解】(1)因为附|=5+1,班卜6-1,尸百，时,所以闺闾=历步而｝=4,

记耳(-c,0),月(c,0),则c=2.

由椭圆的定义可得，2a=忸制+|尸阊=26,。=6,8=8-P=3

由双曲线的定义可得，2机=|尸周一|尸工|=2,m=l,〃2=c2-m2=3.

222

2

所以G的方程为y+^-=l,C2的方程为X-^-=l.

(2)由题意得/(o,G),8(-1,0),则直线的方程为广岛+收

设。(国,乂).

>=岛+如，6

联立/得犷+7》=0,所以%=一j所以必=一任

丁万一’

7

所以⑷=

2

17.(1)证明见解析

0、3月

13

【分析】(I)由题意可证明平面BCC百〃平面//。口，利用面面平行的性质可得用G〃42,

答案第7页，共11页

同理可得44〃£2,进而可证结论;

_______7

(2)建立空间直角坐标系，设441=人，利用4耳=2G，可求得"=],求得平面48©。

与平面ABCD的法向量，利用向量法可求得平面44Goi与平面ABCD所成二面角的正弦

值.

【详解】(1)因为四边形为菱形，所以3C///。，

又ADu平面AXADDX,BC(X平面AtADDt,

所以8C〃平面AlADDl,

又BBJ/AA1,/4€=平面4力。，,84(/平面4/。2，所以A8"/平面44Q2，

因为84nBe=8,BB],BCu平面BCCB，所以平面5CC百〃平面，/。口，

因为平面4B£Q口平面BCCRi=BC，平面Q平面AXADDX=AXDX,

所以吕C"/4A，

同理可得4月//£。，所以四边形44G2为平行四边形.

(2)由题意得=2,NC=2行.以菱形/BCD的中心O为坐标原点，

OB,OC的方向分别为X/轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。孙z,

因为四边形4片42为平行四边形，所以藕=方高，

则(1,6,2-力=(1,6/-5),所以2T=心5,得h=；,

所以藕=[1,6,-|),病=[-1,6,；；

答案第8页，共11页

设平面481GA的法向量为々=（x/,z）,

则AXBX•〃1=(),AXDX•勺=0,

x+-~z—0,

即《

-x+y[^>y+~z—0,

令z=2,得=(3,0,2).

易知平面45C。的一个法向量为0=（0,0,1）,

2_2岳

贝二

”COS4,%713x1-13'

所以平面AXB{CXDX与平面ABCD所成二面角的正弦值为理

25

18.(1)-,-

v799

1649

【分析】（1）根据古典概型概率及互斥事件的概率公式计算即可;

（2）根据条件概率与全概率公式计算即可;

（3）讨论第次换球后甲口袋中黑球的个数为1的情况下的三种情形，构造等比数

列计算通项公式，再由等比数列求和公式结合指数函数的性质证明即可.

【详解】（1）第1次换球后甲口袋有2个黑球，即从甲口袋取出的球为白球且从乙口袋取出

的球为黑球，

则口=2河1=方2

第1次换球后甲口袋有1个黑球，即从甲、乙口袋取出的球同为白球或同为黑球，

22115

贝nl!=—x-+-x-=

133339

（2）若第2次换球后甲口袋有2个黑球，则分2种情况：

①当第1次换球后甲口袋有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球；

②当第1次换球后甲口袋有2个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球.

答案第9页，共11页

2116

所以02=%X—X一_FT).X

3318?

若第2次换球后甲口袋有1个黑球，则分3种情况:

①当第1次换球后甲口袋有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球；

②当第1次换球后甲口袋有1个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球；

③当第1次换球后甲口袋有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球.

2,2211、249

所以夕2=(1—%—Pi)x-+^1xTx7x丁+P1X1二彳.

3333J301

(3)第"次换球后，甲口袋黑球的个数为1的情况：

①若第次换球后甲口袋有2个黑球，则第"次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第1次换球后甲口袋有1个黑球，则第〃次甲、乙口袋同取黑球或同取白球;

③若第77-1次换球后甲口袋有0个黑球，则第〃次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

2(1122、/221

所以为=Pn-lX~+Qn-\X\~X~+~X~1+(1一夕〃〃一1X7厂(〃T，…

3\(3、

n即n纵”=-其纵「

又因为3-卷2，所以「是3以)一卷2为首项，1为公比的等比数列，

545L5J459

19.(1)证明见解析；(2)[1,+8)

【分析】(1)求差，然后构造函数，利用函数的单调性，证明构造的函数恒大于零即可；

(2)构造函数"(尤basinZ-Ycosx,然后利用端点分析得到a21才可能满足条件，然后

再去判断其充分性即可.

【详解】(1)令函数A(x)=