数列与不等式-高考数学题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展22数列与不等式（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、数列与不等式

数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联

系，证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩

法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围.

1.常见放缩公式:

1111/.

(1)-y<7------=---------------(n>2)；

n[n—\)nn—ln

1)1_1__1_.

(2)

n2+nn+\

______o.

(3)

n24n24/I2-1<2n-l2n+lJ'

_rI_n\11111，

(4)Trl~Crn--,/x/<.</1(r-2)；

+nr\\n—r)\nrr\ryr—\)r—1r

(1Y111

(5)1+-<1+1+——+——+...+-———<3；

InJ1x22x3(n-l)n

-----厂=利

(6)r=rr<i2(J"1+(nN2)；

7n+7H<n—l+{n'7

(7)r~rr>ri------2(册+6+l);

(8)厂一厂r<1------i-------/--------\--------J2(N2n1+J2〃+1)；

\Jny/n+y/n/1/1J2〃一1+J2v+1''

J几-------------------

V2V2

2"2"2"2"-'11/

(9)--------------------------------------------------------------------------------------------------1〃2I■

(2"一(2"-1)(2"-1)(2"-1)(2"_2)(2"T(2"T_1)2"T-12"-1""

122_________2_________

(11)—~——-----―<—--------------

VA?y/n2-n+y/n-n2周几-1+(n-l)\fnJ(n-l)n(y/n+Jr-1)

-2(一册)

2_2__2

-------------------<-------------------

n

2〃-1(l+l)-lC：+C：+C-1〃(〃+l)nn+1

…八12〃T1I/。、

(13)<7-----;----77-------r=--------------------(n>2).

2n-l(2〃T—1)(2〃—1)2〃T—12〃—117

(14)2(J〃+1-4)=./2——<，<~r~~i-----—2(G-A//?-1).

+l个nyjn+y/n—l

2.数学归纳法

(1)数学归纳法定义：对于某些与自然数,有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当"

取第一个值"o时命题成立；然后假设当〃=%(k&N*,k>n0)时命题成立，证明当〃=左+1时命题也成

立.这种证明方法就叫做数学归纳法.

注：即先验证使结论有意义的最小的正整数»0,如果当n=%时，命题成立，再假设当n=k(keN*,kWnJ

时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当〃=左+1时，命题也成立，那

么就可以递推出对所有不小于％的正整数？+1,%+2,…，命题都成立.

(2)运用数学归纳法的步骤与技巧

①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当〃取第一个值%结论正确；

(2)假设当〃=左(左wN*,k>n0)时结论正确，证明当〃=4+1时结论也正确

由(1),(2)可知，命题对于从〃。开始的所有正整数〃都正确.

②用数学归纳法证题的注意事项

(1)弄错起始小•小不一定恒为1,也可能%=2或3(即起点问题).

(2)对项数估算错误.特别是当寻找〃=%与〃=左+1的关系时，项数的变化易出现错误(即跨度问题).

(3)没有利用归纳假设.归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明

过程也就不正确了(即伪证问题).

(4)关键步骤含糊不清.“假设”=4时结论成立，利用此假设证明〃=左+1时结论也成立”是数学归纳法的

关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、

规范性(即规范问题).

二、题型精讲精练

【典例1】(2021.天津.统考高考真题)已知｛4｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.他,｝是公比大

于0的等比数列，々=4也-打=48.

(I)求｛4｝和低｝的通项公式；

1*

(II)记。〃=氏+不，,

bn

(i)证明归f,｝是等比数列；

(ii)证明孚工<2阳〃eN*)

k=lV9-C2k

【答案】(I)a,=2n-l,ncN*,R=4"eN*；(II)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【分析】(D由等差数列的求和公式运算可得｛q｝的通项，由等比数列的通项公式运算可得｛2｝的通项公

式；

(ID(i)运算可得q；-C2.=2.4”，结合等比数列的定义即可得证；

(ii)放缩得g二〈/I，进而可得雪后雪白，结合错位相减法即可得证.

【详解】(D因为｛4｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

8x7

所以％+出+…+=8%———x2=64,所以。1—1,

所以%=q+2(九-1)=2九一；

设等比数列也｝的公比为d(9>0),

所以4-4=姐2一如=4.2-4)=48,解得4=4(负值舍去),

所以〃=4尸=4〃/eN*；

11

(II)(i)由题意，G=%+丁=49"+*,

bn4

所以CJ2.4",

gr-KI2pjC"+l—02n+2_2，4.

所以％_。2户n0，且T^~=4,

所以数列依-4｝是等比数歹!J；

（2n-l）（2n+l）_4«2-14n2

（ii）由题意知,

2・4”―2"〃2•2?〃'

I/4n2_2〃__J_n

Vdf＜、2.22”=夜2=万尹，

则U+卷+••••+/,

nn+2

两式相减得=1+：+宁+-，+产-------=2----------,

,-TT

1—

2

所以北=4一景，

所以富氏（52册和-甘卜2伉

【点睛】关键点点睛：

最后一问考查数列不等式的证明，因叱，无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即

可得证.

【典例2】（2020•全国•统考高考真题）设数列｛加｝满足⑷=3,a„+1=3a„-4n.

（1）计算。2,123,猜想｛劭｝的通项公式并加以证明；

（2）求数列｛2"的｝的前"项和S”.

【答案】（1）%=5,%=7,=2/7+1,证明见解析;⑵S„=（2n-l）-2n+1+2.

【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出的，%，猜想得出｛%｝的通项公式，利用数学归纳法

证明即可；

（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可.

【详解】（1）

［方法一］【最优解】：通性通法

由题意可得。2=3%-4=9-4=5,4=3%-8=15-8=7,由数列｛%｝的前三项可猜想数列｛%｝是以3为首

项，2为公差的等差数列，即%=2"+1.

证明如下：

当”=1时，卬=3成立；

假设〃=左0eN*)时，%=2k+1成立.

那么〃=左+1时，%+1=3%一4左=3(2左+1)—4左=2左+3=2(k+1)+1也成立.

则对任意的“eN*,都有%=2"+1成立；

［方法二］:构造法

由题意可得出=3q—4=9—4=5,a3=3tz2—8=15—8=7.由4=3,%=5得%—6=2.an+}=3an—4n,贝1］

%=3%T-4(〃-1)(W»2),两式相减得%+1-%,=3(4“-%_］)一4.令2=%+|-%,且白=2,所以〃=3%-4,

两边同时减去2,得2-2=3色1一2),且乙一2=0,所以2=。，即氏+「4=2,又。「4=2,因此{%}

是首项为3,公差为2的等差数列，所以氏=2〃+1.

［方法三］：累加法

由题意可得。2=3q-4=9-4=5,%=3%-8=15-8=7.

由…334〃得爵一菱一挥即fTxJ,1-1=-8x1,……

土畀=-4(〃-l)x和22).以上各式等号两边相加得=-41X±+2X1+...+(H-1)X1,所

以今=(2〃+1>".所以4=2〃+1(7722).当〃=1时也符合上式.综上所述，=2«+1.

［方法四］:构造法

2%=34-4=5,%=3%-8=7,猜想。；,=2"+1.由于。用=34-4〃，所以可设

a“+i+4(〃+l)+〃=3(a“+4〃+〃)，其中4〃为常数.整理得4+1=3。“+2彳”+2〃_；1.故2/1=-4,24_几=0,

解得2=_2,〃=T.所以a用_2(”+1)_1=3(。“_2〃_1)=一=3"(q_2'1_1).又%-3=0,所以{4,_2”_1}

是各项均为。的常数列，故412fl-1=0,即a产2〃+1.

(2)由(1)可知，aj2"=(2〃+l>2"

［方法一］:错位相减法

231

Sn=3X2+5X2+7X2+---+(2/I-1)-2"-+(2W+1)-2",①

25„=3x22+5x23+7x24+...+(2/7-l)-2,,+(2n+l)-2"+1,②

由①一②得：—Sa=6+2x(22+23+…+2")-(2"+1>2角

=6+2*2x(J2)一(2〃+1).2a=(1-2").2"+|-2，

1-2

即5“=(2〃-1).2向+2.

［方法二］【最优解】：裂项相消法

2"%=(2〃+1)2"=(2〃-1)2".-(2〃-3)2"=-2，所以=24+2?出+23%+…+2%”

=伽一乙)+(2—4)+(2一4)+…+(%—2)=%—4=(2〃-1)2向+2.

［方法三］:构造法

当〃22时，S»=S,T+⑵?+1)•2",设S.+(pn+q)-2"=5„.+［p(n-1)+好2人,即S,=S„_,+"〃丁、.2”,

1

Z£

2=2'

则，解得〃=T,4=2.

-Q-P1

所以S“+(-4〃+2)2=S“T+［-4(”-1)+2］2T,即｛"+(-4〃+2)•2"｝为常数列，而凡+(-4+2),2=2,所

以S“+(-4〃+2>2"=2.

故S“=2+(2〃-1>2用.

［方法四］:

因为2"%=(2〃+1)2"=2〃・2"+2"=4，J2"T+2",令孰=m2'"',则

3

于(X)=X+尤2+xH----1■龙”("0,1)，

1-X

Ax)=l+2x+34…+止口J+Y—Z+Dx",

1-xJ(1-x)2

所以仿+伪+L+^„=1+2-2+3-22+.••+«-2^'=f'(2)=1+n-2n+1-(n+1)2".

故S“=4/'(2)+2+2?+2?+…+2"=4'+〃•2田一(〃+1)2-］+=(2n-+2.

【整体点评】(1)方法一：通过递推式求出数列｛%｝的部分项从而归纳得出数列｛4｝的通项公式，再根据

数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解;

方法二：根据递推式4+1=3。“-4”，代换得凡=3%_]-4(〃-1)("22),两式相减得。”+1^(an~an-l)~4>

设a=a“+i-4,从而简化递推式，再根据构造法即可求出或，从而得出数列｛%｝的通项公式；

方法三：由％=3-4〃化简得需-次-段，根据累加法即可求出数列｛%｝的通项公式；

方法四：通过递推式求出数列｛%｝的部分项，归纳得出数列｛4｝的通项公式，再根据待定系数法将递推式

变形成。川+〃"+1)+〃=3(。“+力，+〃)，求出从而可得构造数列为常数列，即得数列｛4｝的通项公

式.

(2)

方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；

方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；

方法三：由“22时，S„=S„_1+(2n+l).2",构造得到数列｛5+(-4〃+2).2"｝为常数列，从而求出；

方法四：将通项公式分解成2"/=(2〃+1)2"=2小2"+2"=4小2"1+2",利用分组求和法分别求出数列

｛2"｝,｛“.2"1的前”项和即可，其中数列｛小2"]的前”项和借助于函数

/(幻=尤+尤2+丁+…+尤”=/口卜/0,1)的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了

运算.

【题型训练-刷模拟】

1.数列不等式

一、单选题

1.(2023春・北京海淀•高二人大附中校考期中)已知数列[7工]的前"项和为《，若对任意的“eN*,不

[4〃-1J

等式〃/-6/恒成立，则实数机的取值范围是()

A.(-<x>,-l]u[3,+oo)B.(-co,-3ML+℃)C.[-3,1]D.[-1,3]

【答案】A

【分析】利用裂项相消求出T“，再将恒成立问题转化为最值问题，进而求出结果.

【详解】由4"一1二(2〃一1)(2〃+1)=Q-+

得一」]+'一4]+1+[—---------W-[l———

▼"2I3)U5jI2M-12n+l2(2n+l2

因为对任意的〃eN*,不等式苏-2相＞6（恒成立,

所以苏-2m>6x—,

2

解得机23或〃zW-1.

故选：A.

2.（2023•宁夏银川•校联考二模）2知数列｛叫满足％=2犬：+1），数列｛%｝的前〃项和为若

丁小一（4eR）对任意

T„>〃eN*恒成立，则2的取值范围是（)

n2+4n+19v7

A.(-co,4)B.2-\/5j

C.(-oo,5)D.(-00,6)

【答案】C

ri

【分析】利用裂项相消法求出T"=W将不等式进行等价转化，然后利用基本不等式即可求解・

11

【详解】因为4=\———),

2〃(〃+1)2〃+1'

所以1=4+。2+〃3+，，，+。〃一］+

_j_1J」1_]__J__£1__

222334n—1nnn+1

2(〃+1)'

因为T”>(+；：+19(%©2对任意〃eN*恒成立，

也即A<；、对任意〃£N*恒成立，

rn2+4n+191八161-f~~16~_.

因mj为l一^...-=-[(rz/2+1)+-----+2]>-(2/(/2+1)------+2)=5

2(〃+1)2n+12Vn+1

(当且仅当5+1)=工，也即〃=3时等号成立)

n+1

所以几＜5,

故选：C.

3.（2023•河南驻马店•统考二模）设数列｛%｝的前〃项和为5“，4=4,且〃向=11+占J。，，若2s“+122kan

恒成立，则左的最大值是（）

A.2A/W+1B.--C.--D.8

32

【答案】B

【分析】根据递推公式构造数列，含J,结合4=4可得数列｛q｝的通项公式，然后参变分离，利用对勾

函数性质可解.

【详解】因为%所以鼻=」\,所以数列[9]是常数列，

又q=4,所以4=3=1,从而4=〃+1,

n+13+1

所以数列｛”“｝是以2为首项，1为公差的等差数列，故S“=日产.

因为2sz,+12"%恒成立，所以川+3〃+12"5+1）恒成立，即左V"+3〃+12恒成立.

n+1

出1mil1rrn2+3n+12（Z—I）2+3（/—1）+1210

设，=〃+1,贝!|九=，一1,从而----------二---------\——L------=/+—+1.

n+1tt

记/⑺=r+:+l,由对勾函数性质可知，在（0,加）上单调递减，在（而,+8）上单调递增，

又rd,A3）=3+1+1臂，/（4）=4+>若，且胃<£，

所以r+户101的最小值是2年2，所以％告22

故选：B

4.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知S”是各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和，

S,+i=21a,+；S，，a3a5=64,若4%-S?,-65V。对〃eN*恒成立，则实数2的最大值为（）

A.80B.16C.160D.32

【答案】D

【分析】根据«„+1=S“M-乂=2%,求出｛%｝和S“的通项公式，代入不等式计算，再根据基本不等式即可求

解得出.

【详解】‘•'S"+i=2（a“+gsJ,;.a“+]=S.+]-S“=2%,;.%>0,

二数列｛%｝是首项为外、公比为2的等比数列，

a3a3=64a；=64,解得％=1或q=-l（舍），

,c+65.64,

=2"T,s,=血聆165M0,gpA<言—=2用n+]+西恒成立，

...2"+1+£22/2Mx”=32,当且仅当2向=竺即”=3时取等号，.•/W32.

2〃_jv2〃—]2〃­]

故选：D.

5.（2023・福建・统考模拟预测）已知数列｛。"｝满足q=；,cin+l=-,q+q%d-----F---Cin<m｛mGR）

恒成立，则”，的最小值为（）

2

A.3B.2C.1D.-

3

【答案】C

【分析】通过等差数列的定义求出的通项公式，再利用裂项相消法求出％+4/+…+4%…?，进而

确定m的最小值.

〃〃+1,n是等差数列，又；％=；，

【详解】—=----------=>------=1-\-----

an+\5+l)a,----an+1a,'

nIn

：.-=—+n-l=n+2=>an=-

anaxn+2

,123n2(\1}

故对此2,^2-A=-----••…—(“+1)5+2)=

6=:1=乙2也符合上式，

32x3

1111..+J-一-

%++,••+•…=21--+----+=1———<1,

2334〃+1n+2n+2

故加21,即加的最小值为L

故选：C.

6.（2023春・江西九江•高二校考期中）数列｛%｝是首项和公比均为2的等比数列，S“为数列｛4｝的前〃项和,

Or>nr\n

则使不等式下不+小不+…+不『〈赤成立的最小正整数〃的值是（）

3自W2U23

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

222T1（1AT

【分析】根据等比数列得S.，利用裂项求和可得£+”+…+下［=11-於口<而去，结合不等

式的性质代入求解即可得答案.

【详解】因为数列｛4｝是首项和公比均为2的等比数列，所以4=2”,则5“=2向-2,

…2"If11222T1<112"

以-----=--------------,贝----

Pfrn+11-------F•,•H----------=-1-----,,-+-1-----<------,

S„Sn+14（2'-12-lJzS»2S2s3S„Sn+i412-lJ2023

不等式整理得＜—，

2K+1-12023

当〃=8时，左边=券，右边=嚷，显然不满足不等式；

当"=9时，左边=倦，右边=黑，显然满足不等式；

ryn+\r\o〃+2

且当，29时，左边右边=—＞1,则不等式恒成立;

2K+1-12023

故当不等式成立时«的最小值为9.

故选：B.

7.（2023・上海•高三专题练习）已知数列｛%｝满足q=l,an+i-an=^-^,存在正偶数〃使得

（氏-㈤（。用+几）＞。，且对任意正奇数”有㈤（％+㈤＜。，则实数N的取值范围是（）

A.LB.~,-为（1，+8）。d-H'-t

【答案】D

【分析】利用累加法求出凡，对〃分为奇数、偶数两种情况讨论%的单调性，结合能成立与恒成立的处理

方法求出答案.

【详解】因为％=1,%

所以当〃＞2时，an=%+（%-%）+（%-%）H----卜（册一册_］）

2

又〃=1时4也成立,

3

,n=2k-l

次wN*,

,n=2k

易得，当〃为奇数时，。“单调递减；当〃为偶数时，4单调递增，

又当〃为正偶数时，存在（4-初％+丸）＞0,即（"%）（2+%）v0,

232

所以—。〃+1<X<。〃，此时有一。3<丸<§，所以一

又对于任意的正奇数〃,（%-肛。用+#〈0,即（％-%）（丸+.）>0,

2

所以丸<-〃用或。〃恒成立，所以几《一§或=1,

综上，实数4的取值范围是,

故选：D.

8.（2023春・浙江衢州•高二统考期末）已知等差数列｛4｝的前项和为S“，且”>九>工，若2=2023%,

数列｛2｝的前”项积为T.，则使（>1的最大整数"为（）

A.20B.21C.22D.23

【答案】B

【分析】先判断出>。吗1+。12<。，62<。，从而得到耳1>1，42<1，"1/12<1，故可判断50,n1,n2,%3与

1的大小关系.

b

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则广=2023"矶=2023"

故也｝为各项为正数的等比数列.

因为Su>，0>S]2，故%>0,知+4[2<0,故42<0，

l

故如=2023d>1,bn=2023%<1,bnbn=2023M+和<1,

故%>d".>伪1>1,l>bl2>bl3>---,

所以（o=4x4/…x%=4x伍2%）x---x（耳加）x伪1=毗>1,

x---x&=xx.--xx

T2l=btx/?221（^!）（&2Z?20）（Z?10Z?12）Z>],=b；：>1,

T22=伪义4X…义22=也%）X（b2b2l）X…X（41伪2）=（41%）“<1>

所以G=T酒13<1'

故选：B.

9.（2023•江西吉安・统考一模）已知数列｛%｝满足q=l,a,M=S：+4,reR,weN*,则下列说法正确的是（）

A.数列｛%｝不可能为等差数列B.对任意正数,,[乎|是递增数列

C.若r=l,贝此角24%D.若r=l,数列］的前〃项和为s“，则S"〈已

1%Je

【答案】D

【分析】若｛风｝为常数列1,1,1,…，此时/=-3,由此可判断A；若存在正数t使得［誓］为递增数列，

贝巾巴>生=。一1)。+4)2+4>0,显然当/时就不成立，由此判断B；—=%+汽，结合基本不等式可

判断C；当〃=1时，5,=-=1<-9满足题意；当〃22时，由44>4可得〃〃〉4〃。则

%eanan4

s,<i+；+-+，r，结合等比数列求和公式求解可判断D.

【详解】对于A,若｛%｝为常数列1,1,1,…，此时/=-3,故数列可以是等差数列，故A错误;

2

对于B,由。1==幻/+4/>0,〃£N*,/.a2=t+4-,a3=t(t+4)+4,

若存在正数t使得身为递增数列，贝！］&>&nf(f+4)+士-a+4)>。=«-1)。+4)2+4>。，显然当

［anJa2qt+4

f=g时不成立，故B错误；

✓74I4

对于C,已知弓=1,%讨=如+4,显然数列各项均为正数，故3=4+—之20•一=4,当且仅当%=2

ananVan

时，等号成立,

又％=1；*2时，G„>4,不满足取等条件，贝！J->4,即见+口44，故C错误；

an

14

对于D,当〃=1时，d=-=1<一,满足题意；

axe

当“22时，由选项C知％1'>4,累乘可得巴=乌-生9>4"\

a„%%一2%«ia„4

i-flT「？

•••5“<1+工+...+」7<7人,1-仕］满足题意，故D正确.

"44"T—I3|_⑷)3e

~4一

故选：D.

C

10.(2023・四川遂宁•校考模拟预测)若数列｛%｝的前”项和为S”,b,=",则称数列也｝是数列｛%｝的“均

n

值数列”.已知数列也｝是数列｛%｝的“均值数列”且b„=n设数列『一一卜的前〃项和为1,若

+

；(根2一根+百一3)<(对〃eN*恒成立，则实数加的取值范围为()

A.[-1,2]B.(-1,2)

C.(-oo,-l)U(2,+oo)D.(-oo,-l]u[2,+co)

【答案】B

_c(S,72=1_(、

【分析】由题意可得3="2,由%=।、,可求出数列｛%｝的通项公式，利用裂项相消法可求得4,

求出数列｛(,｝的最小值，可得出关于加的不等式，解之即可.

【详解】由题意2=〃，即S“=〃2,

n

22

当2时，an=Sn-Sn_x=n-(n-1)=2n-l,

又4=6=1,则％=1满足％=2〃-1,故对任意的〃cN*,an=2n-l9

1_1_J2〃+1—yjln—X

人+\lan+l，2〃-1+12〃+12

丁V3-1>/5-V3y/2n+l-y/2n-]3+1—1

〃2222

易知[叵丁4是递增数列，所以，数列卜2半口]的最小值是r=叵1，

2J[2J“2

由题意(病-"Z+/-3)<J整理可得〃，—机―2<0,解得一

故选：B.

11.(2023春・浙江杭州•高二杭州市长河高级中学校考期中)已知数列｛4｝满足

aA=a>0,an+l=(weN,),若存在实数r,使｛4｝单调递增，则”的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【分析】解法一：由｛4｝单调递增可得%+1>4恒成立，贝!|空%+1(weN*),分析f>6+1和/>%+1应用

排除法确定正确选项；

解法二：借助函数的知识，将数列单调性转化为函数单调性，结合函数图象即可得解.

【详解】解法一：由｛4｝单调递增，得为+|=-吊+">4,,

由4=Q>0,得>0,

t>an+l(nGN*).

〃=1时，得H+l①，

〃=2时，^t>—a2+ta+l9即(a—l)，v(a+l)(Q—l)②，

若a=l,②式不成立，不合题意；

若。>1,②式等价为，V4+L与①式矛盾，不合题意.

综上，排除B,C,D.

解法二：设〃X)=—x2+比，函数对称轴为无=；,则约+1=/(。“)，

联立「=一”+tx,可得两函数的交点为

〔丁=九

若要4贝！0<a<t-l,所以1。<2,

又只要求存在实数3所以

故选：A.

12.(2022春・北京•高二清华附中校考期中)对于数列｛%｝,若都有攻口型(f为常

m—n

数)成立，则称数列｛q｝具有性质P。).数列｛4｝的通项公式为q="2-4,且具有性质P(5),则实数。的

n

取值范围是()

A.[5,+00)B.[4,+oo)

C.D.(-co,5]

【答案】B

【分析】根据数列的新定义推得数列｛q-5〃｝是递增数列，从而得至!]-5(〃+1)-(%-5〃)上。，整理化简

得_0<2〃(〃+1)(〃-2),构造函数〃司=2工3一2f一4x(x21),利用导数求得“〃)的最小值，从而得解.

【详解】依题意，得4*25,则％f_g,「5叽0,

m—nm—n

所以数列｛q-5〃｝是递增数列，故-5(〃+1)-(%-5〃)N0,〃eN*,

因为〃“二"2_乌，贝-----—5(n+1)—---->0,整理得—aW2Tl(n+1)(〃—2).n£N*,

令f(x)=2x(x+1)(%—2)=2x3—2x2—4x(x>l),则/(r)=6x2-4x-4=2(3x2-2x-2),

令r(x)<o,得iw尤令制勾>0,得

所以〃x)在上单调递减，在上单调递增,

又〃eN*,山区<2,所以在X=1或无=2处取得最小值,

3

又/(1)=一4,“2)=0,所以/("Ln=-4,

故一。<-4,贝!j。24,

所以。的取值范围为［4,+(»).

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解数列新定义，推得｛。“-5科是递增数列，从而将问题转化为。关

于九的恒成立问题，从而得解.

13.(2023春•河南开封•高二校考期中)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,4=1,若对任意正整数〃，

S向=-3%+%+3,5„+«„>(-1)"«,则实数。的取值范围是()

A.［一1,|］B.［问C,D.(-2,3)

【答案】C

【分析】根据谓与$/，的关系结合等比数列的概念可得2a用-进而可得见=崇，然后结合条件可

得邑+q=3-击然后分类讨论即得.

【详解】因为S.=-3々〃+1+%+3,%=1

3

当〃=1时，邑=—3%+q+3,解得%=］，

当〃>2时，Sn=-3an+an_x+3(n>2),则an+i=-3an+l+4%-%,

即2an+l~an=g(2"〃~an-\)，又2a2~a\=~f

所以｛24包-q,｝是首项为T,公比为g的等比数列，

所以2ax-凡=g,则2"+4+「2%=1,又为=2,

所以｛2"凡｝为首项为2,公差为1的等差数列，

n+1

贝！］2"。"=〃+1,则

所以S.+1+。/+1=-2・^^+g^+3=3-J,又S］+q=2=3-±，

则S"+。“,又S0+a”＞（-l）"a,

所以3-击＞（T）"a，

当n为奇数时，3-^j-＞-A,而3-JY22,则2＞-a,解得。＞一2；

当n为偶数时，3-击＞〃，而3-击,，贝!Ja＜%

综上所述，实数°的取值范围为

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据递推关系构造数列求数列的通项公式，然后通过讨论结合数列不

等式恒成立问题即得.

14.（2022秋.安徽合肥・高二统考期末）在数列｛。“｝中，若弓=:，且对任意的“eN*有嗅则使

数列｛%｝前n项和5„＜||成立的n最大值为（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【分析】由题知数列］乎:是等比数列，公比为首项为进而得氏再根据错位相减法得

5“=2-仅+2）［］,进而将不等式转化为（"+2＞］力＞三，令2=（〃+2）.目，再结合其单调性求解即

可.

【详解】解：因为对任意的“eN*有箕=答,

所以篇《十，即数列1%是等比数列，公比为枭

首项为

所吟=1），。"唱［，

所以，If出+2x出+3x出+一.+（〃一1）.出，+"（iy

］丫+1

1=1x（）+2x出+3x［\+...+（1）.出+“

2J

n+l

=l-(n+2)/1

2

所以S“=2_(”+2).

063前班./小门丫63〜1

所以S“(二即为2-(“+2)J—|<一=2-----,

32'，(2J3232

1

所以仅+2>>——

I32

令么=5+2>出,

则%-a=（〃+3）.出-（〃+2吗］=出［-"）<。，即%<%

所以也,｝为单调递减数列，

因为当〃=8时，（8+2）.1I=满足("+2).1।>3

击舟不满足5+2）-1

当〃=9时，（9+2）.>一,

I132

』成立的最大值为

所以（"+2）.n8,

所以，数列｛4｝前n项和耳<||成立的n最大值为8.

故选：B

12

15.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛。"｝满足卬=：,%=q,+2（〃eN*）,则下列选项正确的是（

3n

「20211

A.。2021V“2020B.<<I

40432021

一八2021

C.0<Q2021V-------------D.。2021>1

20214043

【答案】B

【详解】

(1)下面先证明%<1.由4=：,%=。"+马(”。*),则。“>0,，%>氏，.•..<4+笔且，化为:

3nn

111

一<+F，

an%+1〃

111111

九.2时t，一<---+-----=---+----——,

4%n(n-l)%n-1n

J_<+J_<J_+1111__j_

9999

,a202s2a3a423anan+in-1n

111

•一<一+1——,

a2ann

114

又%=-+-

399

19li