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PAGE四十五二项分布1.(2024·长沙高二检测)设随机变量X~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6,\f(1,2))),则P(X=3)等于()A.eq\f(5,16)B.eq\f(3,16)C.eq\f(5,8)D.eq\f(3,8)【解析】选A.由题意,随机变量X~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6,\f(1,2))),所以P(X=3)=Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))=eq\f(5,16).2.一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为eq\f(80,81),则此射手每次击中的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,5)【解析】选B.设此射手每次击中的概率是p,因为至少命中一次的概率为eq\f(80,81),所以1-(1-p)4=eq\f(80,81),所以p=eq\f(2,3).3.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400【解析】选B.设没有发芽的种子数为ξ,则ξ~B(1000,0.1),X=2ξ,所以EX=2Eξ=2×1000×0.1=200.4.(2024·天津高二检测)某校为了增加学生的记忆力和辨识力,组织了一场类似《最强大脑》的PK赛,A,B两队各由4名选手组成,每局两队各派一名选手PK,竞赛四局.除第三局胜者得2格外,其余各局胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局竞赛A队选手获胜的概率均为eq\f(2,3),且各局竞赛结果相互独立,竞赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为()A.eq\f(16,27)B.eq\f(64,81)C.eq\f(20,27)D.eq\f(7,9)【解析】选C.竞赛结束时A队的得分高于B队的得分的状况有3种;A全胜,A三胜一负,A第三局胜,另外三局两负一胜,所以竞赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为:P=+Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))+eq\f(2,3)Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))=eq\f(20,27).5.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是________.(写出全部正确结论的序号)【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9,所以第3次击中目标的概率是0.9,所以①正确,因为连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以本题是一个独立重复试验,依据独立重复试验的概率公式得到恰好击中目标3次的概率是Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×0.93×0.1,所以②不正确,因为至少击中目标1次的概率用对立事务表示是1-0.14.所以③正确.答案:①③6.某气象站天气预报的精确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位):(1)5次预报中恰有2次精确的概率;(2)5次预报中至少有2次精确的概率.【解析】(1)记“预报一次精确”为事务A,则P(A)=0.8.5次预报相当于5次独立重复试验,恰有2次精确的概率为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))0.82×0.23=0.0512≈0.05.因此5次预报中恰有2次精确的概率为0.05.(2)“5次预报中至少有2次精确”的对立事务为“5次预报全部不精确或只有1次精确”,其概率为Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))(0.2)5+Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))×0.8×0.24=0.00672≈0.01.故所求概率为1-0.01=0.99.一、单选题(每小题5分,共20分)1.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】选A.该同学通过测试的概率为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×0.62×0.4+Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×0.63=0.648.2.(2024·广州高二检测)某同学通过英语听力测试的概率为eq\f(1,2),他连续测试n次,要保证他至少有一次通过的概率大于0.9,那么n的最小值是()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由题意可得,1-Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))·>0.9,求得<0.1,所以n≥4.3.(2024·潍坊高二检测)连续投掷2枚大小相同,质地匀称的骰子3次,则恰有2次点数之和不小于10的概率为()A.eq\f(1,12)B.eq\f(5,72)C.eq\f(1,15)D.eq\f(5,216)【解析】选B.连续投掷2枚大小相同,质地匀称的骰子1次,基本领件总数n=6×6=36,出现向上的点数之和不小于10包含的基本领件有:(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共有6个,所以每次投掷,两骰子点数之和不小于10的概率为eq\f(1,6),又投掷3次,相当于3次独立重复试验,故恰有两次点数之和不小于10的概率为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·eq\f(5,6)=eq\f(5,72).4.(2024·长春高二检测)已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则随机变量η的期望Eη及方差Dη分别为()A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6【解析】选B.因为X~B(10,0.6),由二项分布的数学期望公式得EX=10×0.6=6,由二项分布的方差公式得DX=10×0.6×0.4=2.4,因为X+η=8,所以η=8-X,则Eη=E(8-X)=8-EX=8-6=2,Dη=D(8-X)=DX=2.4.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2024·盐城高二检测)设火箭放射失败的概率为0.01,若放射10次,其中失败的次数为X,则下列结论正确的是()A.EX=0.1B.P(X=k)=0.01k×0.9910-kC.DX=0.99D.P(X=k)=Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(10))×0.01k×0.9910-k【解析】选AD.因为X~B(10,0.01),所以EX=10×0.01=0.1,DX=10×0.01×0.99=0.099.所以P(X=k)=Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(10))×0.01k×0.9910-k.6.(2024·徐州高二检测)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100)其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为eq\f(1,3),出现1的概率为eq\f(2,3),记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时()A.X听从二项分布B.P(X=1)=eq\f(8,81)C.X的期望EX=eq\f(8,3)D.X的方差DX=eq\f(8,3)【解析】选ABC.由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1,且每个数位上的数字在填时互不影响,故5位数中后4位的全部结果有4类:①后4位数都出现0,X=0,记其概率为P(X=0)==eq\f(1,81);②后4位数只出现1个1,X=1,记其概率为P(X=1)=Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))=eq\f(8,81);③后4位数出现2个1,X=2,记其概率为P(X=2)=Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))=eq\f(24,81),④后4位数出现3个1,x=3,记其概率为P(X=3)=Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))=eq\f(32,81),⑤后4位数都出现1,X=4,记其概率为P(X=4)==eq\f(16,81),故X~B(4,eq\f(2,3)),故A正确;又P(X=1)=Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))=eq\f(8,81),故B正确;因为X~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(2,3))),所以EX=4×eq\f(2,3)=eq\f(8,3),故C正确;因为X~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(2,3))),所以X的方差DX=4×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)=eq\f(8,9),故D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.箱子中有标号为1,2,3,4,5,6且大小、形态完全相同的6个球,从箱子中一次摸出两个球,登记号码并放回,假如两球号码之积是4的倍数,则获奖.若有4人参与摸奖,则恰好有3人获奖的概率为________.【解析】获奖的概率为p=eq\f(6,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))=eq\f(2,5),记获奖的人数为ξ,ξ~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(2,5))),所以4人中恰好有3人获奖的概率为P=Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))·eq\f(3,5)=eq\f(96,625).答案:eq\f(96,625)8.在一射击测试中每人射击三次,每击中目标一次记10分,没有击中记0分,某人每次击中目标的概率为eq\f(2,3),则此人得分的期望与方差分别为________,________.【解析】依据题意,记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分,则η~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(2,3))),ξ=10η,所以Eξ=10Eη=10×3×eq\f(2,3)=20,Dξ=100Dη=100×3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)=eq\f(200,3).答案:20eq\f(200,3)四、解答题(每小题10分,共20分)9.乒乓球单打竞赛在甲、乙两名运动员间进行,竞赛采纳7局4胜制(即先胜4局者获胜,竞赛结束),假设两人在每一局竞赛中获胜的可能性相同.(1)求乙以4比1获胜的概率;(2)求甲获胜且竞赛局数多于5局的概率.【解析】(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局竞赛中获胜的概率都是eq\f(1,2),记“乙以4比1获胜”为事务A,则A表示乙赢了3局甲赢了一局,且第五局乙赢,所以P(A)=Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))××eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,8).(2)记“甲获胜且竞赛局数多于5局”为事务B,则B表示甲以4比2获胜,或甲以4比3获胜.因为甲以4比2获胜,表示前5局竞赛中甲赢了3局且第六局竞赛中甲赢了,这时,无需进行第7局竞赛,故甲以4比2获胜的概率为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))×××eq\f(1,2)=eq\f(5,32).甲以4比3获胜,表示前6局竞赛中甲赢了3局且第7局竞赛中甲赢了,故甲以4比3获胜的概率为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))×××eq\f(1,2)=eq\f(5,32),故甲获胜且竞赛局数多于5局的概率为eq\f(5,32)+eq\f(5,32)=eq\f(5,16).10.(2024·北京高二检测)一家面包房依据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在将来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在将来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望EX及方差DX.【解析】(1)设A1表示事务“日销售量不低于100个”,A2表示事务“日销售量低于50个”,B表示事务“在将来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6.P(A2)=0.003×50=0.15.P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为P(X=0)=Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))·(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·0.63=0.216,分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X~B(3,0.6),所以期望为EX=3×0.6=1.8,方差DX=3×0.6×(1-0.6)=0.72.1.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是eq\f(1,2).质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________.【解析】质点P移动五次后,位于点(2,3)处,则需向右移动2次,向上移动3次,则所求概率为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))··=eq\f(5,16).答案:eq\f(5,16)2.甲、乙两队参与听歌猜歌名嬉戏,每队3人.随机播放一首歌曲,参赛者起先抢答,每人只有一次抢答机会,答对者为本队赢得一分,答错得零分,假设甲队中每人答对的概率均为eq\f(2,3),乙队中3人答对的概率分别为eq\f(2,3),eq\f(1,3),eq\f(1,2),且每人回答正确与否相互之间没有影响.(1)若竞赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范,求抽到的两名选手在同一个队的概率;(2)用ξ表示甲队的总得分,求随机变量ξ的分布列和数学期望;(3)求两队得分之和大于4的概率.【解析】(1)6个选手中抽取两名选手共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))=15种结果,抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队,共有:2Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))=6种结果,用A表示事务:“从两队的6个选手中抽取两名选手,求抽到的两名选手在同一个队”,P(A)=eq\f(6,15)=eq\f(2,5),故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范,抽到的两名选手在同一个队的概率为eq\f(2,5).(2)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,且ξ~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(2,3))).P(ξ=0)=Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))=eq\f(1,27),P(ξ=1)=Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)
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