2024-2025学年高中数学第3章不等式4.2简单线性规划讲义教案北师大版必修5

PAGE10-4．2简洁线性规划学习目标核心素养1．了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．(重点)2．驾驭二元线性规划问题的求解过程，特殊是确定最优解的方法．(重点、难点)1．通过学习与线性规划有关的概念，培育数学抽象素养．2．通过探讨最优解的方法，提升数学运算实力．简洁线性规划阅读教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列问题(1)线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组)线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满意线性约束条件的解(x，y)可行域由全部可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题(2)线性规划问题①目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，在y轴上的截距是eq\f(z,b)，当z改变时，方程表示一组相互平行的直线．当b＞0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b＜0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．②解决简洁线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简洁线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即(ⅰ)画：依据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形精确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(ⅱ)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最终通过的顶点(或边界)便是最优解．(ⅲ)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(ⅳ)答：写出答案．思索：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？[提示]可能唯一，也可能不唯一．(2)若将目标函数z＝3x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？[提示]由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直线在y轴上的截距．1．设变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,x－3y＋4≤0，))则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4 B．0C．eq\f(4,3) D．4D[作出可行域，如图所示．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4．]2．若实数x，y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x≤4，,y≤5))则s＝x＋y的最小值为．2[如图所示阴影部分为可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由图可知，当直线y＝－x＋s与直线x＋y－2＝0重合时，s最小，即x＝4，y＝－2时，s的最小值为4－2＝2．]3．如图，点(x，y)在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z＝2x－y的最小值为．1[法一：目标函数z＝2x－y可变形为y＝2x－z，所以当直线y＝2x－z在y轴上的截距最大时，z的值最小．移动直线2x－y＝0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大，即z的值最小，为2×1－1＝1．法二：将点A，B，C，D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小，得在A点处取得最小值为1．]4．已知点P(x，y)的坐标满意条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，))点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于，最大值等于．eq\r(2)eq\r(10)[画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，因为|PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO|取得最小值的最优解为点A(1,1)；使|PO|取得最大值的最优解为点B(1,3)，所以|PO|min＝eq\r(2)，|PO|max＝eq\r(10)．]线性目标函数的最值问题【例1】若x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))则z＝x＋y的最大值为．eq\f(3,2)[由题意画出可行域(如图所示)，其中A(－2，－1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，C(0,1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))时，z取最大值eq\f(3,2)．]用图解法解决线性规划问题的关键和留意点,图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点或哪些点时最先接触可行域和最终离开可行域，则这样的点即为最优解，再留意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值.eq\o([跟进训练])1．若x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))则z＝x－2y的最小值为．－5[画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x＝3与直线x－y＋1＝0的交点(3,4)处取得，代入目标函数z＝x－2y得到－5．]线性规划问题中的参数问题【例2】已知变量x，y满意的约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0.))若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围．[解]依据约束条件，画出可行域．∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－eq\f(1,2)，目标函数z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率k2＝－a，若符合题意，则需k1＞k2．即－eq\f(1,2)＞－a，得a＞eq\f(1,2)．含参数的线性目标函数问题的求解策略1约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分状况作出可行域，结合条件求出不同状况下的参数值.2目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，假如斜率肯定，则对直线作平移变换；假如斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分状况确定最优解的位置，从而求出参数的值.eq\o([跟进训练])2．(1)已知x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0.))若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝()A．3 B．2C．－2 D．－3(2)已知x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A．eq\f(1,2)或1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1(1)B(2)D[(1)画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．因为目标函数z＝ax＋y的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有2a＋0＝4，解得a＝2．(2)作出可行域，如图中阴影部分所示．由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1．]非线性目标函数的最值问题[探究问题]1．(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离是什么？(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，直线AB的斜率是什么？[提示](1)|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)．(2)kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．2．(1)代数式eq\r(x＋22＋y2)的几何意义是什么？(2)代数式eq\f(y＋3,x－2)的几何意义是什么？(3)代数式eq\f(|x－2y＋1|,\r(5))的几何意义是什么？[提示](1)点(x，y)与(－2,0)间的距离．(2)点(x，y)与(2，－3)连线的斜率．(3)点(x，y)到直线x－2y＋1＝0的距离．【例3】设实数x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2≤0，,x＋2y－4≥0，,2y－3≤0，))求(1)x2＋y2的最小值；(2)eq\f(y,x)的最大值．[解]如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，(1)令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方．过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,y＝2x))的解，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(8,5)))，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,2y－3＝0，))得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(13),2)，所以，x2＋y2的最小值为eq\f(13,4)．(2)令v＝eq\f(y,x)，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率为v，即v＝eq\f(y－0,x－0)．由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，由(1)知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以vmax＝eq\f(3,2)，所以eq\f(y,x)的最大值为eq\f(3,2)．1．(变结论)例3的条件不变，求x2＋(y＋1)2的最大值．[解]令z＝x2＋(y＋1)2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与(0，－1)的距离的平方，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－3＝0,x－y－2＝0))解得点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(3,2)))，由例3的解答可知，点B与(0，－1)间的距离的平方最大，zmax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－0))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋1))eq\s\up12(2)＝eq\f(37,2)．2．(变条件)把例3的线性约束条件换为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤1，,x≤1，,x＋y≥1，))求z＝x2＋y2的最小值．[解]实数x，y满意的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)．非线性目标函数的最值的求解策略1z＝x－a2＋y－b2型的目标函数可转化为点x，y与点a，b距离的平方；特殊地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.2z＝eq\f(y－b,x－a)型的目标函数可转化为点x，y与点a，b连线的斜率.3z＝|Ax＋By＋C|可转化为点x，y到直线Ax＋By＋C＝0的距离的eq\r(A2＋B2)倍.1．用图解法求线性目标函数的最值时，要清晰z的含义，z一般与直线在y轴上的截距有关．2．作不等式组表示的可行域时，留意标出相应的直线方程，平移直线时，要留意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．1．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有当可行域是封闭的图形时，目标函数才有最优解． ()(2)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值． ()(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)错误，可行域不是封闭的图形，目标函数也有最优解；(2)错误，最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解；(3)错误，由ax＋by－z＝0得y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，知z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上截距的b倍．2．目标函数z＝－3