2025版高考数学一轮复习第十章统计统计案例第一讲随机抽样学案新人教版

PAGE第十章统计、统计案例第一讲随机抽样学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一总体、个体、样本、样本容量的概念统计中所考察对象的全体构成的集合看做总体，构成总体的每个元素作为个体，从总体中抽取的_一部分个体__所组成的集合叫做样本，样本中个体的_数目__叫做样本容量．学问点二简洁随机抽样一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个_不放回__地抽取n个个体作为样本(n≤N)，假如每次抽取时总体内的各个个体被抽到的_机会都相等__，就把这种抽样方法叫做简洁随机抽样．最常用的简洁随机抽样的方法有两种：_抽签法__和_随机数表法__.学问点三系统抽样当总体中的个体比较多且均衡时，首先把总体分成均衡的若干部分，然后_依据预先定出的规则__，从每一部分中抽取一个个体，得到所须要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体_编号__；(2)确定_分段间隔k__，对编号进行_分段__.当eq\f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq\f(N,n)；(3)在第1段用_简洁随机抽样__确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)依据肯定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号_(l＋k)__，再加k得到第3个个体编号_(l＋2k)__，依次进行下去，直到获得整个样本．学问点四分层抽样一般地，在抽样时将总体分成互不交叉的层，然后依据_肯定的比例__，从各层独立地抽取肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的应用范围：当总体是由_差异明显的几个部分__组成时，往往选用分层抽样的方法．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段时间隔k的整数倍．3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)简洁随机抽样是从总体中逐个不放回的抽取样本．(√)(2)简洁随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(×)(3)系统抽样在起始部分抽样时采纳简洁随机抽样．(√)(4)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(×)(5)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，须要剔除2个学生，这样对被剔除者不公允．(×)(6)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)题组二走进教材2．(P100A组T2)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(B)A．33,34,33 B．25,56,19C．30,40,30 D．30,50,20[解析]因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25,56,19.3．(P59T2)某班共有52人，现依据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是(D)A．10 B．11C．12 D．16[解析]从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D．题组三走向高考4．(2024·课标全国Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司打算进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简洁随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_分层抽样__.[解析]因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以依据三种抽样方法的特点可知最合适的抽样方法是分层抽样．5．(2024·课标全国Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素养，将这些学生编号为1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(C)A．8号学生 B．200号学生C．616号学生 D．815号学生[解析]将1000名学生分成100组，每组10人，则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列{an}，由题意知a5＝46，则an＝a5＋(n－5)×10＝10n－4，n∈N*，易知只有C选项满意题意．故选C．考点突破·互动探究考点一简洁随机抽样——自主练透例1(1)(2024·陕西模拟)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是(A)A．这次抽样可能采纳的是简洁随机抽样B．这次抽样肯定没有采纳系统抽样C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率(2)(2024·山西大同)用简洁随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“其次次被抽到”的可能性分别是(A)A．eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C．eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D．eq\f(3,10)，eq\f(3,10)(3)(2024·山西高校附中诊断)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600从中抽取60个样本，如下供应随机数表的第4行到第6行：32211834297864540732524206443812234356773578905642；84421253313457860736253007328623457889072368960804；32567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列起先向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号(D)A．522 B．324C．535 D．578[解析](1)利用解除法求解．这次抽样可能采纳的是简洁随机抽样，A正确；这次抽样可能采纳系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误，故选A．(2)在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“其次次被抽到”的可能性均为eq\f(1,10).故选A．(3)从第6行第6列起先向右依次读取3个数，依次得到的样本为436,535,577,348,522,578，故选D．名师点拨(1)简洁随机抽样满意：①抽取的个体数有限；②逐个抽取；③不放回抽取；④等可能抽取．(2)抽签法适用于总体中个体数较少的状况，随机数表法适用于总体中个体数较多的状况．〔变式训练1〕(2024·赣州模拟)从某班50名同学中选出5人参与户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，…，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字起先从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为(A)(注：表为随机数表的第1行与第2行)0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A．24 B．36C．46 D．47[解析]由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字起先，由表可知依次选取43,36,47,46,24.故选A．考点二系统抽样——师生共研例2(1)(2024·甘肃张掖诊断)某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最高校号为48，则抽到的最小学号为_6__.(2)(2024·安徽江淮十校联考)某校阳光心理辅导室为了解高三同学们的心理状况，将高三年级20个班依次编号为1到20，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为50，则抽到的最大编号为(C)A．14 B．16C．18 D．20(3)(2024·湖北模拟)将参与数学竞赛决赛的500名学生编号为：001,002，…，500，采纳系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，分组后，在第一组采纳简洁随机抽样抽得的号码为003.这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在其次考点，从356到500在第三考点，则第三考点被抽中的人数为(A)A．14 B．15C．16 D．21[解析](1)系统抽样的抽取间隔为eq\f(48,8)＝6，则48－6×7＝6，则抽到的最小学号为6，故答案为6.(2)由题意组距为4，设第一组抽到的编号为x，则抽到的编号之和为x＋(x＋4)＋(x＋8)＋(x＋12)＋(x＋16)＝50，解得x＝2，故最大编号为18.(3)解法一：依据系统抽样的规则，356号在第36组且为第6位，500号在第50组，又第36组抽到的考生没在第三考点，故第三考点被抽到的人数为50－36＝14.解法二：由题意可知，将500名学生平均分成50组，每组10人，第k(k∈N*)组抽到的号码为10(k－1)＋3.令356≤10(k－1)＋3≤500(k∈N*)，解得37≤k≤50，则满意37≤k≤50的正整数k有14个，故第三考点被抽中的学生人数为14人．故选A．名师点拨系统抽样的特点(1)适用于元素个数许多且均衡的总体．(2)各个个体被抽到的机会均等．(3)总体分组后，在起始部分抽样时采纳的是简洁随机抽样．(4)假如总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝eq\f(N,n).假如总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．(5)样本容量是几就是分几段，每段抽取一个个体．〔变式训练2〕(2024·安徽黄山质检)某校高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为(A)A．27 B．26C．25 D．24[解析]依据系统抽样的规则——“等距离”时抽取，也就是抽取的号码差相等，依据抽出的序号可知学号之间的差为8，所以在19与35之间还有27，故选A．考点三分层抽样——多维探究角度1求某层入样的个体数例3(1)(2024·广西桂林、崇左、贺州联考)某校为了解学生学习的状况，采纳分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为_24__.(2)(2024·宁波一模)调查某中学1000名学生的身高状况得下表，已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏矮男生的概率为0.12，若用分层抽样的方法，从这些学生中随机抽取50名，问应在偏高学生中抽取_11__名.偏矮正常偏高女生/人100273y男生/人x287z[解析](1)由分层抽样的学问可得eq\f(2400,2400＋2000＋n)×90＝36，即n＝1600，所以高三被抽取的人数为eq\f(1600,2400＋2000＋1600)×90＝24，应填答案24.(2)由题意可知x＝1000×0.12＝120，所以y＋z＝220.所以偏高学生占学生总数的比例为eq\f(220,1000)＝eq\f(11,50)，所以抽50名应抽偏高学生50×eq\f(11,50)＝11(人)．角度2求总体或样本容量例4(1)(2024·湖南模拟)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝(D)A．9 B．10C．12 D．13(2)(2024·吴忠模拟)某中学高一年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生(D)A．1260 B．1230C．1200 D．1140[解析](1)由分层抽样可得，eq\f(3,60)＝eq\f(n,260)，解得n＝13.故选D．(2)高一年级共有学生2400人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，样本中共有男生42人，则高一年级的女生人数约为：2400×eq\f(80－42,80)＝1140.故选D．角度3分层抽样与概率结合例5(2024·天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ⅱ)设A为事务“抽取的3人中，既有睡眠足够的员工，也有睡眠不足的员工”，求事务A发生的概率．[解析](1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.人数比为：3∶2∶2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3,2,2人．(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X的取值为：0,1,2,3，P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,3),C\o\al(3,7))，k＝0,1,2,3.所以随机变量的分布列为：X0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(18,35)＋3×eq\f(4,35)＝eq\f(12,7)；(ⅱ)设A为事务“抽取的3人中，既有睡眠足够的员工，也有睡眠不足的员工”，设事务B为：抽取的3人中，睡眠足够的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事务C为：抽取的3人中，睡眠足够的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A＝B∪C，且P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝eq\f(6,7).所以事务A发生的概率为eq\f(6,7).名师点拨(1)分层抽样的操作步骤：①将总体按肯定标准进行分层；②计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；③在每一层进行抽样(可用简洁随机抽样或系统抽样)．(2)进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：①eq\f(样本容量n,总体的个数N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．注：分层抽样与概率相结合的题目是高考的热点，解题时先依据分层抽样确定人数，再利用古典概型求解相应的概率．〔变式训练3〕(1)(角度1)(2024·广东广州模拟)某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝(B)A．96 B．72C．48 D．36(2)(角度2)某中学安排从全校学生中按年级采纳分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为(C)A．2400 B．2700C．3000 D．3600(3)(角度3)某中学为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟法庭”“街舞”“动漫”“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：社团相关人数抽取人数模拟法庭24a街舞305动漫b4话剧12c①求a，b，c的值；②若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担当指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．[解析](1)由题意得eq\f(2,9)n－eq\f(3,9)n＝－8，∴n＝72，故选B．(2)设全校学生人数为n，由题意可知eq\f(20,n)＝eq\f(20－14,900)，解得n＝3000，故选C．(3)①由表可知抽取比例为eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，故a＝4，b＝24，c＝2.②设“动漫”社团的4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”社团的2人分别为：B1，B2.则从中任选2人的全部基本领件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)共15个．其中2人分别来自这两个社团的基本领件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8个．所以这2人分别来自这两个社团的概率P＝eq\f(8,15).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或这2人分别来自这两个社团的概率P＝\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＝\f(8,15)))名师讲坛·素养提升几种常用的统计图形一、扇形图例6在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清楚——复原经济正常运行，国人万众一心，众志成城，防控疫情、复工复产，某企业对本企业1000名职工关于复工的看法进行调查，调查结果如图所示，则(ABD)A．x＝34.8B．从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178C．不到50名职工倾向于接着申请休假D．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过600名[解析]对于A，x＝100－5.1－17.8－42.3＝34.8，A正确；对于B，倾向于在家办公的人员占比为17.8%，故对应概率为0.178，B正确；对于C，倾向于接着申请休假人数为1000×5.1%＝51人，C错误；对于D，倾向于在家办公或在公司办公的职工人数为1000×(17.8%＋42.3%)＝601人，D正确．二、条形图(柱状图)例7(2024·山东日照联考、江西南昌摸底)爱美之心，人皆有之．健身减肥已成为许多肥胖者业余选择的项目．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：kg)状况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重状况如柱状图2所示．对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是(C)A．他们健身后，体重在区间[90,100)内的人数增加了4个B．他们健身后，体重在区间[100,110)内的人数没有变更C．因为体重在[100,110)内所占比例没有发生变更，所以说明健身对体重没有任何影响D．他们健身后，原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有削减[解析]依据给定的健身前后的体重柱状图，可得健身前体重在区间[90,100)内的有40×30%＝12人，健身后有40×40%＝16，所以体重在区间[90,100)内的人数增加了4个，所以A正确；由健身前体重在[100,110)的人数为40×50%＝20人，健身后有40×50%＝20，所以健身前后体重在[100,110)的人数不变，所以B正确；由健身前后体重在[90,100)和[110,120)的人数有明显变更，所以健身对体重有明显效果，所以C不正确；由健身前体重在[110,120)的人数为40×20%＝8人，健身后为0人，所以原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有削减，所以D正确．故选C．三、雷达图例8(2024·湖南湘潭高三月考)某工厂组织员工进行专业技能竞赛，下图是7位评委对甲、乙两位员工评分(满分10分)的雷达图．依据图中信息，下列说法正确的是(CD)A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数B．甲得分的众数大于乙得分的众数C．甲得分的平均数与乙得分的平均数相等D．甲得分的极差小于乙得分的极差[解析]由雷达图可知，甲的得分从小到大排列依次是8.8，9.1,9.3,9.5,9.5,9.7,9.9；乙的得分从小到大排列依次是8.5,8.9,9.4,9.6,9.6,9.8,10.甲得分的中位数为9.5，乙得分的中位数为9.6,9.5<9.6，故A错误；甲得分的众数为9.5，乙得分的众数9.6,9.5<9.6，故B错误；甲得分的平均数为eq\f(8.8＋9.1＋9.3＋9.5＋9.5＋9.7＋9.9,7)＝9.4，乙得分的平均数eq\f(8.5＋8.9＋9.4＋9.6＋9.6＋9.8＋10,7)＝9.4，平均数相等，故C正确；甲得分的极差为9.9－8.8＝1.1，乙得分的极差10－8.5＝1.5,1.1<1.5，故D正确．〔变式训练4〕(1)(多选题)(