2025届高考数学统考第二轮专题复习第17讲排列组合与二项式定理学案理含解析

PAGE第17讲排列、组合与二项式定理高考年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2024利用二项式定理求绽开式中项的系数·T8计数原理综合应用·T14利用二项式定理求绽开式中的常数项·T142024利用二项式定理求绽开式中项的系数·T42024组合的应用·T15利用二项式定理求绽开式中项的系数·T51.[2024·全国卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的绽开式中x3的系数为 ()A.12 B.16 C.20 D.242.[2024·全国卷Ⅰ]x+y2x(x+y)5的绽开式中x3y3的系数为 ()A.5 B.10 C.15 D.203.[2024·全国新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆支配1名,乙场馆支配2名,丙场馆支配3名,则不同的支配方法共有 ()A.120种 B.90种C.60种 D.30种4.[2024·全国卷Ⅱ]4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少支配1名同学,则不同的支配方法共有种.

5.[2024·全国卷Ⅰ]从2位女生、4位男生中选3人参与科技竞赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)

6.[2024·全国卷Ⅲ]x2+2x6的绽开式中常数项是(用数字作答).

排列、组合的基本问题1(1)甲、乙等4人排成一排,则甲、乙两人不相邻的排法种数为 ()A.24 B.12 C.6 D.4(2)为了加强“精准扶贫”,实现宏大复兴的“中国梦”,某高校派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参与A,B,C三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有 ()A.24种 B.36种C.48种 D.64种(3)支配3名志愿者完成5项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的支配方式共有 ()A.60种 B.90种C.150种 D.300种(4)为抗击某次疫情,我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组,则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有1人的选派方法种数是.

【规律提炼】对于有限制条件、特别条件的排列、组合应用题,要敏捷运用干脆法、特别元素优先法、捆绑法、插空法、定序法、间接法、隔板法等.对于“至少”或“至多”的问题必需非常重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与遗漏.用干脆法和间接法都可以求解,通常用干脆法求解而分类状况困难时,考虑逆向思维,用间接法求解.测题1.为抗击新冠病毒,某部门支配甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作须要,每地至少需支配一名专家,其中甲、乙两名专家必需支配在同一地工作,丙、丁两名专家不能支配在同一地工作,则不同的安排方法种数为 ()A.18 B.24 C.30 D.362.要排出高三某班一天中,语文、数学、英语各2节,自习课1节的功课表,其中上午5节课,下午2节课,若要求2节语文课必需相邻且2节数学课也必需相邻(留意:上午第五节和下午第一节不算相邻),则不同的排法种数是 ()A.84 B.54 C.42 D.183.已知整数数列{an}共5项,其中a1=1,a5=4,且对随意i∈N*且1≤i≤4,都有|ai+1-ai|≤2,则符合条件的数列个数为.

二项式定理及其应用2(1)x2+2x6的绽开式中的常数项为 ()A.240 B.480 C.448 D.228(2)(1-x)x+1x+24的绽开式中含x项的系数是 ()A.10 B.2 C.-14 D.34(3)已知(x2-x+a)(2x-1)5(a∈R)的绽开式中各项系数之和为-1,则绽开式中x的系数为.

(4)已知(x+a)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024(a>0),则绽开式中二项式系数最大的项是第项;若(a0+a2+…+a2024)2-(a1+a3+…+a2024)2=1,则a=.

【规律提炼】近几年高考试题中二项式定理的内容大多与绽开式的系数有关,常考点有利用通项求xn的系数、常数项、有理项(无理项)等,还有运用赋值法求项的系数和,求系数的最大项或最小项,总体难度不大.测题1.二项式x2-1xn绽开式中,只有第4项的二项式系数最大,则该绽开式的常数项是 ()A.-15 B.-20 C.15 D.202.在x·x-14x6的绽开式中,x52的系数为 (A.1532 B.1516 C.516 3.(1-x)2(1+y)5的绽开式中含xy2项的系数是.

4.若(2-x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a16(1+x)16+a17(1+x)17,则:①a0+a1+a2+…+a16=;

②a1+2a2+3a3+…+16a16=.

第17讲排列、组合与二项式定理真知真题扫描1.A[解析]因为(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4,所以绽开式中x3的系数为C43+2C42.C[解析]由题知绽开式中含x3y3的项为xC53x2y3+y2xC51x4y=15x3y3,所以x3y3.C[解析]甲场馆有C61种支配方法,乙场馆有C52种支配方法,丙场馆有C33种支配方法,总共有C614.36[解析]将4名同学按人数分为2,1,1三组,再全排列,则不同的支配方法共有C42A33=5.16[解析]方法一:分两种状况,即3人中1女2男的选法有C21C42种,3人中2女1男的选法有C22C41种.据分类加法计数原理知,方法二:从6人中任选3人有C63种选法,若3人均为男生有C43种选法,所以至少有1位女生入选的不同选法有C63-C6.240[解析]绽开式的通项为Tr+1=C6r(x2)6-r2xr=C6r2rx12-3r,令12-3r=0,得r=4,所以绽开式中的常数项为C64×24=6考点考法探究小题1例1(1)B(2)B(3)C(4)611[解析](1)方法一:先解除甲、乙外两人有A22种排法,再插空排甲、乙有A32种排法,故共有A22A32=方法二:4人排成一排,共有A44=24(种)排法,甲、乙两人相邻有A22A33=12(种)排法,因此甲、乙两人不相邻的排法种数为A4(2)当依据3∶1∶1进行安排时,有C31A33=18(种)不同的派遣方案;当依据2∶2∶1进行安排时,有C32A33=18(种(3)按每个人工作的项数,分成两种状况:第一种状况,项数为1,1,3,有C53·C21·C11A其次种状况,项数为2,2,1,有C52·C32·C11A故不同的支配方式共有150种.故选C.(4)选出1名呼吸内科医生、1名急诊重症科医生、3名护士的选派方法种数是C31×C41×选出1名呼吸内科医生、2名急诊重症科医生、2名护士的选派方法种数是C31×C42×选出2名呼吸内科医生、1名急诊重症科医生、2名护士的选派方法种数是C32×C41×选出2名呼吸内科医生、2名急诊重症科医生、1名护士的选派方法种数是C32×C42×选出1名呼吸内科医生、3名急诊重症科医生、1名护士的选派方法种数是C31×C43×选出3名呼吸内科医生、1名急诊重症科医生、1名护士的选派方法种数是C33×C41×选出的5人中没有护士的选派方法种数是C75=综上所述,选派方法种数为120+180+120+90+60+20+21=611.【自测题】1.C[解析]由甲、乙两名专家必需支配在同一地工作,可以将甲、乙两名专家看成一个整体,所以相当于只有四名专家.先计算四名专家中有两名在同一地工作的安排方法种数,即从四名专家中选两名作为一个整体和其余两名看成三个元素的全排列,有C42·A33种安排方法.又因为丙、丁两名专家不能支配在同一地工作,所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的安排方法种数A33,所以不同的安排方法种数有C42·A33-A2.C[解析]依据题意,分两种状况进行探讨:①语文课和数学课都支配在上午,要求2节语文课必需相邻且2节数学课也必需相邻,将2节语文课和2节数学课分别捆绑,然后在剩余3节课中选1节到上午,由于2节英语课不加以区分,因此排法种数为C31A②语文课和数学课一个支配在上午,一个支配在下午,2节语文课不加以区分,2节数学课不加以区分,2节英语课也不加以区分,因此排法种数为C21A综上所述,共有18+24=42(种)不同的排法.故选C.3.52[解析]因为a1=1,a5=4,所以设x1=a2-a1,x2=a3-a2,x3=a4-a3,x4=a5-a4,所以x1+x2+x3+x4=a5-a1=3,可设x1≤x2≤x3≤x4,因为ai+1-ai∈{-2,-1,0,1,2},所以x1,x2,x3,x4的全部可能组合为{-2,1,2,2},{-1,1,1,2},{-1,0,2,2},{0,0,1,2},{0,1,1,1},共五组,所以符合条件的数列个数为C42C21+C42C2小题2例2(1)A(2)C(3)-9(4)10112[解析](1)x2+2x6绽开式的通项为Tk+1=C6k(x2)6-k2xk=2kC6kx12-3k,令12-3k=0,解得k=4,可得常数项为T5=24C64=16×15=240(2)由题意得(1-x)x+1x+24=(1-x)x2+1+2xx4=(1-x)(又(x+1)8的绽开式的通项为Tr+1=C8rx8所以(x+1)8x4的绽开式中含x-(x+1)8x3的绽开式中含x的项为所以(1-x)x+1x+24的绽开式中含x项的系数是C83-C84=-14.(3)令x=1,可得(x2-x+a)(2x-1)5绽开式的各项系数之和为a·15=-1,∴a=-1,∴(x2-x+a)(2x-1)5=(x2-x-1)(2x-1)5=x2·(2x-1)5-x·(2x-1)5-(2x-1)5,故(x2-x-1)(2x-1)5绽开式中含x的项为(-x)·(-1)5-C54·2x·(-1)4=-9x.故绽开式中x的系数为-(4)由二项式系数的性质得,C20201010最大,所以绽开式中二项式系数最大的项是第1011令x=1,得(1+a)2024=a0+a1+a2+…+a2024,令x=-1,得(-1+a)2024=a0-a1+a2-a3+…+a2024,而(a0+a2+…+a2024)2-(a1+a3+…+a2024)2=(a0+a1+a2+…+a2024)(a0-a1+a2-a3+…+a2024)=(1+a)2024(-1+a)2024=[(1+a)(-1+a)]2024=(a2-1)2024=1,解得a=2.【自测题】1.C[解析]因为二项绽开式中只有第4项的二项式系数最大,所以n=6,所以绽开式的通项为Tk+1=C6k(x2)6-k-1xk=(-1)kC6kx12-令12-3k=0得k=4,所以绽开式中的常数项是(-1)4C64=15.故选2.B[解析]由题意可知,要求x52的系数,只需求x-14x6的绽开式中x2因为x-14x6绽开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-14xr=C6r-14rx6-所以当r=2时,T3=C62-142x2=1516x2,故x53.-20[解析](1-x)2的绽开式中含x项的系数为-2.(1+y)5的绽开式中含y2项的系数为C5故(1-x)2(1+y)5的绽开式中含xy2项的系数是-20.4.①217+1②17(1-216)[解析]①(2-x)17=[3-(1+x)]17的绽开式的通项为Tr+1=C17r·317-r·(-1)r·(1+x)由T18=C1717[-(1+x)]17=-(1+x)17,可得a17=-令1+x=1,即x=0,可得a0+a1+a2+