2024-2025学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.4.3第1课时余弦定理巩固练习含解析新人教A版必修第二册

6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课后训练巩固提升一、A组1.在△ABC中,已知a=23,b=9,C=150°,则c=()A.73 B.83 C.39 D.102 解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=12+81-2×23×9×-32=故c=147=73.答案:A2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2acosB=c,则△ABC的形态肯定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析:由余弦定理及2acosB=c得2a·a2+∴a2-b2=0,∴a=b.∴△ABC为等腰三角形.答案:C3.在△ABC中,已知a=2,则bcosC+ccosB等于()A.1 B.2 C.2 D.4解析:bcosC+ccosB=b·a2+b2-c答案:C4.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA=(A.31010 BC.-1010 D.-解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,由题意得BD=AD=13BC故CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,由余弦定理得cos∠BAC=A答案:C5.在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=3,则AB等于.

解析:在△ABC中,∵A=60°,AC=2,BC=3,设AB=x,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,化简得x2-2x+1=0,∴x=1,即AB=1.答案:16.在△ABC中,若a=b=1,c=3,则C=.

解析:由余弦定理,得cosC=a2+b∵C∈(0°,180°),∴C=120°.答案:120°7.在△ABC中,若b=1,c=3,A=π6,则a=,sinB=.解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=12+(3)2-2×1×3cosπ6=1,所以a=1所以a=b.所以A=B=π6所以sinB=12答案:118.在△ABC中,已知cos2A2=b+c2c解:在△ABC中,由已知cos2A2得1+cosA2=b+c依据余弦定理,得b2∴b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.9.已知在△ABC中,a∶b∶c=2∶6∶(3+1),求△ABC各角的度数.解:∵a∶b∶c=2∶6∶(3+1),∴令a=2k,b=6k,c=(3+1)k(k>0).由余弦定理有cosA=b2∵0<A<π,∴A=45°.cosB=a2∵0<B<π,∴B=60°.∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.∴A=45°,B=60°,C=75°.二、B组1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,且c=2a,则cosB等于()A.14 B.34 C.24解析:b2=ac,且c=2a,由余弦定理得cosB=a2答案:B2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则b等于()A.5 B.6 C.7 D.8解析:由题意可设a=b+1,c=b-1.∵3b=20a·cosA,∴3b=20(b+1)·b2整理得7b2-27b-40=0,解得b=5.答案:A3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的大小为()A.π6 B.πC.π6或5解析:∵(a2+c2-b2)tanB=3ac,∴a2+c2即cosBtanB=32,sinB=32,B=π3或答案:D4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若cosA=12,b+c=2a,则△ABC的形态为.解析:由余弦定理及cosA=12∴b2+c2-a2=bc.∵b+c=2a,∴a=b+∴b2+c2-b+c22=bc,即(b-c∴b=c,于是a=b=c.∴△ABC为等边三角形.答案:等边三角形5.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为.

解析:由余弦定理和已知条件,得cosA=AB设AC边上的中线长为x,由余弦定理,得x2=AC22+AB2-2·AC2·ABcosA=42+92-2×4×9×23=49,答案:76.在△ABC中,a+b=10,cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根,则△ABC的周长的最小值为.

解析:∵cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根,解方程得x=-12或x=2(不合题意,舍去)∴cosC=-12∴C=120°.又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=100-ab=100-a(10-a)=(a-5)2+75.当a=5时,c取最小值53,∴△ABC的周长的最小值为10+53.答案:10+537.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,4sin2B+C2-cos2(1)求角A的度数;(2)若a=3,b+c=3,求b和c的值.解:(1)由4sin2B+C2-cos2A=72及A+B+C=180°,得2[1-cos(B+C)]-2cos2A+整理得4(1+cosA)-4cos2A=5,即4cos2A-4cosA+1=0,故(2cosA-1)2=0,解得cosA=12∵0°<A<180°,∴A=60°.(2)由余弦定理,得cosA=b2∵cosA=12,∴b化简并整理,得(b+c)2-a2=3bc,∴32-(3)2=3bc,即bc=2.则由b+c8.已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(sinB,1-cosB)与向量n=(2,0)的夹角θ的余弦值为12(1)求角B的大小;(2)若b=3,求a+c的取值范围.解:(1)∵m=(sinB,1-cosB),n=(2,0),∴m·n=2sinB.又|m|=si=2-2cosB=∵0<B<π,∴0<B2<π2,∴∴|m|=2sinB2而|n|=2,∴cosθ=m·n|