2024-2025学年高中数学第四章复数4.1.2定积分课时素养评价含解析北师大版选修2-2

PAGE课时素养评价十八定积分(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.定积分QUOTE(-3)dx等于()A.-6 B.6 C.-3 D.3【解析】选A.由定积分的几何意义可知QUOTE(-3)dx表示由x=1，x=3，y=0及y=-3所围成的矩形面积的相反数，故QUOTE(-3)dx=-6.【加练·固】已知QUOTExdx=2，则QUOTExdx等于()A.0 B.2 C.-1 D.-2【解析】选D.可以依据定积分的几何意义进行推断.2.下列结论不正确的是()A.若f(x)是连续的奇函数，则QUOTEf(x)dx=0B.若f(x)是连续的偶函数，则QUOTEf(x)dx=2QUOTEf(x)dxC.若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则QUOTEf(x)dx>0D.若f(x)在[a，b)上连续且QUOTEf(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正【解析】选D.对于A，因为f(x)是奇函数，所以图像关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，A正确；对于B，因为f(x)是偶函数，所以图像关于y轴对称，B正确；C明显正确；对于D，f(x)可以小于0，但必需有大于0的部分，且f(x)>0的曲线与x轴围成的面积比f(x)<0的曲线与x轴围成的面积大，D不正确.3.下列等式不成立的是()A.QUOTE[mf(x)+ng(x)]dx=mQUOTEf(x)dx+nQUOTEg(x)dxB.QUOTE[f(x)+1]dx=QUOTEf(x)dx+b-aC.QUOTEf(x)g(x)dx=QUOTEf(x)dx·QUOTEg(x)dxD.QUOTEsinxdx=QUOTEsinxdx+QUOTEsinxdx【解析】选C.利用定积分的性质可推断A，B，D成立，C不成立.4.定积分QUOTEdx的值为()A.QUOTE B.9π C.18π D.QUOTE【解析】选A.因为QUOTEdx表示圆x2+y2=9的面积的一半，所以QUOTEdx=QUOTE×π×32=QUOTE.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知定积分QUOTEf(x)dx=8，且f(x)是偶函数，则QUOTEf(x)dx的值为_________.

【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，所以QUOTEf(x)dx=QUOTEf(x)dx，所以QUOTEf(x)dx=2QUOTEf(x)dx=16.答案：166.若QUOTEcosxdx=1，则由x=0，x=π，f(x)=sinx及x轴围成的图形的面积为_________.

【解析】由正弦函数与余弦函数的图像知：f(x)=sinx，x∈[0，π]的图像与x轴围成的图形的面积等于g(x)=cosx，x∈[0，QUOTE]的图像与x轴围成的图形的面积的2倍，所以答案为2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7.利用定积分的几何意义求下列定积分.(1)QUOTEdx.(2)QUOTE(x3+3x)dx.【解题指南】对于(1)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(2)可依据被积函数的奇偶性求解.【解析】(1)被积函数的图像是一个以原点为圆心，以R为半径的半圆，如图所示，所以QUOTEdx=QUOTE·πR2=QUOTE.(2)因为y=x3+3x在区间[-1，1]上为奇函数，图像关于原点对称，所以曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等.由定积分的几何意义知QUOTE(x3+3x)dx=0.8.利用定积分的几何意义证明下列等式成立.(1)QUOTEcosxdx=2QUOTEcosxdx.(2)QUOTEsinxdx=0.【证明】(1)函数y=cosx，x∈QUOTE是偶函数，所以曲线y=cosx，x∈QUOTE与x轴围成图形的面积S1等于曲线y=cosx，x∈QUOTE与x轴围成图形的面积S2，于是由定积分的几何意义，有QUOTEcosxdx=S1+S2=2S2=2QUOTEcosxdx.(2)函数y=sinx，x∈[-π，π]是奇函数，设曲线y=sinx，x∈[-π，0]与x轴围成图形的面积为S1，设曲线y=sinx，x∈[0，π]与x轴围成图形的面积为S2，易知S1=S2，从而由定积分的几何意义，有QUOTEsinxdx=-S1+S2=0.(15分钟·30分)1.(5分)与定积分QUOTE|cosx|dx相等的是()A.QUOTEB.QUOTEcosxdxC.QUOTEcosxdx-QUOTEcosxdxD.QUOTEcosxdx-QUOTEcosxdx【解析】选D.因为被积函数f(x)=|cosx|=所以QUOTE|cosx|dx=QUOTEcosxdx+QUOTE(-cosx)dx=QUOTEcosxdx-QUOTEcosxdx.2.(5分)由曲线y=ex和x=0，y=2围成图形的面积S表示为()A.QUOTEexdx B.2ln2-QUOTEexdxC.QUOTE(2+ex)dx D.以上都不对【解析】选B.如图所示，可先求得由x轴，x=0，x=ln2和y=ex围成的曲边梯形的面积Ⅰ即为QUOTEexdx，再由矩形面积2ln2减去该曲边梯形面积可得所求面积S.3.(5分)QUOTEdx=_________.

【解题指南】干脆求解不简单，就应当考虑特别图形，比如本题的图形就是圆的一部分.【解析】QUOTEdx表示圆(x-3)2+y2=1的四分之一的面积，如图阴影所示，面积S=QUOTEπ×12=QUOTE，即QUOTEdx=QUOTE.答案：QUOTE4.(5分)已知QUOTEx2dx=QUOTE，QUOTEx2dx=QUOTE，则QUOTEdx=_________.

【解析】因为QUOTEx2dx=QUOTEx2dx+QUOTEx2dx=QUOTE+QUOTE=QUOTE，QUOTE1dx=2，所以QUOTEdx=QUOTEx2dx+QUOTE1dx=QUOTE+2=QUOTE.答案：QUOTE5.(10分)用定积分表示抛物线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积.【解析】解方程组QUOTE得交点的横坐标为x=0和x=3.如图，由y=x2-2x+3，x=0，x=3和y=0围成的曲边梯形的面积为QUOTE(x2-2x+3)dx，由y=x+3，x=0，x=3和y=0围成的梯形的面积为QUOTE(x+3)dx，所以所求图形(阴影)的面积为QUOTE(x+3)dx-QUOTE(x2-2x+3)dx=QUOTE(-x2+3x)dx.1.若QUOTEdx=QUOTE，则m=_________.

【解析】依据定积分的几何意义QUOTEdx表示圆(x+1)2+y2=1和直线x=-2，x=m和y=0围成的图形的面积，又QUOTEdx=QUOTE，为四分之一圆的面积，结合图形知m=-1.答案：-12.计算QUOTEdx.【解析】由y=QUOTE可知，x2+y2=1(y≥0)图像如图，由定积分的几何意义知QUOTEdx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABC