湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期10月月考 数学试题含答案

湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（

）A． B．C． D．3．已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表：分层样本量样本平均数第一层1055第二层3075第三层1090估计总体平均数为（

）A．73 B．74 C．76 D．804．设，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．6．如图，在异面直线上分别取点和，使，且，若，则线段的长为（

）

A． B． C． D．7．已知圆台的上､下底面圆周上的点都在同一个球面上，且圆台的上､下底面半径分别为1，3，高为4，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．8．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在三棱锥中，分别是棱的中点，是和的交点，则（

）A．四边形是平行四边形B．平面C．三棱锥的体积小于三棱锥的体积D．10．已知圆与圆相交于两点（点在第一象限），则（

）A．直线的方程是B．四点不共圆C．圆的过点的切线方程为D．11．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（

）A． B．为定值C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线在轴上的截距为1，则.13．从集合中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则得到的对数值为整数的概率是.14．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线的方程为，直线经过点和.(1)若，求的值；(2)若当变化时，总过定点，求.16．已知函数在区间上单调递减且，(1)求的解析式；(2)求使成立的的取值范围.17．已知的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)若的面积为，求.18．如图，在三棱锥中，分别是棱，上的动点（不含端点），且.(1)证明：平面平面.(2)设，则当为何值时，的长度最小？(3)当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值.19．已知圆，点关于直线的对称点为.(1)求的方程；(2)讨论与圆的位置关系；(3)若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值.

参考答案1．【答案】D【详解】由可得，故对应的点为，位于第四象限，故选：D2．【答案】A【详解】由方向向量得，又因为，所以.故选：A.3．【答案】B【详解】依题意，估计总体平均数为.故选：B4．【答案】A【详解】因为直线，当时，，此时，即可以推出，当时，，解得或，又时，，此时，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.5．【答案】C【详解】点为直线上任意一点，又的几何意义为直线上的点到的距离，故最小值为到直线的距离，即最小值为故选：C．6．【答案】C【详解】如图，过作，过作于，连接，因为，所以，又，，面，所以面，又面，所以，又易知，所以，又，所以，在中，，所以，在中，，，所以，又，所以，

故选：C.7．【答案】D【详解】如图：设，则∵圆台的上､下底面圆周上的点都在同一个球面上∴解得则∴表面积：故选：D8．【答案】D【详解】如图连接,则由题可知，∴，，，∴，在中,,,在中,故选：D.9．【答案】ABD【详解】对于A中，在三棱锥中，分别是棱的中点，可得且，所以，所以四边形是平行四边形，所以A正确；对于B中，在中，因为分别为的中点，可得，又因为平面，平面，所以平面，所以B正确；对于C中，设点到平面的距离为，因为为的中点，可得，又因为平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离也为，因为，，又因为分别为的中点，可得，所以，所以，所以三棱锥的体积等于的体积，所以C错误；对于D中，因为四边形是平行四边形，可得，因为，所以，则，所以D正确.故选：ABD.10．【答案】AC【详解】对于选项A，因为圆与圆，两圆方程相减得到，即直线的方程是，所以选项A正确，对于选项B，由和，解得或，即，，又，所以中点为，则，又，所以到四点距离相等，即四共圆，所以选项B错误，对于选项C，由选项B知，所以，得到圆的过点的切线方程为，整理得到，所以选项C正确，对于选项D，因为，，在中，由余弦定理得，所以选项D错误，故选：AC.11．【答案】ABC【详解】∵，则，则关于直线对称，∵为奇函数，则，即，则，故A选项正确；∵，∴关于点对称，即，由可得，则，即，则，可知4为函数的周期，∴为定值，故B选项正确；，故C选项正确；，故D选项错误；故选：ABC12．【答案】【详解】因为直线，令，得到，由题有，解得，故答案为：.13．【答案】【详解】从集合中任取2个不同的数共有种取法；作为一个对数的底数和真数，则得到的对数值为整数的情况有：，共2种，∴概率故答案为：14．【答案】9【详解】令，则．由题意可得圆是关于点，的阿波罗尼斯圆，且，设点坐标为，则，整理得，由题意得该圆的方程为，即所以，解得，所以点的坐标为，所以，当时，此时最小，最小值为，因此当时，的值最小为，故答案为：9

15．【答案】(1)或.(2)【详解】（1）直线经过点和,所以，所以直线的斜率为，因为直线的斜率为，,所以,解得或.（2）直线的方程为可以改写为,由，解得，所以总过定点,根据两点间的距离公式,16．【答案】(1)(2)【详解】（1）在区间上单调递减，且，∴fx的最小正周期，解得.，由“五点法”可知..（2）由（1）可知，，，解得，的取值范围是.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得到，又，，得到，即，所以，得到，又，所以，所以，解得.（2）因为，由（1）知，所以，由正弦定理，得到，又，所以，又的面积为，所以，整理得到，解得.18．【答案】(1)证明见解析(2)时，的长度最小(3)【详解】（1）由于又平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）作交于，连接，由于平面，故平面，平面，故，，故，，故又易知是等腰直角三角形，由余弦定理可得，故，故当时，此时的最小值为.（3）由于，故，以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴，以过点垂直与平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当时，分别为的中点，则，，所以，设平面的法向量为，则，即，取，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量为，设平面与平面的所成角为，则，故平面与平面的所成角的余弦值为.19．【答案】(1)(2)答案见解析(3).【详解】（1）点关于直线的对称点为，且线段的中点坐标为，解得的方程为.（2）圆的方程可变形为，则圆心的坐标为，且，解得或，圆的