2024-2025学年高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课时跟踪训练含解析新人教A版必修1

PAGE方程的根与函数的零点[A组学业达标]1．函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)的零点的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，但此函数在定义域内的图象不连续，所以函数没有零点，故选A.答案：A2．函数f(x)＝x＋lnx的零点所在的区间为()A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(1，e)解析：法一：因为x>0，所以A错．又因为f(x)＝x＋lnx在(0，＋∞)上为增函数，f(1)＝1>0，所以f(x)＝x＋lnx在(1,2)，(1，e)上均有f(x)>0，故C、D错．法二：取x＝eq\f(1,e)∈(0,1)，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,e)－1<0，f(1)＝1>0，所以f(x)＝x＋lnx的零点所在的区间为(0,1)．答案：B3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则()A．方程f(x)＝0肯定有实数解B．方程f(x)＝0肯定无实数解C．方程f(x)＝0肯定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解解析：∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．答案：D4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是()A．a<α<b<β B．a<α<β<bC．α<a<b<β D．α<a<β<b解析：∵α，β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0.又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a，b必在α，β之间．故选C.答案：C5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上的零点()A．至多有一个 B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．一个也没有解析：若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知冲突．故选C.答案：C6．函数f(x)＝2－eq\r(4－x2)(x∈[－1,1])的零点个数为__________．解析：令2－eq\r(4－x2)＝0解得x＝0，所以函数仅有一个零点．答案：17．二次函数y＝x2－2ax＋a－1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a的取值范围是__________．解析：由函数的二次项系数大于0可得函数图象开口向上，要满意一个零点大于1，一个零点小于1，只需f(1)<0即可．答案：a>08．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解析：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．由图可知，两个函数有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．9．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.(1)当m为何值时，函数有两个零点，一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．解析：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜eq\f(4,3).由Δ＝0，可解得m＝eq\f(4,3)；由Δ＜0，可解得m＞eq\f(4,3).故当m＜eq\f(4,3)时，函数有两个零点；当m＝eq\f(4,3)时，函数有一个零点；当m＞eq\f(4,3)时，函数无零点．(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.[B组实力提升]1．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1009个，则f(x)的零点的个数为()A．1007 B．1008C．2018 D．2019解析：∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1009个零点，∴在(－∞，0)上也有1009个零点，又∵f(0)＝0，∴共有2018＋1＝2019个．答案：D2．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0))的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0))有2个零点．答案：C3．方程lnx＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝__________.解析：令f(x)＝lnx＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵f(3)＝ln3－2<0，f(4)＝ln4>0，∴零点在(3,4)上，∴k＝3.答案：34．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a2－16≥0，,f1＝5－2a>0，,a>1，))解得2≤a＜eq\f(5,2)，即a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>eq\f(5,2)，即a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)).(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al