2025届高考数学二轮复习第二部分专题四第1讲文科专题训练16概率含解析新人教版

PAGE其次部分专题四第1讲(文科)专题训练十六概率一、选择题1．(2024·安庆模拟)在1,2,3,4中随机选出一个数a，在－1，－2，－3，－4中随机选出一个数b，则a2＋b2被3整除的概率为(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,16) D．eq\f(1,8)【解析】在1,2,3,4中随机选出一个数a，在－1，－2，－3，－4中随机选出一个数b，基本领件总数n＝4×4＝16，a2＋b2被3整除包含的基本领件(a，b)有(3，－3)，只有一个，则a2＋b2被3整除的概率为P＝eq\f(1,16).故选C．2．(2024·葫芦岛二模)已知曲线C：x2＋y2＝2(x·y≥0)，曲线C与坐标轴围成封闭图形M以及函数y＝x3的部分图象如图所示，若向M内随意投掷一点，则该点落入阴影部分的概率为(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,8)【解析】如图，由对称性可知，两阴影部分的面积和为四分之一圆的面积，由测度比为面积比，向M内随意投掷一点，则该点落入阴影部分的概率为：eq\f(\f(1,4)S圆,\f(1,2)S圆)＝eq\f(1,2).故选A．3．(2024四川省绵阳市二诊)甲、乙、丙三位客人在参与中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间，安排到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为(B)A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)【解析】两景点用1,2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1，甲1乙1丙2，甲1乙2丙1，甲2乙1丙1，甲2乙2丙1，甲2乙1丙2，甲1乙2丙2，甲2乙2丙2共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1和甲2乙2丙2两种，所以概率为P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).故选B．4．(2024·衡阳模拟)已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点则该点到菱形的顶点距离都大于1的概率是(D)B．eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C．eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)【解析】P＝eq\f(4×4×sin150°－π×12,4×4×sin150°)＝1－eq\f(π,8)，故选D．5．(2024·内江三模)某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区C，则他不经过市中心O的概率是(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)【解析】此人从小区A前往C的全部最短路径为：A→G→B→F→C，A→G→O→F→C，A→G→O→H→C，A→E→O→F→C，A→E→O→H→C，A→E→D→H→C，共6条．记“此人不经过市中心O”为事务M，则M包含的基本领件为：A→G→B→F→C，A→E→D→H→C，共2条．∴P(M)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，即他不经过市中心的概率为eq\f(1,3).故选A．6．刘徽是一个宏大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国珍贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到随意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是(B)A．eq\f(3\r(3),4π) B．eq\f(3\r(3),2π)C．eq\f(1,2π) D．eq\f(1,4π)【解析】如题图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P＝eq\f(S六边形,S圆)＝eq\f(\f(\r(3),4)×12×6,π×12)＝eq\f(3\r(3),2π).7．(2024·成都期末)在[0，π]上随机取一数x，使－eq\f(\r(3),2)≤cosx≤eq\f(\r(3),2)的概率为(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,8) D．eq\f(5,8)【解析】满意cosx∈[－eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)]的区间长度为eq\f(5,6)π－eq\f(π,6)＝eq\f(2,3)π，则P＝eq\f(\f(2,3)π,π－0)＝eq\f(2,3)，选B．8．(2024·四川模拟)以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发觉．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(阴影部分)，若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为(C)A．eq\f(π－\r(3),2) B．eq\f(2\r(3)π－3,9)C．eq\f(\r(3)π－3,6) D．eq\f(\r(3)π－2,6)【解析】设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是eq\f(π×12,6)＝eq\f(π,6)△DEF的面积是eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(\r(3),4)))＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(π－\r(3),2)，△ABC面积为eq\r(3)，所求概率P＝eq\f(π－\r(3),2\r(3))＝eq\f(\r(3)π－3,6).故选C．二、填空题9．(2024·全国三模)随着国内疫情形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参与抽奖，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和其次次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是__eq\f(1,10)__.【解析】设2个红球分别为A，B,3个白球分别为a，b，c，不放回地依次摸出2个球，基本领件总数有10个，分别为：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，第一次和其次次均摸到红球包含的基本领件只有(A，B)，则顾客获得特等奖的概率是P＝eq\f(1,10).10．(2024·新疆二模)点P是△ABC内部随意一点，则△PAB的面积小于△ABC面积一半的概率为__eq\f(3,4)__.【解析】设D，E分别为CB，AC的中点，由题意可知，△PAB的面积小于△ABC面积一半P，∴P到BA的距离小于C到BA的距离的一半，P所在的区域为如图DE下方所示的阴影部分，∵S△ADE＝eq\f(1,4)S△ABC，则P＝eq\f(3,4)11．(2024·鄂南一中模拟)在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝45°，边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率为__eq\f(\r(3),3)__.【解析】设BC＝a，则P＝eq\f(\f(\r(3),3)a,a)＝eq\f(\r(3),3).12．(2024·乐山模拟)七巧板是我国古代劳动人民的独创之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中随意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为__eq\f(3,8)__.【解析】设拼成的正方形的面积为1，由图知，最大的三角形面积为eq\f(1,4)，最小的三角形面积为eq\f(1,16)，平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍，由此可得阴影部分的面积为eq\f(3,8)，则所求的概率为eq\f(3,8).三、解答题13．(2024·和平区校级期末)某校参与夏令营的同学有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其所属年级状况如表：高一年级高二年级高三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参与学问竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母写出这个试验的样本空间；(2)设M为事务“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事务M的样本点，并求事务M发生的概率．【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).14．(2024·贵阳适应性考试)PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解A市空气质量状况，从2024年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示．将PM2.5值划分成区间[0,100)、[100,150)、[150,200)、[200,250]，分别称为一级、二级、三级和四级，统计时用频率估计概率．(1)依据2024年的数据估计该市在2024年中空气质量为一级的天数；(2)依据分层抽样的方法，从样本二级、三级、四级中抽取6天的PM2.5数据，再从这6个数据中随机抽取2个，求仅有二级天气的概率．【解析】(1)由样本空气质量PM2.5的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表：PM2.5值[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250]频率0.1250.1250.3750.250.125由上表可知，假如A市维持现状不变，那么该市2024年的某一天空气质量为一级的概率为0.25，因此在365天中空气质量为一级的天数约有365×0.25≈91(天)．(2)在样本中，依据分层抽样的方法抽取6天的PM2.5值数据，则这6个数据中二级、三级、四级天气的数据分别有3个、2个、1个．分别记为A1，A2，A3，B1，B2，C，从这6个数据中随机抽取2个，基本领件为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C}，{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共15个基本领件，事务A＝“仅有二级天气”包含{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}3个基本领件，故所求概率为P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).15．(2024·南宁一模)某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄(在10岁到69岁之间)进行了调查，统计状况如下表所示.年龄[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)人数100150a200b50已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列．(1)求a，b的值；(2)若将年龄在[30,50)内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”．现采纳分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．【解析】(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝500,ab＝40000,a>b))，解得a＝400，b＝100．(2)由题意可