河南省郑州市2025届高三上学期调研考试（五）数学试卷含答案

河南省郑州市2025届高三上学期调研考试（五）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知复数是实数，则（

）A． B． C． D．23．设，为非零向量，则“”是“与共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，则（

）A． B．C． D．5．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．定义在上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（

）A． B． C． D．8．已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则（

）A．B．C．与向量平行的单位向量为D．向量在向量上的投影向量为10．已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，则下列说法不正确的是（

）A．在区间上至多有3条对称轴B．的取值范围是C．在区间上单调递增D．的最小正周期可能为11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A．若点满足，则动点的轨迹长度为B．三棱锥体积的最大值为C．当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知函数是偶函数，则．13．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为.14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知公差不为0的等差数列的前项和为．(1)求的通项公式；(2)令，记为数列的前项和，求16．已知函数的最小正周期为.(1)求的值及函数的对称中心；(2)设，若对任意的都有，求实数的取值范围.17．“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目.某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.(1)若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；(2)设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围.18．已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围.19．若函数的定义域为，有，使且，称函数为恒切函数．(1)判断函数是否为恒切函数，并说明理由；(2)若函数为恒切函数．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：．（参考数据：）

参考答案1．【答案】D【详解】，，∴.故选：D2．【答案】D【分析】根据复数的四则运算法则计算得到，再根据实数的定义求解即可.【详解】因为是实数，所以，即.故选D.【思路导引】根据复数运算法则及分母有理化得到，根据实数的定义得到，即可计算出结果.3．【答案】A【解析】由化简得出，从而得出与共线，当与共线时，，，不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断.【详解】当时，，化简得，即，，即与共线当与共线时，则存在唯一实数，使得，，与不一定相等，即不一定相等故“”是“与共线”的充分不必要条件故选：A4．【答案】B【详解】因为，故，则，而，故，故，故选：B5．【答案】D【解析】先判断是奇函数且在上为增函数，所以由可得，由当时，得，构造函数，，然后分，和三种情况求解即可【详解】解：的定义域为，因为，所以为奇函数，因为函数在上均为增函数，所以在上为增函数，所以在上为增函数，由得，所以，所以，即，当时，，令，当时，，舍去，当时，对称轴为，当时，即，则有，解得，所以，当时，即，有，得，所以，当时，即，有，得，所以，综上，，故选：D6．【答案】C【分析】由是奇函数，可得是偶函数，得到，令，得到，得出在上单调递增，再由，求得的周期为的周期函数，根据，得到，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解.【详解】因为是奇函数，可得是偶函数，又因为，所以，令，可得，所以在上单调递增，因为且是奇函数，可得，则，所以的周期为的周期函数，因为，所以，则不等式，即为，即，又因为在上单调递增，所以，解得，所以不等式的解集为．故选C．7．【答案】B【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得的关系，消除再利用基本不等式求解最小值可得.【详解】设，.由已知，在单调递增，当时，；当时，.由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；由题意，则当时，；当时，.所以是方程的根，则，即，且a>0，所以，当且仅当，即时等号成立.则的最小值是.故选B.8．【答案】D【分析】连接，根据已知可得，且，从而可得动点的轨迹为圆，由圆心到直线的距离可解.【详解】如图，连接，由，是圆上的两个动点，且，得，又，则，可得，所以，所以动点的轨迹方程为，则圆心到直线的距离为，所以的最小值为.故选D.【思路导引】结合题目条件可得，，从而得到动点的轨迹方程，再结合点到直线的距离即可计算出结果.9．【答案】ABD【详解】由题意，A正确；，，B正确；与平行的单位向量有两个，它们是相反向量，C错；，向量在向量上的投影向量与同向，，而，所以向量在向量上的投影向量为，D正确．故选：ABD．10．【答案】ABD【详解】由，得，因为函数在区间上有且仅有3个对称中心，所以，解得，所以，所以，，故选项B，D不正确；当，即时，函数有3条对称轴，当，即时，函数有4条对称轴，所以函数在区间上至少有3条对称轴，故选项A错误；当，时，，因为，所以，所以函数在区间上单调递增，故C正确．故选：ABD.11．【答案】CD【解析】对，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为，故错误；对，因为，而的面积为定值，要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面距离最大，易知，点是正方体意向到平面距离最大的点，错误；对C，连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示，当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，又，弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；对D，取的中点分别为，连接，如图2所示，因为平面平面，故平面，，平面平面，故平面；又平面，故平面平面；又，故平面与平面是同一个平面.则点的轨迹为线段.在三角形中，则，故三角形是以为直角的直角三角形；故，即长度的最大值为，故正确.故选.12．【答案】2【分析】求出f(x)定义域，根据f(x)是偶函数，可取定义域内任意x，根据f(-x)=f(x)即可求得m的值．【详解】由得的定义域为，则∵是偶函数，故f(-1)=f(1)，即，解得m=2．此时，而，故确为偶函数，故m=2．故答案为：2．13．【答案】【详解】由已知，即，又在中，，，则，，即，所以，即，又，所以，所以，则，即，又点在线段上，则，即，且，，所以，当且仅当，即，时等号成立，故答案为：.14．【答案】【详解】因为，，且为中点，所以，且，，因为，所以，解得，直线的方程为，所以，则，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以双曲线的标准方程为.故答案为：.

15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，解得，所以；（2）由（1）得，所以．16．【答案】(1)，对称中心为(2)【详解】（1），因为的最小正周期为，所以，故.所以，令，解得.所以的对称中心为.（2）因为对任意的都有，所以.因为，令，当时，，得函数.则；当时，，则，所以，即即解得，故实数的取值范围是.17．【答案】(1)分布列见详解，；(2).【分析】（1）根据题意，得到的所有可能取值为2，3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；（2）分别求，结合，运算求解即可.【详解】（1）因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3，，，的分布列为23所以.（2）由题意知，，由，得，且，则，可得，整理得，解得，所以的取值范围为.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，可设椭圆的方程为.由得，又因为，所以，则，因为椭圆经过点，代入上述方程解得，则，所以椭圆的方程为.（2）

由（1）可知：，当斜率不存在时，若点与重合，与重合.此时.若点与重合，与重合，则.当直线斜率存在时，设直线，联立得消去可得，显然，则，可得，整理可得，因为，可得，令，则，解得，即，所以.综上，的取值范围为.19．【答案】(1)是恒切函数，理由见详解；(2)（i）；（ii）证明见详解；【详解】（1）设函数为恒切函数，则有，使且，即，解得，故函数是恒切函数.（2）（i）由函数为恒切函数可知，存在，使得且，即解得，