江苏省启东市2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

江苏省启东市2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．经过点，斜率为的直线方程为（

）A． B．C． D．2．已知平面经过点，且法向量为是平面内任意一点，则（

）A． B．C． D．3．设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（

）A． B．C． D．4．已知是互相垂直的单位向量，若直线和的方向向量分别为，则和所成的角的余弦值为（

）A．0 B． C． D．5．已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为2，则的面积为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．若平面截圆柱得到一个离心率为椭圆，则平面与该圆柱底面的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．已知曲线，将曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线；将曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线．则曲线与的一个公共点坐标为（

）A． B．C． D．8．在四面体中，平面，，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．设椭圆的两个焦点分别为，是上一点（除去与轴的交点），则（

）A．周长为定值 B．的最大值为3C．恒为锐角 D．直线与圆相交11．过点的直线与圆相切，切点分别为，则（

）A．当时， B．存在，使得C．直线经过点 D．直线与直线的交点在定圆上三、填空题（本大题共3小题）12．已知，写出平面的一个法向量.13．若两条直线与平行，则实数的值为．14．在平面直角坐标系中，定义为Ax1,y1,Bx2,y2两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，为侧面的中心，记，(1)以为基底表示向量；(2)已知，，若，求长．16．在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点．(1)若，求直线的方程；(2)若点在直线上，求的最小值．17．如图，都是椭圆的顶点，从上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且．

(1)求的离心率；(2)若的面积比的面积大，求的方程．18．如图，四边形是矩形，平面，平面，，．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)是棱上一点，且到平面的距离为1，求直线与平面所成角正弦值．19．已知圆．(1)求过点且与圆相切的直线的方程；(2)若点是圆上两点，①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程；②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点．

参考答案1．【答案】A【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.故选：A.2．【答案】D【详解】依题意，，而平面的法向量为，因此，即.故选：D.3．【答案】B【详解】由方程表示圆，得，圆的圆心为，又此圆关于直线对称，则，即，因此，解得或，所以的取值范围为.故选：B.4．【答案】C【详解】设和所成的角为，则.故选：C.5．【答案】B【详解】设，则，，显然点不在直线上，则边上的高，所以的面积.故选：B.6．【答案】A【详解】设圆柱的底面圆直径为2，则平面截圆柱所得椭圆的短轴长，而椭圆的离心率为，令椭圆长半轴长，由，得，又过椭圆长轴及圆柱下底面圆直径的轴截面图形如图中直角梯形，其中是圆柱下底面圆直径，是椭圆长轴，，过作于，则等于平面与该圆柱底面的夹角，，所以平面与该圆柱底面的夹角的余弦值为.故选：A7．【答案】C【详解】设曲线上任意点，则点在曲线上，于是得曲线：，同理得曲线：，由，解得，因此曲线与的公共点坐标为.故选：C8．【答案】A【详解】设，，则，则，由②③可得代入①得，∵，∴，∴，∵平面，∴则直线与平面所成角为.∴故选：A9．【答案】ABD【详解】对于A，由，得，则，解得，A正确；对于B，由，得，则，解得，B正确；对于C，由，得，，，则或，C错误；对于D，由，得，，，则，D正确.故选：ABD10．【答案】AC【详解】对A：由椭圆定义可知，又，故周长为，故A正确；对B：由，则，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故B错误；对C：，当且仅当时，等号成立，故恒为正，即恒为锐角，故C正确；对D：圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，由是上一点（除去与轴的交点），故有且，则，即，则，即，故直线与圆相离，故D错误.故选：AC.11．【答案】ACD【详解】A.当，点是原点，如图，，，则，则，根据对称性可知，，所以是等边三角形，即，故A正确；B.，因为，所以，即，则，,所以不存在，使得，故B错误；C.，，所以以点为圆心，以为半径的圆为，与圆相减得，恒过点12,0，故C正确；D.直线的斜率，所以直线的方程为，即，直线恒过点，且直线恒过点12,0，且满足，即两直线互相垂直，所以两直线的交点在以2,0，12,0故选：ACD12．【答案】（答案不唯一，与共线的非零向量）【详解】设，则，故，取，得，所以平面的一个法向量.故答案为：.13．【答案】【详解】由直线与平行，得，所以.故答案为：14．【答案】/0.5；4.【详解】设，则，当时，；当时，；当时，，因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值；设，则，令，于是，显然，当时，；当时，；当时，，因此对任意，，所以当，即时，如点，取得最小值4.故答案为：；4.15．【答案】(1)；(2)2.【详解】（1）在四棱柱中，底面是平行四边形，为侧面的中心，则.（2）由（1）知，，由，得，由，得，解得，所以长为2.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可设，，，，则，若，则有，化简得，故，，即，故直线的方程为，即；（2）由点在直线上，故有，整理得，故，即AB的最小值为.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得，，．由，，解得，，故椭圆的离心率为．（2）由题意，又因为，，所以，化简得又因为，所以，解得，，所以椭圆.18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）取中点，令交于点，连接、，由四边形是矩形，故为中点，故，且，又平面平面，故，又，故且，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，故平面，即平面；（2）由平面，平面，平面，故，又是矩形，故，所以、、两两垂直，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则、、、，故，，，设平面与平面的法向量分别为、，则有，，取、，则有，，，，即，，所以，则二面角的正弦值为；（3）设，则，，所以，因为点到平面的距离，因为，解得，故，又，则，则，则直线与平面所成角正弦值为.19．【答案】(1)；(2)①3，；②证明见解析.【详解】（1）由，得点在圆上，则过点的圆半径所在直线斜率为因此所求切线斜率为，方程为，即.（2）