湖北省云学名校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷含答案

湖北省云学名校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷考试时间：2023年11月23号14：30～16：30时长：120分钟满分：150分一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．“”是“直线与直线平行”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（）A． B． C． D．3．已知双曲线，F为其右焦点，过F点的直线与双曲线相交于A，B两点，若，则这样的直线l的条数为（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条4．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则5．点P是椭圆C：上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（）A．1 B．3 C． D．6．若实数x、y满足条件，则的范围是（）A． B． C． D．7．已知圆C：，AB是圆C上的一条动弦，且，O为坐标原点，则的最小值为（）A． B． C． D．8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（）A． B． C． D．二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的2分，有选错的得0分．）9．下列说法中正确的有（）A．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为B．直线的一个方向向量为C．若点和点关于直线对称，则D．过点的直线l分别交x，y的正半轴于A，B，则面积的最小值为810．甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A．事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件B．事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件C．事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件D．事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件11．如图所示，正方体的棱长为1，E、F、G分别为BC、、的中点，则下列说法正确的是（）A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到距离为C．直线与平面AEF平行 D．三棱锥的体积为12．已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，则下列说法正确的是（）A．的面积是 B．的内切圆的半径为C．M的纵坐标为2 D．若点P是C上的一动点，则的最大值为6三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______．14．已知空间向量，，，若，，共面，则实数______．15．已知直线l：与x轴交于点M，圆O：，P为直线l上一动点，过P点引圆O的两条切线，切点分别为A，B，则点M到直线AB的距离最大值为______．16．已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为______．四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）已知直线l：，．（1）证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标；（2）直线l与坐标轴的分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程．18．（本小题12分）已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q．（1）求点Q的轨迹方程；（2）过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程．19．（本小题12分）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．①现计划从第一组和第二组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自不同组的概率．②若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．20．（本小题12分）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程．（2）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点；①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围；②若，求此时直线l的方程．21．（本小题12分）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为，PC的中点．（1）证明：；（2）若PC与AB所成角的正切值为，求二面角的大小．22．（本小题12分）已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D．①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．②求面积的最大值．

湖北省云学名校2023-2024学年高二上学期期中联考数学评分细则1．A解析：由题可得：当直线平行时，，，当时，两直线重合，故：，选A．2．A解析：上半部分电路畅通的概率为：，下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，畅通的概率为：，故选A．3．C解析：当弦AB在双曲线同一支上时，通径最短为3，当弦AB在双曲线的两支上时，长轴最短为4，，在同一支上时有两条直线，在两支上时有一条直线，故C．4．C解析：对于选项A，若，，则与可能会相交或平行，故选项A错误；对于选项B，若，，，则m，n可能会平行、相交或异面，故选项B错误；对于选项C，若，且，根据线面垂直可知，．故选项C正确；对于选项D，若，，，则α与β可能会相交或平行，故选项D错误．故选：B．5．D解析：为左焦点，，故选D．6．B解析：，由斜率的几何意义和变化情况，选择B7．A解析：设弦AB的中点为H，则，且，所以：，所以，点H在以C为圆心，1为半径的圆上，所以：故选A．8．A解析：如图．设，，则，在中有勾股定理：，解得：，在中有勾股定理：解得：，所以，故选A．9．BC解析：A选项中的直线不能表示截距为0的直线，故A选项错误．B选项中的直线的一个方向向量为，与年行．故B选项确．C选项中AB被已知直线垂直平分，满足，即，故C选项正确．D选项中直线l方程可设为：，过，所以：，故：，∴．，故D选项错误．10．AC解析：显然，A选项正确，B选项错误，C选项正确．D选项中至少一人投6点的事件为M，则，甲投6点且乙没投得6点事件为N，则为，，，故D选项错误．11．ACD解析：在棱长为1的正方体中，建立D以为原点，以DA，DC，所在的直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示，E、F、G分别为BC、、，的中点，则、、、，A选项，，，，，故A正确B选项，、，∴，，，点到AF距离为，故B错误，C选项，连接、，∵，∴A、、E、F四点共面，∵、，∴四边形为平行四边形，∴，又平面AEF，平面AEF，∴平面AEF，故C正确，D选项，因为平面AEF，∴，故D正确12．ABD解析：如图所示，令A选项，中的直线不能表示截距为，故A选项正确．B选项，由，可得：，故B选项正确．C选项，由，可得：，故C选项错误．D选项，，故D选项正确．13．解析：当双曲线为时，，．当双曲线为时，，．综上：或14．解析：由题可得：，故：，，，解得．15．解析：设，则过P点作圆的两条切线，切点AB弦的直线方程为，又因为：P在直线l上，故：，故：切点弦AB的直线恒过定点，点到直线AB的最大距离为．16．解析：，，，有仿射变换，椭圆方程变换为：，变换为，如图所示：所以：而：，所以：，即的最大面积为1．17．解析：（1），变形为：所以：解得，，所以直线l恒过定点．（2）解法1：当截距为0时，即直线l过原点，设直线l方程为：，所以，，此时直线l方程为：．当截距不为0时，设直线l方程为：，直线过点，故：，∴，此时直线l的方程为：．综上：满足条件的直线l的方程为：或．解法2：由题意可得，且，令，得令，得，由题意得，∴，或当时，直线l的方程为；当时，直线l的方程为18．解析：（1）解法1：设，，由中点坐标公式可得：解得：由于点P在圆O：上，所以：，代入可得：化简可得点Q的轨迹方程为：．解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ∵Q为的中点，∴，∴点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为：．（2）当k不存在时，直线l的方程为．此时圆心Q到直线l的距离为所以：满足条件．当k存在时，直线l的方程为，设圆心Q到直线l的距离为d则，所以：而Q到直线l的距离为，解得：此时直线l方程为：．综上：满足条件的直线l的方程为：或，19．解析：（1）由题意可知：，解得，可知每组的频率依次为，，，，，所以平均数等于，因为，设第25百分位数为，则，解得，第25百分位数为63．（2）①根据分层抽样，和的频率比为，故在和中分别选取1人和5人，分别编号为A和1，2，3，4，5，则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：，，，，A5，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共15个，即，记事件B“两人来自不同组”，则B包含的样本点有，，，，共5个，即，所以②设第二组、第四组的平均数与方差分别为，，，，且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数成绩在第二组、第四组的方差，故估计成绩在第二组、第四组的方差是．20．解析：（1）双曲线的渐近线为，可设双曲线的方程为：又点在双曲线上，所以：双曲线的方程为：（2）①当k不存在时，直线l交双曲线于左支上两点，不符合题意．当k存在时，直线l的方程可设为：，设，联立双曲线方程：，由题：∴．②由，可得：当直线l与x轴重合时，，，此时，不满足条件；直线l的方程设为：，联立方程可得：，，由，可得：代入上式可得：，，解得：，故：．此时直线l的方程为：或．21．解析：（1）因为，面面ABCD面ABCD，所以：面PAD面PAD，所以：．（2）因为，，所以又面面ABCD，面面ABCD所以面ABCD，面ABCD故：又：，，故：四边形DEBC为平行四边形，故：以E原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，设∴，，，∴，设异面直线AB与PC所成的角为α，由题：，则，∴因为面ABCD，故：面ABE的法向量为设：面FBE的法向最为，，，，取，则，设面BEF与面ABCD所成的锐二面角为θ，则，所以：，即：面BEF与面ABCD所成的二面角的大小为．补充评分标准：1．第一问定理条件不完备扣1分：2．直接建系未证明扣2分，证明了但不完整扣1分：3．a的值错误得分不超过6分；4．法向量算错得分不超过9分，5结论错误写为扣1分．22．解析：（1）由题：的周长∴，又，∴，故：椭圆的方程为．（2）①由题可设直线A