黑龙江省牡丹江市2023-2024学年高一上学期11月月考 数学试题含答案

2023~2024学年度上学期高一11月月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第四章4.5.2.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，，，则（

）A． B． C． D．3．已知，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，且，则 D．若，，则4．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如果函数和都是指数函数，则（

）A． B．1 C．9 D．86．若，则（

）A．5 B．7 C． D．7．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（

）A． B．C． D．8．已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．，B．至少有个，使能同时被和整除C．，D．每个平行四边形都是中心对称图形10．已知函数的图象经过点，则（

）A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称C．在定义域上单调递减 D．在内的值域为11．下列说法正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为2C．的最小值为4D．的最小值为212．已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（

）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合，若，则a的值为．14．函数的定义域为.15．某单位建造一个长方体无盖水池，其容积为，深3m.若池底每平米的造价为150元，池壁每平米的造价为120元，则最低总造价为元.16．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．计算下列各式的值：(1)；(2).18．已知命题，，命题，.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.19．已知，，且.(1)求ab的最小值；(2)求的最小值.20．已知幂函数，且.(1)求函数的解析式；(2)试判断是否存在正数，使得函数在区间上的最大值为5，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.21．已知函数（且）.(1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值；(2)解关于x的不等式.22．已知函数为常数．(1)当时，判断在上的单调性，并用定义法证明(2)讨论零点的个数并说明理由．1．C【分析】根据题意直接可得集合中只有元素2，由交集的定义可得答案.【详解】由集合则.故选：C2．B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，，即，因此，.故选：B.3．D【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断.【详解】当，时，，故A错误；当时，，故B错误；∵，，显然不能得到，例如当，时，，故C错误；若，，则，故D正确.故选：D.4．A【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案.【详解】由且，必有且；当且时，如，不满足，故不一定有且．所以“且”是“且”的充分不必要条件．故选：A．5．D【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可.【详解】根据题意可得，，则.故选：D6．C【分析】对两边平方化简可求出的值，然后对变形，分子分母同除以，再代值可得答案.【详解】因为，两边平方得，即，所以原式.故选：C.7．A【分析】首先不等式的解集是,可知，且且,然后将不等式化为,则可得出不等式解集.【详解】因为的解集是，所以且，由，得，即，解得，即关于的不等式的解集是.故选：A.8．B【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加【详解】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次，则对的所有非空子集中元素执行乘再求和，则这些和的总和是．故选：B.9．AB【分析】AB选项，可举出实例；C选项，根据所有实数的平方非负，得到C为假命题；D选项为全称量词命题，不合要求.【详解】中，当时，满足，所以A是真命题B中，能同时被和整除，所以B是真命题C中，因为所有实数的平方非负，即，所以C是假命题D是全称量词命题，所以不符合题意.故选：AB．10．AD【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．【详解】将点的坐标代入，可得，则，所以的图象经过点，A正确；根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，函数在内的值域为，故BC错误，D正确，故选：AD．11．AC【分析】对A考虑运用算术平均数大于等于几何平均数验证；对于BCD，运用基本不等式的“一正、二定、三相等”的原则判断即可.【详解】，当且仅当，即时等号成立，故A正确；当时，，故B错误；，当且仅当，即时等号成立，故C正确；，当且仅当时等号成立，又无解，故不能取到等号，故D错误.故选：AC.12．CD【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案.【详解】函数的图象图所示：设，因为，所以，当时，，时，，所以，即.故选：CD13．【分析】利用集合的包含关系列方程即可求解.【详解】当时，即.当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意.当时，，不合题意，舍去.故．故答案为：-2.14．【分析】根据分式函数和根式函数，由求解.【详解】解：由，解得，所以函数的定义域为.故答案为：15．8160【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】设长，宽，∴，∴，总造价.当且仅当时取得等号.故答案为：816016．【分析】根据函数为幂函数及其单调性可求得的值，求出函数在上的值域，以及函数在上的值域，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为函数是幂函数，则，，在上单调递减，则，可得，，在上的值域为，在上的值域为，根据题意有，的范围为.故答案为：.17．(1)(2)4【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；（2）利用对数运算性质计算出答案.【详解】（1）原式=；（2）原式.18．(1)(2)或【分析】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为对恒成立，即可求的取值范围；（2）求命题q为真命题时的取值范围，再求两个集合的并集.【详解】（1）若命题p为真命题，则对恒成立，因此，解得.因此，实数m的取值范围是.（2）若命题q为真命题，则，即，解得或.因此，实数m的取值范围是或；若命题p，q至少有一个为真命题，可得或或.所以实数的取值范围或.19．(1)(2)【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为；（2），当且仅当即即时，等号成立，所以的最小值为.20．(1)(2)存在，【分析】（1）根据函数是幂函数，则，并检验，即可；（2）化简得，求出对称轴，分，两种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.【详解】（1）由题知，，解得或，当时，，满足，当时，，不满足，所以.（2）.当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以，解得，不合题意；当时，在区间上递增，所以，解得.综上所述，存在正数，使得在区间上的最大值为5.21．(1)或(2)答案见解析【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；（2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集.【详解】（1）因为在上为单调函数，且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，所以，解得或.（2）因为函数是上的减函数，所以，即，当时，，原不等式解集为；当时，，原不等式解集为.22．(1)单调递减，证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）由单调性的定义证明，（2）由换元法与二次函数性质分类讨论求解，【详解】（1）当，且时，是单调递减的．证明：设任意，则，，，，，，，故当时，在上是单调递减的（