第11讲两点间的距离公式（学生版）高二数学讲义（人教A2019选择性）

第11讲两点间的距离公式目标导航目标导航课程标准课标解读1.理解向量的模与向量的坐标的关系，由此可以理解平面内两点之间的距离以及两点间距离公式的推导过程.2.会用两点间的距离公式求平面内两点间的距离.3.利用平面内两点间的距离公式及意义，解决与之相关的平面几何问题.通过本节课的学习，掌握利用向量法推导两点间距离公式的方法，并能用两点间距离公式求两点间的距离，以及解决与平面距离相关的问题.知识精讲知识精讲知识点01两点间的距离1.两点间的距离公式平面上任意两点间的距离公式为.特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离．2．两点间距离公式的推导法一：已知平面上的任意两点，向量，则.因此得到平面上的任意两点的距离公式为：.法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离?如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点Q．在中，，过点向x轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，所以，同理可得．所以．由此得到平面上任意两点间的距离公式为．【即学即练1】点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，则|AB|等于（）A．10 B．5C．8 D．6【即学即练2】若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（）A．3B．C．5D．【即学即练3】设x，，，，且，则点到点的最短距离是（）A．2 B．3 C． D．知识点02坐标法（解析法）1．坐标法的定义通过建立平面直角坐标系，设出已知点的坐标，求出未知点的坐标，把几何问题转化为代数问题，从而利用代数知识使问题得以解决，这种解决问题的方法叫做坐标法，也称为解析法．2．坐标法解决问题的基本步骤（1）建立适当的平面直角坐标系；（2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标；（3）利用已学的坐标公式列出方程（组），通过计算得出代数结论；（4）反演回去，得到几何问题的结论．也可简记为：【微点拨】对解析几何的理解就是将几何问题代数化，也就是用代数方法解决平面几何问题，是数与形的最好结合.【即学即练4】以点，，为顶点的三角形是（）A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角【即学即练5】在平面直角坐标平面内有四点，，，，为该平面内的动点，则到、、、四点的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．知识点03对称问题对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称．1．点关于点对称点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题．设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为．2．点关于直线对称对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系：①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上；③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即．常见的点关于直线的对称点：点关于x轴的对称点；点关于y轴的对称点；点关于直线y=x的对称点；点关于直线y=−x的对称点；⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点；点关于直线y=n（n≠0）的对称点．【微点拨】对称与距离有关，与垂直有关.【即学即练6】点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为()A．2 B．1 C． D．5【即学即练7】已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（）A． B． C． D．【即学即练8】已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（）A． B． C． D．能力拓展能力拓展考法01求平面两点间距离【典例1】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．【即学即练9】已知点，过原点的直线与直线交于点，若，则直线的方程为__________．考法02两点间距离公式的应用平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：（1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解．（2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形．【典例2】已知点A（–1，2），B（2，），在x轴上求一点P，使，并求|PA|的值．【典例3】已知的三个顶点分别是A（−1，0），B（1，0），，则为（）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【即学即练10】若直线过定点，直线过定点，则两点间的距离是____________．考法03解析法证明平面几何问题利用解析法解题的步骤：先建立坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行有关代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．用解析法解决平面几何问题的关键是利用图形的对称性等建立适当的平面直角坐标系，简化运算过程．【典例4】用解析法证明：如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2成立．考法04对称问题利用对称性可解决下列问题：（1）在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小．①当两定点不在直线的同一侧时，两点连线与直线的交点即所求；②当两定点在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决．（2）在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大．①当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即所求；当两定点不在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决．【典例5】某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A（1，2），B（4，0），一条河所在直线l的方程为x+2y–10=0．在河边上建一座供水站P分别向A，B两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站P应建在什么地方?【典例6】已知点P，Q在直线上．（1）若点P到点A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大，求点P的坐标；（2）若点Q到点A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小，求点Q的坐标．分层提分分层提分题组A基础过关练1．在平面直角坐标系中，已知点，，那么（）A．2 B． C． D．42．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．斜三角形3．已知点，，点在轴上，则的最小值为（）A．6 B． C． D．4．已知平面上两点，，，则的最小值为（）A．3 B． C．2 D．5．某地街道呈现东西､南北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点，，，，为报刊零售点.为使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.发行站应确定在格点（）A． B． C． D．6.直线：与：及：所得两交点间的距离为（）A． B． C． D．7.已知的顶点为A（2，1），B(2，3)，C(0，1)，则AC边上的中线长为（）A．3 B． C．4 D．8.过点和点的直线与直线垂直，则（）A． B．4 C． D．2题组B能力提升练1.若点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则的长度为（）A．10 B．5 C．8 D．62.已知，直线上存在唯一点，使得，则的值为（）A． B．或 C．1或 D．3.函数的最大值是（）A． B． C． D．4.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点，可得的最小值为（）A．5 B． C． D．5.已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（）A．或 B．或C．或 D．或6.已知，，，则四边形的形状为（）A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形7.（多选题）已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（）A． B．C． D．8.某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（）A．函数在区间上单调递减，上单调递增B．函数的最小值为，没有最大值C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称D．方程的实根个数为29.已知A(1，4)，B(8，3)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值的点P的坐标是________．10.已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当|MA|·|MB|取得最小值时，直线l的方程为________________．C培优拔尖练1.已知AO是边BC的中线，用坐标法证明．2.已知点，，直线，（1）求直线和交点的坐标；（2）若点P在直线上，求的最小值．3.在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线，于点．（1）若直线的斜率为，求线段的长度；（2）当的中点为时，求直线的方程.4.数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点，，且的欧拉线的方程为．（1）求线段的垂直平分线方程；（2）求外心（外接圆圆心）的坐标；（3）求顶点的坐标．5.已知，直线和直线相交于点P，和y轴交于点A，和x轴交于点B．（1）判断